2019 年 AMC 8 真题

2019 AMC 8 真题答案与逐题解析

本解析对应 MAA《2019 AMC 8》（美国数学竞赛 8 级）中英双语真题卷。全卷 25 道单项选择题（选项 A–E），限时 40 分钟。下面先给答案速查表，再逐题给出中文详细解析。全部答案与卷末答案表逐题核对一致，其中图形题、计数题与几何题（第 2、5、10、12、13、14、19、24 题）另经读图测量、程序模拟或坐标法独立复核。

图形题说明：本卷有 7 道题依赖图形（第 2、5、10、12、24 题及第 6 题的点阵、第 12 题的三视图）。原 PDF 中柱状图、折线图与立方体视图的数值无法从文字层提取，解析中已把图形信息改写成文字（如"周一 20 人、周二 26 人…"、三个视图中各面颜色），做到不看原图也能复算。

一、答案速查表

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9
答案	D	E	E	D	B	C	A	E	B

题号	10	11	12	13	14	15	16	17	18
答案	B	D	A	A	C	B	D	B	C

题号	19	20	21	22	23	24	25
答案	C	D	E	E	B	B	C

二、逐题解析

第 1 题｜三明治与饮料（答案 D）

题目：Ike 和 Mike 共带 30 美元。三明治每个 4.50 美元，软饮每瓶 1 美元。他们打算尽可能多买三明治，剩下的钱全部买软饮。三明治和软饮合计买了多少件？选项：6、7、8、9、10。

解析：先看 30 美元能买几个三明治：30 ÷ 4.5 = 6 余 3，即 6 个三明治花 27 美元，余 3 美元。余下的 3 美元正好买 3 瓶软饮。总件数 = 6 + 3 = 9。选 D。

（若买 7 个三明治需 31.5 美元，钱不够，所以"尽可能多"就是 6 个。）

第 2 题｜三个全等矩形拼成大矩形（答案 E）

题目：三个完全相同的矩形拼成矩形 ABCD。每个小矩形的短边是 5 英尺，求 ABCD 的面积。选项：45、75、100、125、150。

解析：看拼法：左半边是"上下叠放的两个小矩形"，右半边是"竖放的一个小矩形"，且三者高度相同。

右侧竖放的小矩形，其竖直方向是长边、水平方向是短边 5。左右两半高度相等，所以长边 = 2×短边 = 10（左边是两个短边叠起来）。于是大矩形的高 = 10，宽 = 10 + 5 = 15。

面积 = 15 × 10 = 150（平方英尺）。也可直接算：3 个小矩形 × (10×5) = 150。选 E。

第 3 题｜三个分数排序（答案 E）

题目：把 15/11、19/15、17/13 从小到大排列。选项给出五种排列。

解析：三个分数都略大于 1，比较"超出 1 的部分"最省力：

15/11 = 1 + 4/11 ≈ 1.364

19/15 = 1 + 4/15 ≈ 1.267

17/13 = 1 + 4/13 ≈ 1.308

超出部分的分母越大、超出越小，故从小到大是 19/15 < 17/13 < 15/11。选 E。

第 4 题｜菱形的面积（答案 D）

题目：菱形 ABCD 周长 52 米，对角线 AC 长 24 米，求面积。选项：60、90、105、120、144。

解析：周长 52 → 边长 13。菱形对角线互相垂直平分，取 AC 的一半 12，与另一条对角线的一半构成直角三角形：另一条半对角线 = √(13² − 12²) = √25 = 5，故另一条对角线长 10。

面积 = 两对角线乘积的一半 = 24 × 10 ÷ 2 = 120。选 D。

（13-12-5 是常用勾股数组，务必熟记。）

第 5 题｜龟兔赛跑图像（答案 B）

题目：乌龟与野兔赛跑：野兔先快速跑到前面，然后自信地停下睡觉；乌龟全程以缓慢而恒定的速度前进，先到终点；野兔醒来后跑到终点，发现乌龟已在那里。哪幅"路程—时间"图符合描述？选项：A、B、C、D、E 五幅图。

解析：把描述翻译成三条图像特征：

乌龟匀速 → 它的图像必须是一条过原点的直线；

野兔先快后停 → 图像先陡升，然后出现一段水平线（睡觉时路程不变），再陡升到终点；

乌龟先到终点、野兔后到 → 乌龟的直线先到达"终点高度"，野兔的最后一段在更靠右处到达同一高度；兔子的图像不能穿过乌龟的直线跑到更远。

逐项排除：(A) 野兔末段穿过乌龟的直线并超过它，说明兔子反超并跑了更远，错；(C)(E) 出现"路程下降"或"睡觉时仍在前进"，错；(D) 乌龟的直线在末端突然变陡，说明它中途加速，不符合"匀速"，错。(B) 同时满足三条特征。选 B。

第 6 题｜81 个格点中的对称轴（答案 C）

题目：正方形内共 81 个均匀分布的格点（含边界），P 是正方形中心。从其余 80 个点中随机选一点 Q，求"直线 PQ 是正方形对称轴"的概率。选项：1/5、1/4、2/5、9/20、1/2。

解析：81 = 9×9，即每行每列 9 个点，P 是正中的格点。正方形的对称轴只有 4 条：两条中位线、两条对角线。

这 4 条轴都过中心 P，每条轴上有 9 个格点，除 P 之外各 8 个，四条轴除 P 外没有公共点，故合格的点 Q 共 4×8 = 32 个。

概率 = 32/80 = 2/5。选 C。

第 7 题｜五次考试的平均分（答案 A）

题目：Shauna 考 5 次，满分 100。前三次 76、94、87，五次平均分要达到 81，剩下两次中某一次最低可以是多少分？选项：48、52、66、70、74。

解析：总分需 81×5 = 405，前三次已得 76+94+87 = 257，后两次合计需 405 − 257 = 148。让其中一次尽可能低，就必须让另一次满分 100，故最低 = 148 − 100 = 48。选 A。

第 8 题｜分四次送出（答案 E）

题目：Gilda 有一包玻璃球，先送 20% 给 Pedro；再把剩下的 10% 送给 Ebony；最后把当时剩下的 25% 送给 Jimmy。她还剩下原来的百分之几？选项：20、33⅓、38、45、54。

解析：连续百分数用"乘法链"，每次都乘"剩下的比例"：

1 × 0.8 × 0.9 × 0.75 = 0.72 × 0.75 = 0.54，即 54%。选 E。

（易错点：第二、三次都是"当前的百分之几"，不是原总数的百分之几，所以必须连乘。）

第 9 题｜两种猫粮罐（答案 B）

题目：Alex 的罐子直径 6 厘米、高 12 厘米；Felicia 的罐子直径 12 厘米、高 6 厘米。两罐体积之比是多少？选项：1:4、1:2、1:1、2:1、4:1。

解析：体积 = πr²h。Alex：r = 3、h = 12 → 108π；Felicia：r = 6、h = 6 → 216π。比为 108π : 216π = 1 : 2。选 B。

（直径翻倍使体积变 4 倍，高度减半又使其变一半，合起来是 2 倍——所以"粗一倍的罐子反而更大"。）

第 10 题｜改正错误数据后的平均数与中位数（答案 B）

题目：柱状图给出上周一到周五参加足球训练的人数：周一 20、周二 26、周三记作 16、周四 22、周五 16。后来发现周三实际是 21 人。改正后平均数与中位数如何变化？选项给出"平均数 +1 / +5"与"中位数不变 / +1 / +5"的各种组合。

解析：先算原来：总和 = 20+26+16+22+16 = 100，平均 20；排序 16、16、20、22、26，中位数 20。

改正后：周三由 16 变 21，总和 = 105，平均 21（增加 1）；排序 16、16、21、22、26，中位数 21（增加 1）。选 B。

（注意：数据只在中间位置加了 5，中位数恰好也上移 1；若改的是最中间那个数以外的数，中位数就可能不变。）

第 11 题｜数学课与外语课（答案 D）

题目：八年级共 93 人，每人至少选数学课或外语课之一。70 人选数学课，54 人选外语课。只选数学课、不选外语课的有多少人？选项：16、23、31、39、70。

解析：容斥：两科都选的人数 = 70 + 54 − 93 = 31。只选数学课 = 70 − 31 = 39。选 D。

第 12 题｜立方体的三视图（答案 A）

题目：立方体六面分别涂红（R）、白（W）、绿（G）、棕（B）、湖绿（A）、紫（P）。三个视图为：图①上面 B、正面 R、右面 G；图②上面 B、正面 W、右面 R；图③上面 R、正面 P。问与湖绿色（A）相对的是哪种颜色？选项：红、白、绿、棕、紫。

解析：用"相邻关系"逐步排除。同一顶点周围的三面彼此相邻，所以：

由图①：R 与 B、G 相邻；

由图②：R 与 B、W 相邻；

由图③：R 与 P 相邻（R 在上、P 在前）。

于是 R 的四个相邻面已经全部找到：B、G、W、P。立方体每个面有 4 个相邻面、1 个相对面，所以 R 的相对面只能是剩下的 A（湖绿色）。选 A。

（顺带可推出另外两对：B 与 P 相对、G 与 W 相对。这类题的关键是"同一顶点三面两两相邻"，先把某一面的 4 个邻居凑齐，剩下的就是对面。）

第 13 题｜三个两位数回文数之和（答案 A）

题目：N 是最小的三位整数，它不是回文数，但能写成三个不同的两位数回文数之和。求 N 的各位数字之和。选项：2、3、4、5、6。

解析：两位数回文数只有 11、22、33、…、99，都是 11 的倍数，故三个之和必是 11 的倍数。

三位数里 11 的倍数最小是 110（= 11×10），110 不是回文数（反过来是 011）。再看能否凑出 110：需要三个不同数字 a+b+c = 10，如 1+2+7 → 11+22+77 = 110 ✓（也可 1+3+6、2+3+5 等）。

比 110 小的 11 的倍数只有 11×6 到 11×9，即 66、77、88、99，都是两位数，不符合"三位整数"。故 N = 110，各位数字和 = 1+1+0 = 2。选 A。

第 14 题｜六张优惠券（答案 C）

题目：Isabella 有 6 张优惠券，每隔 10 天兑换一次，直到用完。已知 PETE 甜品店周日不营业，而她圈出的 6 个日期里没有星期天。她的第一次兑换是星期几？选项：周一、周二、周三、周四、周五。

解析：相邻两次相隔 10 天，而 10 ≡ 3（mod 7），所以 6 次兑换相对第一次的"星期偏移"依次是 0、3、6、9≡2、12≡5、15≡1，即偏移集合 {0,1,2,3,5,6}（恰好 6 个不同的余数，缺 4）。

用数字记星期：周日 = 0、周一 = 1、…、周六 = 6。设第一次是 w，则 6 次的星期为 (w + 偏移) mod 7。要求没有一次落在周日（0），即 w 不能等于 −偏移，也就是 w ∉ {0,4,1,5,2,6}，唯一剩下的 w = 3，即周三。选 C。

验算：周三、周六、周二、周五、周一、周四——确实没有周日。✓

第 15 题｜阳伞与帽子（答案 B）

题目：海滩上 50 人戴太阳镜、35 人戴帽子，有些人两样都戴。若从戴帽子的人中随机选一人，他同时戴太阳镜的概率是 2/5。若改从戴太阳镜的人中随机选一人，他同时戴帽子的概率是多少？选项：14/85、7/25、2/5、4/7、7/10。

解析：设两样都戴的有 x 人。由"在戴帽子的 35 人中，两样都戴的占 2/5"：x = 35 × 2/5 = 14。

改从 50 名戴太阳镜的人中选：14/50 = 7/25。选 B。

（条件概率的分母随"从哪个人群里选"而变化，这是本题的核心陷阱。）

第 16 题｜全程平均速度（答案 D）

题目：Qiang 先以 30 英里/小时行驶 15 英里，再以 55 英里/小时行驶若干英里，使全程平均速度恰为 50 英里/小时。还要再开多少英里？选项：45、62、90、110、135。

解析：设第二段为 d 英里。时间相等关系：15/30 + d/55 = (15+d)/50。

即 0.5 + d/55 = 0.3 + d/50 → 0.2 = d/50 − d/55 = d × (5/2750)，解得 d = 110。选 D。

（"平均速度 = 总路程 ÷ 总时间"，绝不能把两个速度直接平均成 42.5。）

第 17 题｜连乘的分式（答案 B）

题目：求 (1·3)/(2·2) × (2·4)/(3·3) × (3·5)/(4·4) × … × (98·100)/(99·99)。选项：1/2、50/99、9800/9801、100/99、50。

解析：第 k 个因子是 k(k+2)/(k+1)²，分子连乘 = (1·2·…·98)×(3·4·…·100) = 98! × 100!/2；分母连乘 = (2·3·…·99)² = (99!)²。

化简：98!·100! / (2·(99!)²) = (98!/99!)·(100!/99!)/2 = (1/99)×100/2 = 100/198 = 50/99。选 B。

（中间项两两相消，只剩首尾，这是连乘式子的标准处理。）

第 18 题｜两个骰子的点数和（答案 C）

题目：两个骰子的六个面分别标 1、2、3、5、7、8。同时掷出，点数和为偶数的概率是多少？选项：4/9、1/2、5/9、3/5、2/3。

解析：和为偶数需要"两偶"或"两奇"。偶数面有 2 个（2、8），奇数面有 4 个（1、3、5、7），共 36 种等可能结果。

两偶：2×2 = 4 种；两奇：4×4 = 16 种。合计 20 种，概率 = 20/36 = 5/9。选 C。

第 19 题｜循环赛的积分（答案 C）

题目：6 支球队进行双循环赛（每两队比赛 2 场）。胜得 3 分、平得 1 分、负得 0 分。全部赛完后，排名前三的球队积分相同。这 3 支球队每队最多可能得多少分？选项：22、23、24、26、30。

解析：先算单队场数：每队与其他 5 队各赛 2 场，共 10 场，满分 30。

关键在于前三名之间的 6 场比赛（三对组合×2 场）每场最多贡献 3 分、共 18 分，三人平分时每人最多 18÷3 = 6 分。这个上限可以取到：A 两胜 B、B 两胜 C、C 两胜 A，每人恰好 6 分。

对后三名，前三名各打 6 场且可全胜，得 18 分。故每队最多 6 + 18 = 24 分。选 C。

（常见错解：以为前三名之间可以互相"让球"各拿 30 分。其实每场只有一个胜者，三人之间的分数总和有限，这才是真正的约束。）

第 20 题｜方程的实数解（答案 D）

题目：方程 (x² − 5)² = 16 有多少个不同的实数解？选项：0、1、2、4、8。

解析：开方得 x² − 5 = 4 或 x² − 5 = −4，即 x² = 9 或 x² = 1。分别得 x = ±3、x = ±1，共 4 个不同实根。选 D。

（注意 4 次方程最多 4 个实根，这里每个分支都贡献 2 个。）

第 21 题｜三条直线围成的三角形（答案 E）

题目：求由 y = 5、y = 1 + x、y = 1 − x 围成的三角形的面积。选项：4、8、10、12、16。

解析：先求三个顶点：

y = 1+x 与 y = 1−x 交点：(0, 1)；

y = 5 与 y = 1+x 交点：(4, 5)；

y = 5 与 y = 1−x 交点：(−4, 5)。

水平边在 y = 5 上，长 4 − (−4) = 8；对应的高是 5 − 1 = 4。面积 = 8×4÷2 = 16。选 E。

第 22 题｜先提价再降价（答案 E）

题目：一件衬衫先按某个百分数提价，再按同样的百分数降价，最后价格是原价的 84%。这个百分数是多少？选项：16、20、28、36、40。

解析：设百分数为 p（写成小数 p），则 (1+p)(1−p) = 0.84，即 1 − p² = 0.84，p² = 0.16，p = 0.4 = 40%。选 E。

（"同百分数先涨后跌"一定比原价低，因为乘积是 1 − p²；很多同学误选 16%，那是把 0.16 当成了答案。）

第 23 题｜篮球队的得分（答案 B）

题目：Euclid 高中篮球队的总分中，Alexa 得了 1/4，Brittany 得了 2/7，Chelsea 得 15 分。其余 7 名队员每人得分都不超过 2 分。这 7 人共得多少分？选项：10、11、12、13、14。

解析：设全队总分 T。T 必须同时被 4 和 7 整除（因为 T/4 与 2T/7 都是整数），故 T = 28k。

Alexa 得 7k、Brittany 得 8k，于是其余 7 人合计 = 28k − 15k − 15 = 13k − 15。又这 7 人每人 ≤ 2，合计 ≤ 14，故 13k − 15 ≤ 14 → k ≤ 2.23。

k = 1 时合计为 −2（不可能），所以 k = 2：总分 56，Alexa 14 分、Brittany 16 分，其余 7 人合计 13×2 − 15 = 11。选 B。

（"其余 7 人每人 ≤ 2"这个条件正是用来唯一定出 k 的，否则 k 可以更大。）

第 24 题｜三角形中的四边形面积（答案 B）

题目：△ABC 中，D 在 AC 上且 AD:DC = 1:2；E 是 BD 的中点；直线 AE 延长交 BC 于 F。若 △ABC 面积 360，求 △EBF 的面积。选项：24、30、32、36、40。

解析：用坐标/向量最简明。令 B 为原点，A 的向量为 a，C 的向量为 c，则面积 ABC = ½|a × c| = 360。

D = (2a + c)/3（因为 AD:DC = 1:2，D 靠近 A），E 是 BD 中点 = (2a + c)/6。

设 F 在 AE 上：a + t(E − a) = a(1 − 2t/3) + c(t/6)。F 在 BC 上说明 a 的系数为 0，得 t = 3/2，于是 F = c/4，即 BF:FC = 1:3。

△EBF 面积 = ½|E × F| = ½ · |(2a+c)/6 × c/4| = (1/48)|2a × c| = |a×c|/24 = 720/24 = 30。选 B。

（也可纯用面积比：△DBC = (DC/AC)△ABC = (2/3)×360 = 240，E 为 BD 中点故 △EBC = ½×240 = 120；再由 BF:FC = 1:3 得 BF = BC/4，同高的 △EBF = ¼△EBC = 30。核心结论是 BF:FC = 1:3。）

第 25 题｜24 个苹果的分配（答案 C）

题目：Alice 有 24 个苹果，分给自己、Becky、Chris 三人，每人至少 2 个。共有多少种分法？选项：105、114、190、210、380。

解析：先给每人预支 2 个（共 6 个），剩下 18 个随意分，每人所得 ≥ 0。问题变为"把 18 个相同苹果分给 3 个人"，用"隔板法"：C(18+3−1, 3−1) = C(20,2) = 190。选 C。

（苹果是相同的、人不同，所以用隔板法而不是排列；若误当作"每人至少 2 个"直接减 6 之后忘记是组合，就会错选 380＝20×19。）

三、复盘建议

本卷难度分布比较均匀，真正的区分题在第 12、14、19、23、24 题。建议按模型归类复盘：

数字与整除：第 13、23 题——先抓"必须是 11 的倍数""必须被 4 和 7 整除"这类硬约束，再枚举；

计数与概率：第 6、18、19、25 题——先明确"总情况数"，再数"符合条件的情况"，注意"三人之间比赛的总分有限"这类隐藏约束；

几何：第 4、24 题——菱形记 13-12-5，三角形内分点优先用坐标或面积比；

图像阅读：第 5、10 题——把文字描述逐条转成图像特征（水平段＝停止、直线＝匀速），再逐项排除。