2025 年 AMC 8 真题
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2025 AMC 8 真题答案与逐题解析
本解析对应 MAA《2025 AMC 8》（美国数学竞赛 8 级）中英双语真题卷。全卷共 25 道单项选择题（选项 A–E），限时 40 分钟。以下先给出答案速查表，再逐题给出中文详细解析；解题方法以小学高年级至初中常用思路为主，便于学生自行复盘。全部答案与原卷所附 Answer Key 一致，解析过程经独立推导复核（其中第 11、21、24、25 题另经计算机穷举验证）。
一、答案速查表
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 答案 | B | B | C | B | C | C | D | A | B |
| 题号 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
| 答案 | D | C | C | A | E | C | C | D | B |
| 题号 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| 答案 | D | A | A | D | B | E | B |
二、逐题解析
以下按题号逐题解析。每题先简要回顾题意（图依赖的题目已将图信息用文字重建），再给出完整推理过程；黑体标注的即为该题答案。
第 1 题｜八角星覆盖百分比（答案 B）
题目：八角星画在 4×4 方格网上，问星形覆盖整个网格的百分之几。
解析：网格共 16 个单位方格，分三部分清点：
4 个角落的方格完全未被覆盖；
中间 2×2 的 4 个方格被星形中心完全覆盖，面积为 4；
8 个“边中”方格里各嵌着一个三角形尖角，尖角的两个顶点是靠近中心一侧的两格点、第三个顶点在外侧边的中点，恰好占该方格的一半，即面积 1/2。
解析（续）：星形总面积 = 4 + 8 × 1/2 = 8，占 16 格的 8/16 = 50%。
第 2 题｜古埃及象形数字（答案 B）
题目：埃及象形文字按符号记数：竖线记 1、拱形记 10、卷绳记 100、莲花记 1000、手指记 10000，符号重复书写表示相应倍数。问给定的符号组合表示什么数。
解析：清点图中符号：1 个“手指”、4 段“卷绳”、2 个“拱形”、3 条“竖线”，因此 10000 + 4×100 + 2×10 + 3×1 = 10000 + 400 + 20 + 3 = 10423。
第 3 题｜分牌（答案 C）
题目：所有牌平分给玩家。Annika 和 3 个朋友共 4 人玩时每人 15 张；再加 2 个朋友后每人分多少张？
解析：牌的总数不变：4 × 15 = 60 张。人数变为 6 人，故每人分得 60 ÷ 6 = 10 张。
第 4 题｜按 7 倒数（答案 B）
题目：Lucius 从 100 开始每次减 7 地倒数：100、93、86……问第 10 个数。
解析：这是首项 100、公差 −7 的等差数列，第 n 项 = 100 − 7(n−1)。第 10 个数 = 100 − 7×9 = 100 − 63 = 37。逐项写出也可：100、93、86、79、72、65、58、51、44、37。
第 5 题｜送货车最短路线（答案 C）
题目：Betty 从工厂 F 出发依次经 A、B、C 后返回 F，问在网格街道上最少要行驶多少个街区。
解析：街道横平竖直，因此两定点之间的最短车程 = 横向相差街区数 + 纵向相差街区数（“曼哈顿距离”），与具体走法无关。按图读出各点位置（B 在左下角，A 在右侧偏下，C 在左侧中部，F 在顶部中间），逐段计算：
F → A：横向 2 + 纵向 4 = 6 个街区；
A → B：横向 7 + 纵向 1 = 8 个街区；
B → C：横向 2 + 纵向 3 = 5 个街区；
C → F：横向 3 + 纵向 2 = 5 个街区。
解析（续）：合计 6 + 8 + 5 + 5 = 24 个街区。
第 6 题｜擦去哪个数（答案 C）
题目：15、16、17、18、19 五个数中擦去一个，使剩下四个数之和是 4 的倍数。
解析：五个数之和 = 15+16+17+18+19 = 85，而 85 ÷ 4 余 1。要使 85 − x 是 4 的倍数，x 除以 4 必须余 1。逐个检查：15 余 3、16 余 0、17 余 1、18 余 2、19 余 3。故应擦去 17（85 − 17 = 68 = 4×17）。
第 7 题｜分数段人数（答案 D）
题目：≥95 分 5 人、≥90 分 13 人、≥85 分 27 人、≥80 分 50 人。问 ≥80 且 <90 分的有多少人。
解析：“至少 90 分”的 13 人已包含在“至少 80 分”的 50 人之中，所以 80–89 分的人数 = 50 − 13 = 37 人。
第 8 题｜立方体展开图（答案 A）
题目：立方体沿棱剪开成 6 个正方形组成的展开图，展开图面积 18 cm²，求立方体体积。
解析：展开图由 6 个相同正方形（立方体的 6 个面）组成，故每个面的面积 = 18 ÷ 6 = 3 cm²，棱长 = √3 cm。体积 = (√3)³ = 3√3 立方厘米。
第 9 题｜钟面相对数的平均值（答案 B）
题目：钟面上 6 对相对的数，先求每对的平均，再求这 6 个平均数的平均。
解析：6 对相对的数是 (12,6)、(1,7)、(2,8)、(3,9)、(4,10)、(5,11)，各对平均依次为 9、4、5、6、7、8。它们的平均 = (9+4+5+6+7+8) ÷ 6 = 39 ÷ 6 = 6.5。
| 巧解：6 对数之和分别为 18、8、10、12、14、16，总和 78；由于每一对都被“除以 2”两次，所求平均 = 78 ÷ 2 ÷ 6 = 6.5。 |
第 10 题｜旋转矩形的覆盖面积（答案 D）
题目：5×3 矩形 ABCD 绕底边 DC 的中点顺时针旋转 90°，求两个矩形覆盖的总面积。
解析：建立坐标：D(0,0)、C(5,0)、B(5,3)、A(0,3)，旋转中心 M(2.5, 0)。矩形绕 M 顺时针旋转 90° 后仍是 5×3 的矩形，占横向区间 [2.5, 5.5]、纵向区间 [−2.5, 2.5]。原矩形占 [0,5]×[0,3]。两矩形的重叠部分是一个 2.5×2.5 的正方形，面积 6.25。所以覆盖总面积 = 15 + 15 − 6.25 = 23.75 平方英寸。
第 11 题｜四格拼板铺 3×4（答案 C）
题目：用三个四格拼板（可旋转、翻转）铺满 3×4 矩形，其中至少一个是 S 形，问另外两个是什么。
解析：3×4 矩形共 12 格。先做结构性排除：若另两块中有一块是 I 形（长 4），由于网格高度只有 3，I 只能横放并占满一整行，剩下 2×4 的区域要由 S 与另一块铺满；但 S 形横放在 2×4 中占据错位的 3 列，余下 4 格总是被隔成两段互不相连的部分，拼不成任何一块四格拼板，故含 I 的选项（A、B）都不可行。再用同样的逐一试放法检查“L+S”与“O+T”：均无法恰好铺满 12 格。
而 S + L + L 可以铺满。一种具体拼法如下（a 为 S 形竖放，b、c 为两个 L 形）：
| 3×4 矩形的拼法示意（每格字母代表所属拼板） | |||
| b | a | c | c |
| b | a | a | c |
| b | b | a | c |
故另外两块是 L 和 L。（穷举全部摆法可知：能铺满 3×4 的组合只有 6 种，其中含 S 的仅此一种。）
第 12 题｜24 格区域中的最大圆（答案 C）
题目：由 24 个边长 1 cm 的正方形组成的区域，求能放进区域的最大圆的面积。
解析：该区域是八边形阶梯状：从下到上各行依次有 2、4、6、6、4、2 格，即 6×6 正方形沿四角切出阶梯。由图形的上下、左右对称性，最大圆的圆心应取在区域中心（即 6×6 的中心）。设中心为 O，以左下角为原点则 O = (3,3)。
限制半径的不是上下左右四条直边（距离为 3），而是 8 个“凹角”格点。例如凹角点 (2,1) 与 (1,2) 到 O 的距离都是 √(1² + 2²) = √5 ≈ 2.24。这 8 个凹角点到中心距离全为 √5，比 3 更小，故最大半径 r = √5。若把圆心挪离中心，到某一侧凹角的距离只会更小，因此中心就是最优位置。
最大圆面积 = πr² = π(√5)² = 5π 平方厘米。
第 13 题｜偶数除以 7 的余数分布（答案 A）
题目：把 2、4、6、……、50 这 25 个偶数分别除以 7，记录余数，问哪个直方图正确显示各余数出现的次数。
解析：偶数除以 7 的余数按周期 7 循环，一个周期内的余数依次为 2、4、6、1、3、5、0。25 个数 = 3 个完整周期（21 个数，使每个余数各出现 3 次）+ 剩余 4 个数（余数为 2、4、6、1）。因此最终各余数出现次数为：
| 余数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 次数 | 3 | 4 | 4 | 3 | 4 | 3 | 4 |
这与选项 A 的直方图一致。
第 14 题｜平均值是中位数两倍（答案 E）
题目：把数 N 插入列表 2、6、7、7、28 后，平均值恰好变为中位数的两倍，求 N。
解析：插入 N 后共有 6 个数，中位数取排序后第 3、4 位的平均值。分情况讨论：若 N ≥ 7（不论 N 在 7 与 28 之间还是超过 28），排序后第 3、4 位都是 7，中位数 = (7+7)/2 = 7；若 N < 7 或 N = 7，排序后第 3、4 位同样都是 7，中位数仍为 7。即无论如何中位数都是 7，于是平均值应为 2 × 7 = 14，六个数之和 = 14 × 6 = 84。原五数之和 = 2+6+7+7+28 = 50，故 N = 84 − 50 = 34（确实 ≥ 7，与讨论一致）。
第 15 题｜对折后的金-金对数（答案 C）
题目：6×6 方格中 13 格涂银、其余 23 格涂金，沿竖直中线对折成 18 对重叠格。设金-金对数的最小值、最大值为 m、M，求 m + M。
解析：36 格对折成 18 对，银格 13 个、金格 23 个。
求 m（金-金对最少）：尽量让银格与金格配对，可配成 13 对“银+金”，用掉全部 13 个银格和 13 个金格，剩下 23 − 13 = 10 个金格，只能组成 5 对“金+金”。m = 5。
求 M（金-金对最多）：尽量让银格与银格配对，12 个银格组成 6 对“银+银”，剩下 1 个银格与 1 个金格配成 1 对，剩下 22 个金格组成 11 对“金+金”。M = 11。
m + M = 5 + 11 = 16。
第 16 题｜两组数之和（答案 C）
题目：从 1–10 中选 5 个不同整数，从 11–20 中选 5 个不同整数，任意两数之差不等于 10，求这 10 个数之和。
解析：把数配成 10 对：(1,11)、(2,12)、……、(10,20)。条件“两数之差不等于 10”意味着每对中至多选一个。设从 1–10 中选出的集合为 S（5 个数），那么 11–20 中被“禁选”的正是 {k+10 : k 在 S 中}，共 5 个；要从 11–20 中选出 5 个不同的数，就只能选 {k+10 : k 不在 S 中}。于是总和 = S 的和 + (1+2+…+10 − S 的和) + 10×5 = 55 + 50 = 105，与具体选法无关。
第 17 题｜Markovia 在 A 工作的人数（答案 D）
题目：A、B、C 三城分别住 100、120、160 人，图中箭头标出各城居民去别城工作的比例（如 A 居民的 1/4 在 B 工作）。问在 A 工作的总人数。
解析：在 A 工作的人由三部分组成：A 城居民留在 A 的——A 居民 1/4 去 B、1/5 去 C，留下 1 − 1/4 − 1/5 = 11/20，共 100 × 11/20 = 55 人；B 城居民到 A 工作的——120 × 1/3 = 40 人；C 城居民到 A 工作的——160 × 1/8 = 20 人。合计 55 + 40 + 20 = 115 人。
第 18 题｜两圆灰色区域等面积（答案 B）
题目：左圆半径 1，圆与内接正方形之间的区域全部涂灰；右圆半径 R，同样区域只涂四分之一，两圆灰色面积相等，求 R。
解析：左圆：内接正方形边长 √2、面积 2，灰色面积 = π − 2。右圆（半径 R）：圆与内接正方形之间的区域面积为 πR² − 2R²，其四分之一被涂灰，即 (πR² − 2R²)/4。由两灰色面积相等：(πR² − 2R²) ÷ 4 = π − 2，即 R²(π − 2) = 4(π − 2)，故 R² = 4，R = 2。
第 19 题｜两车相遇位置（答案 D）
题目：15 英里长的直路上，限速每 5 英里变化一次（从 A 到 B 方向依次为 25、40、20 mph）。两车分别从 A、B 同时出发相向而行，均严格按限速行驶，问相遇点距 A 多远。
解析：从 A 出发的车依次以 25、40、20 mph 行驶（每段 5 英里）；从 B 出发的车沿反方向依次遇到的是 20、40、25 mph 的路段。设相遇点距 A 为 x 英里，则 B 侧车已行驶 15 − x 英里。先估 x 在 5 与 10 之间（此时两车各自都处在第二段 40 mph 路段，求出结果后可验证区间成立）：A 车用时 = 5/25 + (x − 5)/40 小时；B 车用时 = 5/20 + (10 − x)/40 小时（B 侧先走 5 英里的 20 mph 段，再走 (15 − x − 5) 英里的 40 mph 段）。
两车同时出发，相遇时用时相等：1/5 + (x−5)/40 = 1/4 + (10−x)/40。两边同乘 40：8 + x − 5 = 10 + 10 − x，得 2x = 17，x = 8.5 英里（此时 B 侧行驶 6.5 英里，也在第二段内，假设自洽）。
第 20 题｜轮流吃奶酪（答案 A）
题目：Sarika、Dev、Rajiv 轮流吃掉当时剩余奶酪的一半，直到几乎吃光。问 Sarika 一共大约吃了原块的几分之几。
解析：三人按 Sarika → Dev → Rajiv 循环，Sarika 是第 1、4、7、……个吃的人。每次开吃时剩余量减半一次：第 1 轮，剩余为 1，Sarika 吃 1/2；第 4 轮，此前剩余被减半 3 次，为 1/8，Sarika 吃 1/16；第 7 轮，剩余 1/64，Sarika 吃 1/128……
Sarika 吃的总比例 = 1/2 + 1/16 + 1/128 + ⋯，这是首项 1/2、公比 1/8 的无穷等比数列，和为 (1/2) ÷ (1 − 1/8) = (1/2) × (8/7) = 4/7。
第 21 题｜年级分配（答案 A）
题目：1–7 年级分给 A–G 七个区域，相连区域年级相差至少 2，求 C、E、F 三个区域的年级之和。
解析：先读图中的走廊连接关系：C 与 A、B、D、E、F 五个区域都相连；F 与 A、B、G、C、E 五个区域相连；E 与 C、D、F 相连；A 与 B、G、F、C 相连；B 与 A、C、F 相连；D 与 C、E 相连。
第一步：与 5 个不同年级都相差至少 2 的年级只能是 1 或 7。理由：1–7 中与 1 相差 ≥2 的数恰有 3、4、5、6、7 共 5 个；与 7 相差 ≥2 的恰有 1、2、3、4、5 共 5 个；而其他任何数（2–6）相差 ≥2 的数最多只有 4 个，不够 5 个。C 和 F 各连着 5 个区域，所以 {C, F} = {1, 7}。
第二步：A 和 B 都与 C、F 相连，因此 A、B 都必须与 1 和 7 相差至少 2，只能取 3、4、5 中的数；又因 A、B 相连需相差 ≥2，只能是 {A, B} = {3, 5}。
第三步：E 也与 C、F 都相连，同样只能取 3、4、5 中的数，而 3 和 5 已被 A、B 占用，故 E = 4。（例如一种完整分配：C=7、F=1、A=3、B=5、E=4、D=2、G=6，可逐条验证所有相连区域都相差 ≥2；其镜像 C=1、F=7、A=5、B=3、E=4、D=6、G=2 也成立。）
所以 C + E + F = 1 + 4 + 7 = 12。
第 22 题｜衣帽钩的等间隔挂衣（答案 D）
题目：一排 35 个衣帽钩，挂 n 件衣服，要求第一件之前、每两件之间、最后一件之后的空钩数都相同（至少 1 件衣服、至少 1 个空钩）。问有多少种可能的衣服数 n。
解析：设每个空档有 k 个空钩（k ≥ 1）。n 件衣服共有 n + 1 个空档（首、尾各一个，中间 n − 1 个），于是 n + k(n + 1) = 35。注意到 n + k(n+1) = (n+1)(k+1) − 1，所以 (n + 1)(k + 1) = 36。要求 n ≥ 1、k ≥ 1，即两个因数都至少为 2。36 的因数配对（不计 1）共有 7 组，对应如下：
| n + 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 9 | 12 | 18 |
| k + 1 | 18 | 12 | 9 | 6 | 4 | 3 | 2 |
| n | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 11 | 17 |
共 7 种衣服数：n = 1、2、3、5、8、11、17。
第 23 题｜末两位是 99 的特殊四位数（答案 B）
题目：求同时满足下列三个条件的四位数个数：(I) 十位、个位都是 9；(II) 比一个完全平方数小 1；(III) 恰好是两个质数的乘积。
解析：设这个四位数为 N。由 (I)，N + 1 的末两位是 00；由 (II) N + 1 = k²，于是 k 必须是 10 的倍数。又 N 是四位数：1000 ≤ N ≤ 9999，故 32 ≤ k ≤ 99，k 只能取 40、50、60、70、80、90。由 N = k² − 1 = (k − 1)(k + 1)，逐个检查是否恰好为两个质数之积：
| k | N = k²−1 | 分解 | 是否两个质数之积 |
| 40 | 1599 | 39×41 = 3×13×41 | 否 |
| 50 | 2499 | 49×51 = 7×7×3×17 | 否 |
| 60 | 3599 | 59×61（59、61 都是质数） | 是 |
| 70 | 4899 | 69×71 = 3×23×71 | 否 |
| 80 | 6399 | 79×81 = 79×3×3×3×3 | 否 |
| 90 | 8099 | 89×91 = 89×7×13 | 否 |
只有 1 个：N = 3599 = 59 × 61。
第 24 题｜60° 等腰梯形计数（答案 E）
题目：梯形 ABCD 中 ∠B = ∠C = 60°，AB = DC，各边长都是正整数，周长为 30。问互不全等的梯形有多少个。
解析：∠B = ∠C = 60° 且两腰相等，这是等腰梯形（AD ∥ BC，AD 为上底）。设腰长 s、下底 BC = b。每条腰与下底成 60° 角，腰的水平投影为 s/2，竖直高度为 (√3/2)s，因此上底 AD = b − s。周长 = b + (b − s) + 2s = 2b + s = 30。
要求边长均为正整数：s 为整数；由 2b = 30 − s 知 s 必须是偶数；上底 AD = b − s ≥ 1。逐一列举：
| 腰 s | 下底 b = (30−s)/2 | 上底 AD = b − s | 是否成立 |
| 2 | 14 | 12 | 成立 |
| 4 | 13 | 9 | 成立 |
| 6 | 12 | 6 | 成立 |
| 8 | 11 | 3 | 成立 |
| 10 | 10 | 0 | 不成立（上底为 0，退化） |
s 为奇数时下底不是整数，s > 10 时上底为负。故共有 4 个互不全等的梯形。
第 25 题｜菱形网格路径面积之和（答案 B）
题目：在 5×5 菱形网格中，路径从底顶点走到顶顶点，每步向东北或西北；对每条路径计算它与网格右边界之间的面积。求所有路径对应的面积之和。
解析：把菱形网格看作一个旋转 45° 的 5×5 正方形（共 25 个单位小格，面积 25）：底顶点与顶顶点对应正方形的一组对角顶点，“向东北/西北走一步”对应沿正方形两组边方向之一走一步。于是每条路径就是从一角到对角的 10 步单调路径（两个方向各 5 步），路径总数 = C(10,5) = 252 条。
关键观察（对称性）：每条路径 P 从底到顶，把菱形分成“路径右侧”与“路径左侧”两个区域，两块面积之和恰为菱形面积 25。把 P 沿菱形的竖直对称轴翻转得到另一条合法路径 P′（翻转把东北步换成西北步），且 P 的右侧区域恰好翻成 P′ 的左侧区域，即 P 的右侧面积 + P′ 的右侧面积 = P 的右侧面积 + P 的左侧面积 = 25。
由于每条路径既有东北步又有西北步，翻转不会得到自身，252 条路径恰好配成 126 对。因此面积总和 = 126 × 25 = 3150。
三、整体回顾与备考提示
本卷知识面覆盖较广：前 10 题以基础运算、等差数列、比例与简单几何为主；中段（11–18 题）集中在拼板与图形切拼、统计量（中位数/平均值）、组合计数与简单数论；后段（19–25 题）出现行程问题、无穷等比数列、图上的约束推理、因数分析与梯形构造，压轴题则以对称性巧解代替逐条求和。几点提示：
对称性是本卷最重要的思想：第 1、9、18、25 题都能用对称或配对大幅缩短计算；
“总数不变”与“整体配对”常能把看似要分类讨论的问题变成一步计算（第 3、16、25 题）；
结构化枚举（第 22、24 题）要先写出约束等式，再限定整数条件，最后有序列表，避免遗漏或重复；
数论题（第 23 题）记住“k² − 1 = (k−1)(k+1)”这类相邻因数分解，配合末位数字分析能快速缩小范围。
祝备考顺利！