2017 年 AMC 8 真题

2017 AMC 8 真题答案与逐题解析

本解析对应 MAA《2017 AMC 8》（美国数学竞赛 8 级）中英双语真题卷。全卷 25 道单项选择题（选项 A–E），限时 40 分钟。下面先给出答案速查表，再逐题给出中文详细解析。全部答案与卷末答案表逐题核对一致；其中饼图、字母菱形、三角形与四边形等图形题（第 2、15、16、18、22、25 题）另经放大读图、逐像素标定或坐标法独立复核。

图形题说明：本卷有 7 道题依赖图形（第 2、15、16、18、22、25 题等）。原 PDF 的饼图、字母排布图与几何图无法从文字层完整提取，解析中已把图形信息改写成可直接计算的数据（如"饼图三块分别为 45%、30%、25%""菱形排布共 5 行、中心为 A"），不看原图也能复核。

一、答案速查表

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9
答案	A	E	C	D	B	D	A	D	D

题号	10	11	12	13	14	15	16	17	18
答案	C	C	D	B	C	D	D	C	B

题号	19	20	21	22	23	24	25
答案	D	B	A	D	C	D	B

二、逐题解析

以下按题号顺序给出 25 题的中文解析。每题先复述题干的关键数据与选项，再给完整推理，最后附易错点或更快的替代解法。标注“（答案 X）”的括号内即为该题正确选项。

第 1 题｜五个由 2、0、1、7 组成的算式（答案 A）

题目：下列哪个值最大？(A) 2+0+1+7　(B) 2×0+1+7　(C) 2+0×1+7　(D) 2+0+1×7　(E) 2×0×1×7。

解析：先算乘法、再算加法，逐项得：(A) 10；(B) 8；(C) 9；(D) 9；(E) 0。最大的是 10，选 A。

（易错点：四个数字相同时，想让结果最大就要"用加不用乘"，因为出现 0 参与乘法会把整项清零——(E) 直接得 0。）

第 2 题｜饼图与票数（答案 E）

题目：Alicia、Brenda、Colby 三人竞选学生主席，饼图显示得票分布：Alicia 45%、Colby 25%、Brenda 30%。若 Brenda 得 36 票，总票数是多少？选项：70、84、100、106、120。

解析：Brenda 占 30%，对应 36 票，所以总票数 = 36 ÷ 0.30 = 120。选 E。

（检验：120 票中 Alicia 54 票、Colby 30 票、Brenda 36 票，三者相加正好 120。）

第 3 题｜嵌套根式（答案 C）

题目：求 √(16√(8√4)) 的值。选项：4、4√2、8、8√2、16。

解析：由内向外算：√4 = 2 → 8×2 = 16 → √16 = 4 → 16×4 = 64 → √64 = 8。选 C。

（也可整体化简：把 16 = 2⁴、8 = 2³、4 = 2² 代入，最外层根号内的指数为 2⁴·(2³·2)^(1/2) = 2⁴·2² = 2⁶，开方得 2³ = 8。）

第 4 题｜小数乘大数的量级（答案 D）

题目：0.000315 × 7,928,564 的积最接近下列哪个数？选项：210、240、2100、2400、24000。

解析：把两个数都写成科学计数法：0.000315 = 3.15 × 10⁻⁴，7,928,564 ≈ 7.93 × 10⁶。相乘 ≈ 3.15 × 7.93 × 10² ≈ 25 × 10² = 2500。在五个选项中最接近的是 2400。选 D。

（易错点：不要真去算 0.000315 的六位小数，只要比较量级——积是四位数，只有 2100 与 2400 可选，再比首位 3.15×7.93 ≈ 25 即定 2400。）

第 5 题｜连乘除以连加（答案 B）

题目：求 (1·2·3·4·5·6·7·8)/(1+2+3+4+5+6+7+8) 的值。选项：1020、1120、1220、2240、3360。

解析：分母 1+2+…+8 = 8×9/2 = 36；分子 8! = 40320。40320 ÷ 36 = 1120。选 B。

（速算技巧：36 = 4×9，40320 ÷ 4 = 10080，再 ÷ 9 = 1120。另可先约分：40320 = 2⁷·3²·5·7，36 = 2²·3²，约掉后剩 2⁵·5·7 = 1120。）

第 6 题｜三角形内角比（答案 D）

题目：三角形三个内角的度数比为 3 : 3 : 4，求最大角。选项：18°、36°、60°、72°、90°。

解析：设三角为 3k、3k、4k，则 10k = 180°，k = 18°。最大角 = 4k = 72°。选 D。

（易错点：这是等腰三角形，两底角各 54°，最大角 72° 是顶角。别把比值当成度数直接选 4。）

第 7 题｜abcabc 的因子（答案 A）

题目：Z 是六位正整数，如 247247，前三位与后三位数字相同且顺序一致。下列哪个数一定是 Z 的因子？选项：11、19、101、111、1111。

解析：设前三位组成的数为 n，则 Z = 1000n + n = 1001n。而 1001 = 7 × 11 × 13，所以 11 必为 Z 的因子。选 A。

（易错点：1001 = 7×11×13 这个分解要背下来——它同时解释了"11 的整除判别法"（奇偶位差）与"7、11、13 的整除判别法"（三位分段作差）。选项 101、111、1111 都不是 1001 的因子。）

第 8 题｜门牌号与四个判断（答案 D）

题目：Isabella 的门牌号是两位数，下列四个论断中恰有三个为真：(1) 它是质数；(2) 它是偶数；(3) 它能被 7 整除；(4) 它含数字 9。这些信息足以确定门牌号，问其个位数字。选项：4、6、7、8、9。

解析：两位质数都是奇数，所以 (1) 与 (2) 不可能同时为真，二者至多一个成立。既然四个论断中恰有三个为真，(3)、(4) 必须都真，且 (1)、(2) 中恰有一个真。

两位数中同时被 7 整除且含数字 9 的只有三个：49、91、98（7×7、7×13、7×14）；

49 = 7²，奇数但非质数 → 只满足 (3)(4)，共 2 真，排除；

91 = 7×13，同理只有 2 真，排除；

98 = 2×49，是偶数、被 7 整除、含 9 → 恰 3 真 ✓。

门牌号唯一确定为 98，个位数字是 8。选 D。

（"信息足以确定"这句话是关键：它排除了一切多解情形，等价于告诉我们要找唯一天鹅。若只按"恰三真"筛选而不检查唯一性，容易漏掉对 91、49 的排除。）

第 9 题｜玻璃球的最少黄球数（答案 D）

题目：Marcy 的玻璃球只有蓝、红、绿、黄四色。其中 1/3 是蓝色，1/4 是红色，6 个是绿色。黄色球最少有多少个？选项：1、2、3、4、5。

解析：总数 N 同时被 3 和 4 整除，故 N 是 12 的倍数，设 N = 12k。则蓝 4k、红 3k、绿 6，黄 = 12k − 7k − 6 = 5k − 6。

k = 1：黄 = −1，不可能（说明总数至少 24）；

k = 2：N = 24，蓝 8、红 6、绿 6、黄 = 4 ✓；

k 越大黄球越多，所以"最少"就是 4。

黄色球最少 4 个。选 D。

（易错点：只想到"12 的倍数"就直接取 k = 1，忘了黄球数必须非负——k = 1 时蓝 4 + 红 3 + 绿 6 已经 13 个，超过总数 12。）

第 10 题｜抽三张牌中最大为 4（答案 C）

题目：盒中有编号 1、2、3、4、5 的五张牌，不放回随机抽三张。4 是所抽三张中最大数的概率是多少？选项：1/10、1/5、3/10、2/5、1/2。

解析：总抽法 C(5,3) = 10 种。要使 4 为最大，必须抽到 4，且另两张从 {1,2,3} 中取：C(3,2) = 3 种（即 {1,2,4}、{1,3,4}、{2,3,4}）。概率 = 3/10。选 C。

（另一种看法：先抽定 4 的位置没有意义，只要看"抽到的最大数"是几——五张牌中最大数恰为 4 的情形与"5 不被抽到而 4 被抽到"等价，也直接得 3/10。）

第 11 题｜两条对角线上的瓷砖（答案 C）

题目：正方形地板铺满全等正方形瓷砖。若两条对角线上的瓷砖总数是 37，铺满地板共需多少块瓷砖？选项：148、324、361、1296、1369。

解析：设边长为 n 块。两条对角线的瓷砖数各为 n 块，但中心那一块被两条对角线共用，故总数 = 2n − 1。由 2n − 1 = 37 得 n = 19。总瓷砖数 = 19² = 361。选 C。

（易错点：2n − 1 只在 n 为奇数时成立；若 n 为偶数，两条对角线不共用瓷砖，总数是 2n。本题 37 是奇数，反推出 n 必为奇数 19。选项 1369 = 37² 是"把 37 当成边长"的陷阱。）

第 12 题｜余数均为 1 的最小正整数（答案 D）

题目：大于 1、被 4、5、6 除余数都为 1 的最小正整数，位于下列哪两个数之间？选项：2 与 19、20 与 39、40 与 59、60 与 79、80 与 124。

解析：该数减 1 后同时被 4、5、6 整除，所以它减 1 是 lcm(4,5,6) = 60 的倍数。最小的正倍数取 1 → 该数为 60 + 1 = 61，落在 60 与 79 之间。选 D。

（注意"大于 1"这个条件是为了排除 1 本身——1 被任何数除余数都是 1，若不加限制答案是 1。）

第 13 题｜三人循环下棋（答案 B）

题目：Peter、Emma、Kyler 三人互相下棋。Peter 赢 4 局输 2 局，Emma 赢 3 局输 3 局。若 Kyler 输 3 局，他赢了几局？选项：0、1、2、3、4。

解析：每局产生 1 个胜者、1 个负者，所以全场的"总胜局数 = 总负局数"。设 Kyler 赢 x 局，则

总胜 = 4 + 3 + x = 7 + x；总负 = 2 + 3 + 3 = 8。令二者相等：7 + x = 8，得 x = 1。选 B。

（易错点：不要试图排出每一局的对阵表——只要用"胜=负"这条全局守恒就够了。也可验算：Peter 共 6 局、Emma 共 6 局、Kyler 共 4 局，总对局数 16 局对应 8 胜 8 负，吻合。）

第 14 题｜两人的正确率（答案 C）

题目：Chloe 与 Zoe 各自独立完成了作业的一半题目，再一起完成另一半。Chloe 独立部分正确率 80%，总体正确率 88%。Zoe 独立部分正确率 90%，她的总体正确率是多少？选项：89%、92%、93%、96%、98%。

解析：两人"共同完成的那一半"是同一批题，正确率相同，记为 p。由 Chloe：0.80 × ½ + p × ½ = 0.88，解得 p = 0.96。再由 Zoe：0.90 × ½ + 0.96 × ½ = 0.93 = 93%。选 C。

（易错点：直接把 90% 与 88% 取平均得 89%，错在把"共同部分的正确率"当成了 88%——88% 是 Chloe 的总平均，不是共同部分的正确率。）

第 15 题｜拼出 AMC8 的路径数（答案 D）

题目：下图为菱形排布的字母与数字：第 1 行（自左向右第 2、3、4 列）为 8、C、8；第 2 行（第 1 至 5 列）为 8、C、M、C、8；第 3 行为 C、M、A、M、C；第 4 行同第 2 行；第 5 行同第 1 行。从中心的 A 出发，每次只能上、下、左、右移到相邻格，拼出 AMC8 有多少种路径？选项：8、9、12、24、36。

解析：把排布按行、列建坐标，(3,3) 是 A。分三步计数：

A → M：A 的上、下、左、右四格分别是 (2,3)、(4,3)、(3,2)、(3,4)，全是 M，共 4 个出口。

M → C：以 (2,3) 为例，它的相邻格是 (1,3)=C、(2,2)=C、(2,4)=C、(3,3)=A，可行 3 个。由对称性，四个 M 各有 3 个 C 邻居，共 4 × 3 = 12 条。

C → 8：每个能被走到的 C 都恰有 2 个相邻的 8（例如 (1,3) 的邻居是 (1,2)=8、(1,4)=8；(3,1) 的邻居是 (2,1)=8、(4,1)=8）。故每条 M→C 之后都有 2 种收尾。

总路径数 = 4 × 3 × 2 = 24。选 D。

（易错点：把 A 的出口当成 8 个（含对角线）会算出 48；把 C→8 当成 3 个会把边界的 8 算重。逐格列邻居表、再用乘法原理最稳。）

第 16 题｜周长相等求面积（答案 D）

题目：直角三角形 ABC 中 AC = 3、BC = 5（斜边）、AB = 4。D 在 BC 上，使 △ACD 与 △ABD 周长相等。求 △ABD 的面积。选项：3/4、3/2、2、12/5、5/2。

解析：两个三角形共用边 AD，周长相等即 AC + CD = AB + BD，所以 CD − BD = AB − AC = 1。又 CD + BD = BC = 5，联立得 CD = 3、BD = 2。

A 到直线 BC 的距离 h 由面积桥接：½ × 3 × 4 = 6 = ½ × 5 × h，得 h = 12/5。于是

[△ABD] = ½ × BD × h = ½ × 2 × 12/5 = 12/5。选 D。

（易错点：直接用"高 = 3 或 4"都会错——△ABD 的底边在斜边 BC 上，高是从 A 到斜边的距离 12/5，不是直角边。）

第 17 题｜金币与宝箱（答案 C）

题目：每个宝箱放 9 枚金币，还剩 2 个宝箱是空的；若每个宝箱放 6 枚，还剩 3 枚无处可放。共有多少枚金币？选项：9、27、45、63、81。

解析：设宝箱 n 个、金币 G 枚。第一种装法：G = 9(n − 2)；第二种装法：G = 6n + 3。联立 9n − 18 = 6n + 3，得 3n = 21，n = 7，G = 6 × 7 + 3 = 45。选 C。

（验算：7 个箱子，45 枚金币——每箱 9 枚正好装满 5 箱、空 2 箱 ✓；每箱 6 枚则装满 7 箱后余 3 枚 ✓。）

第 18 题｜非凸四边形面积（答案 B）

题目：非凸四边形 ABCD 中，∠BCD 是直角，AB = 12、BC = 4、CD = 3、AD = 13。求四边形 ABCD 的面积。选项：12、24、26、30、36。

解析：连接 BD。在直角三角形 BCD 中 BD = √(4² + 3²) = 5。在 △ABD 中三边为 12、5、13，恰有 5² + 12² = 169 = 13²，故 ∠ABD = 90°，[△ABD] = ½ × 5 × 12 = 30。

又 [△BCD] = ½ × 3 × 4 = 6。因四边形是"非凸"的，顶点 C 落在 △ABD 内部，所以四边形面积 = 30 − 6 = 24。选 B。

（易错点：这题的分水岭就是"加还是减"。看图可知 C 在 △ABD 内，若是凸四边形则应相加得 36——选项里 36 与 30 都是给"加减搞反"和"只算大三角形"准备的陷阱。）

第 19 题｜5ⁿ 与 98!+99!+100!（答案 D）

题目：求使 5ⁿ 是 98! + 99! + 100! 的因子的最大整数 n。选项：23、24、25、26、27。

解析：先提公因式：98! + 99! + 100! = 98! × (1 + 99 + 99 × 100) = 98! × (1 + 99 + 9900) = 98! × 10000。

其中 10000 = 10⁴ = 2⁴ × 5⁴，贡献 4 个因子 5；98! 中 5 的指数为 ⌊98/5⌋ + ⌊98/25⌋ = 19 + 3 = 22。合计 22 + 4 = 26。选 D。

（易错点：漏掉 10000 自带的 4 个 5，或忘记 ⌊98/25⌋ = 3 这一项（25、50、75 各多贡献一个 5），就会得 22 或 25。）

第 20 题｜各位数字互异的奇数（答案 B）

题目：在 1000 到 9999（含端点）之间随机取一个整数，它是各位数字互不相同的奇数的概率是多少？选项：14/75、56/225、107/400、7/25、9/25。

解析：样本空间共 9000 个数（1000 到 9999）。计数符合条件的四位数，按"个位 → 千位 → 百位 → 十位"的顺序取：

个位必须是奇数：1、3、5、7、9，共 5 种；

千位取 1–9 中除去个位已用的数字：8 种；

百位取 0–9 中除去前两位已用：8 种；

十位再除去已用的三个：7 种。

共 5 × 8 × 8 × 7 = 2240 个。概率 = 2240/9000 = 224/900 = 56/225。选 B。

（易错点：若按"千位→个位"的顺序算，会因千位是否含 0 之外的限制而反复分类；先定最受限的个位（5 个奇数）最省事。另一个坑是分母：1000–9999 共 9000 个数，不是 10000。）

第 21 题｜三个非零实数之和为零（答案 A）

题目：a、b、c 均为非零实数且 a + b + c = 0，求 a/|a| + b/|b| + c/|c| + abc/|abc| 的可能值。选项：0；1 和 −1；2 和 −2；0、2 和 −2；0、1 和 −1。

解析：和为 0 且三者非零，则三者不可能同号，只可能是"两正一负"或"一正两负"。

两正一负：前三个分式之和 = 1 + 1 − 1 = 1；且 abc ＜ 0，故 abc/|abc| = −1。总和 = 1 − 1 = 0。

一正两负：前三个分式之和 = 1 − 1 − 1 = −1；且 abc ＞ 0，故 abc/|abc| = +1。总和 = −1 + 1 = 0。

两种情形都得 0，故唯一可能值是 0。选 A。

（关键洞察：abc 的符号与前三个符号积恰好相互"补偿"。用"负数的个数"看更清楚：设负数有 k 个，则前三项和为 3 − 2k，而 abc/|abc| = (−1)^k，两者之和恒为 0。）

第 22 题｜内切半圆的半径（答案 D）

题目：直角三角形 ABC 中，AC = 12、BC = 5，∠C 为直角。一个半圆如图内切于三角形（直径落在直角边 AC 上，弧与斜边 AB 相切）。求该半圆的半径。选项：7/6、13/5、59/18、10/3、60/13。

解析：以 C 为原点、AC 沿 x 轴，则 A(12,0)、B(0,5)，斜边 AB 的方程为 5x + 12y = 60（因为 12·5 = 60 且 5·12 = 60）。

半圆直径在 AC 上、一端在 C，故圆心为 (r, 0)、半径为 r。弧与 AB 相切即圆心到 AB 的距离等于 r：

|5r + 0 − 60| / 13 = r ⟹ 60 − 5r = 13r ⟹ 60 = 18r ⟹ r = 10/3。选 D。

（易错点：把半圆当成"内切圆"会算出 r = (12+5−13)/2 = 2，不在选项里；把圆心放到斜边上（半径 = 60/17）也不对。本题的切触结构是"直径在一条直角边上、弧切斜边"，用点到直线的距离公式一步到位。）

第 23 题｜四天的总里程（答案 C）

题目：Linda 连续四天每天各骑 1 小时，速度满足"行 1 英里用整数分钟"；此后每天行 1 英里所用分钟数比前一天多 5 分钟；每天走的路程也是整数英里。四天总路程是多少？选项：10、15、25、50、82。

解析：设第一天行 1 英里用 m 分钟，则四天依次为 m、m+5、m+10、m+15 分钟/英里。每天 60 分钟，故每天里程 = 60/m、60/(m+5)、60/(m+10)、60/(m+15)，四个都必须是整数，即这四个数都要整除 60。

60 的约数为 1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60。要在其中找出公差为 5 的四项：只有 5、10、15、20 满足（再往上 10、15、20、25 里 25 不整除 60；往下 1、6、11、16 里有非约数）。

四天里程依次为 60/5 = 12、60/10 = 6、60/15 = 4、60/20 = 3，总计 12 + 6 + 4 + 3 = 25 英里。选 C。

（易错点：只想到"m 是整数"而忘了 60/m 也必须是整数，会把 1、6、11、16 之类的组合也算进去。这题本质是"在 60 的约数里找公差 5 的等差数列"。）

第 24 题｜一年中有多少天没接到电话（答案 D）

题目：Sanders 女士的三个孙子分别每 3 天、每 4 天、每 5 天给她打一次电话，2016 年 12 月 31 日三人同时打过。问接下来的一年中有多少天她一个电话也没接到？选项：78、80、144、146、152。

解析：接下来的一年是 2017 年（平年，365 天）。第 n 天接到电话 ⟺ n 是 3、4、5 中某个的倍数。用容斥原理数"接到电话的天数"：

3 的倍数 ⌊365/3⌋ = 121；4 的倍数 ⌊365/4⌋ = 91；5 的倍数 ⌊365/5⌋ = 73；

12 的倍数 30；15 的倍数 24；20 的倍数 18；

60 的倍数 6。

代入容斥：121 + 91 + 73 − 30 − 24 − 18 + 6 = 219 天有电话。

没接到电话的天数 = 365 − 219 = 146。选 D。

（易错点：三个容斥项都要减、最后还要加回 60 的倍数，任何一项漏掉都会偏 6 的倍数。另注意"下一年"是 365 天——2017 不是闰年。）

第 25 题｜弧形区域的面积（答案 B）

题目：图中 US 与 UT 是长度均为 2 的线段，∠TUS = 60°。弧 TR 与弧 SR 都是半径为 2 的圆的六分之一。求图中所示区域的面积。选项：3√3 − π、4√3 − 4π/3、2√3、4√3 − 2π/3、4 + 4π/3。

解析：第一步，定形状。US = UT = 2 且夹角 60°，故 △UST 是边长为 2 的正三角形，ST = 2。弧 TR 是半径为 2 的六分之一圆，即 60° 弧；由 SR = ST = 2 且 ∠TSR = 60° 可知 R 是 S 关于 ST 的对称侧那个点，于是 △SRT 也是边长 2 的正三角形（R 在 ST 的另一侧）。

第二步，拆面积。所求区域 = △UST + 由弦 ST 与两弧围成的下部区域。

第三步，算下部区域。以 S 为圆心、半径 2 的 60° 扇形（张角 ∠TSR = 60°）面积为 (60/360)π·2² = 2π/3，它等于 △SRT 加上"弦 RT 与弧 RT 之间的弓形"。故每个弓形面积 = 2π/3 − √3（正三角形面积 = √3）。

下部区域 = △SRT − 两个弓形 = √3 − 2(2π/3 − √3) = 3√3 − 4π/3。

第四步，合并。总面积 = √3 + (3√3 − 4π/3) = 4√3 − 4π/3。选 B。

（易错点：把两段弧当成"外凸"而不是"内凹"，会得到 4√3 + 4π/3 之类不存在的选项；把弓形当成扇形整块减去，会漏掉正三角形的面积。判断凸凹的方法：看弧的圆心在区域内部还是外部——圆心 S、T 都在区域外侧，弧是向外鼓的，故要减。）

三、复盘建议

本卷前 10 题多为算术与百分比，第 11 题后进入真正的计数与几何。建议按模型整理：

约数与整除：第 7、12、17、19、23 题——1001 = 7×11×13、lcm 减一法、阶乘中素因子指数公式，都是固定套路；

容斥与守恒：第 13、24 题——"总胜=总负"和"三个集合的容斥"能省掉大量列举；

有序计数与对称：第 10、15、20 题——先定最受限的位置（个位、中心、边界），再用乘法原理；

面积加减：第 16、18、25 题——先算大块再减去多余部分，注意"非凸"与"内凹弧"这两类要减的图形；

点到直线距离：第 22 题——建系后用 |Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²)，比"相似三角形找半径"更快更稳。