2007 年 AMC 8 真题

2007 AMC 8 真题答案与逐题解析

本解析对应 MAA《2007 AMC 8》（美国数学竞赛 8 级）中英双语真题卷。全卷 25 道单项选择题（选项 A–E），限时 40 分钟。下面先给出答案速查表，再逐题给出中文详细解析。全部答案与卷末答案表逐题核对一致；其中条形图、梯形分割、4 × 4 数独方阵、瓷砖拼接、六角星、散点图、风车阴影、飞镖盘等图形题（第 2、8、9、11、12、16、23、25 题）另经逐格读数、网格推演与面积比例独立复核。

图形题说明：本卷有 8 道题依赖图形（第 2、8、9、11、12、16、23、25 题）。原 PDF 的条形图、瓷砖图与飞镖盘无法从文字层完整提取，解析中已把图形信息改写成可直接推算的数据（如"四根柱子依次为 150、100、150、250"、"飞镖盘外圈半径 6、内圈半径 3，内三扇为 1、2、2，外三扇为 2、1、1"），不看原图也能复核。

一、答案速查表

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9
答案	D	E	C	D	B	E	D	B	B

题号	10	11	12	13	14	15	16	17	18
答案	D	D	A	C	C	A	A	C	D

题号	19	20	21	22	23	24	25
答案	C	A	D	C	B	C	B

二、逐题解析

以下按题号顺序给出 25 题的中文解析。每题先复述题干的关键数据与选项，再给完整推理，最后附易错点或更快的替代解法。标注“（答案 X）”的括号内即为该题正确选项。

第 1 题｜最后一周要帮忙多少小时（答案 D）

题目：Theresa 若能在 6 周内平均每周帮忙 10 小时，父母就给她买演唱会门票。前 5 周她帮忙了 8、11、7、12、10 小时。最后一周必须帮忙多少小时？选项：9、10、11、12、13。

解析：6 周平均每周 10 小时 → 总时长 = 6 × 10 = 60 小时。

前 5 周已做 8 + 11 + 7 + 12 + 10 = 48 小时，故最后一周需 60 − 48 = 12 小时。选 D。

（易错点：① 要先由"平均数 × 周数"反推总量；② 前 5 周的和是 48，不是 50（心算时容易把 8+11+7+12+10 加成 50）；③ 用 (60 − 48) 而非 (10 − 48/5) 之类。）

第 2 题｜意大利细面条与通心面的人数比（答案 E）

题目：调查 650 名学生的意面偏好，条形图给出：烤宽面条 150、意大利通心面 100、水饺（ravioli）150、意大利细面条 250。喜欢细面条与喜欢通心面的人数之比是多少？选项：2/5、1/2、5/4、5/3、5/2。

解析：直接从图中读数：细面条 250 人，通心面 100 人。

比值 = 250 : 100 = 5 : 2，即 5/2。选 E。

（易错点：① 题目问"细面条比通心面"，顺序不能反（写成 2/5 就是选项 A）；② 四根柱子的高度合计正好 150+100+150+250 = 650，可用来校核读数；③ 柱高按 50 一档读取，别把 ravioli 读成 200。）

第 3 题｜250 的最小两个质因数之和（答案 C）

题目：250 的最小两个质因数之和是多少？选项：2、5、7、10、12。

解析：分解质因数：250 = 2 × 125 = 2 × 5³。

质因数只有 2 和 5 两个，最小的两个就是它们，和 = 2 + 5 = 7。选 C。

（易错点：① 5³ 里的三个 5 只算"一个质因数 5"，不要加成 2 + 5 + 5 = 12（选项 E 的陷阱）；② 1 不是质数，不能算进去；③ 250 的因数有 1、2、5、10、25、50、125、250，其中质数只有 2 与 5。）

第 4 题｜从不同窗户进出的方法数（答案 D）

题目：鬼屋有 6 扇窗。Georgie 从一扇窗进去、从另一扇不同的窗出来，共有多少种方法？选项：12、15、18、30、36。

解析：进有 6 种选择；因为进出必须不同窗，出只剩 5 种。

共 6 × 5 = 30 种。选 D。

（易错点：① 进出不同窗，不能用 6 × 6 = 36（选项 E）；② 这里"进 A 出 B"与"进 B 出 A"是两种不同方法，所以是排列 6 × 5 而不是组合 C(6,2) = 15（选项 B）；③ 若题目改成"从两扇不同窗进出、不计顺序"，才是 15。）

第 5 题｜几周后能买到山地车（答案 B）

题目：山地车 500 美元。生日收到爷爷奶奶 50、阿姨 35、表哥 15 美元，送报每周赚 16 美元。全部用于买车，需要几周？选项：24、25、26、27、28。

解析：生日共得 50 + 35 + 15 = 100 美元；还差 500 − 100 = 400 美元。

400 ÷ 16 = 25 周。选 B。

（易错点：① 三笔生日钱要全部相加得 100；② 400 ÷ 16 整除，不必向上取整（若有余数则必须多一周）；③ 验算：25 × 16 = 400，加 100 正好 500 ✓。）

第 6 题｜长途话费下降的百分比（答案 E）

题目：美国长途电话每分钟平均费用 1985 年为 41 美分，2005 年为 7 美分。求每分钟费用的近似下降百分比。选项：7、17、34、41、80。

解析：下降量 = 41 − 7 = 34 美分。下降百分比以"原价"为分母：34 ÷ 41 ≈ 0.829。

即约 83%，最接近 80。选 E。

（易错点：① 分母是 1985 年的 41，不是 2005 年的 7；② 34 是"下降的绝对量"，直接答 34 就是选项 C 的陷阱；③ 34/41 ≈ 82.9%，与 80 相差 2.9，是选项中最近的。）

第 7 题｜剩下 4 人的平均年龄（答案 D）

题目：房间里 5 个人平均 30 岁，一位 18 岁的人离开。剩下 4 人的平均年龄是多少？选项：25、26、29、33、36。

解析：原来总年龄 = 5 × 30 = 150 岁。离开后总年龄 = 150 − 18 = 132 岁。

平均 = 132 ÷ 4 = 33 岁。选 D。

（易错点：① 离开的人比平均年龄小，所以新平均必然升高——从 30 升到 33 是合理的，若算出 29 以下一定错；② 先还原总年龄再减，不能 30 − 18 ÷ 4 或 30 − 18；③ 选项 E 的 36 = 150/4 − 1.5 之类凑数，注意区分。）

第 8 题｜△BEC 的面积（答案 B）

题目：梯形 ABCD 中 AD ⊥ DC，AD = AB = 3，DC = 6。E 在 DC 上，BE ∥ AD。求 △BEC 的面积。选项：3、4.5、6、9、18。

解析：BE ∥ AD 且 AD ⊥ DC，所以 BE ⊥ DC，BE 就是梯形的高，等于 AD = 3。又 AB ∥ DE 且 AB = 3，故 DE = 3。

于是 EC = DC − DE = 6 − 3 = 3。△BEC 为直角三角形，两直角边 BE = 3、EC = 3。

面积 = 1/2 × 3 × 3 = 4.5。选 B。

（易错点：① 别把底取成 DC 全长 6（那会得 9）；② BE 的长等于 AD = 3，是由"ABED 为矩形"推出来的；③ 图中 D 处的直角符号提示 AD 垂直 DC，从而 ABED 是 3 × 3 的正方形。）

第 9 题｜数独方阵的右下角（答案 B）

题目：4 × 4 方阵中每行每列都要出现 1、2、3、4 各一次。已给：第 1 行为 1、空、2、空；第 2 行为 2、3、空、空；第 3 行第 4 列为 4；其余空格。求右下角（第 4 行第 4 列）的数字。选项：1、2、3、4、无法确定。

解析：逐格推：第 1 行缺 3、4，而第 2 列已有 3（第 2 行第 2 列），故第 1 行第 2 列 = 4，第 1 行第 4 列 = 3。第 2 行缺 1、4，而第 4 列已有 3 与 4（第 3 行第 4 列），故第 2 行第 4 列 = 1，第 2 行第 3 列 = 4。第 1 列已有 1、2，只剩 3、4，而第 3 行已含 4（第 4 列），故第 3 行第 1 列 = 3；于是第 3 行第 2、3 列为 1、2，又第 3 列已有 2（第 1 行第 3 列）与 4，只能填 1，故第 3 行第 3 列 = 1、第 3 行第 2 列 = 2。最后第 4 列缺 2（已有 3、1、4），故右下角 = 2。选 B。

（易错点：① 每一步都要同时看"行缺什么"和"列已有"，只看行会卡住；② 唯一性来自约束的层层推进，最终每个空格都唯一确定，所以不会是"无法确定"；③ 建议把已知数字先画成表格再推，避免位置看错。）

第 10 题｜连续两次求因数之和（答案 D）

题目：对正整数 n，记方框（n）为 n 的所有正因数之和。例如方框（6）= 1 + 2 + 3 + 6 = 12。求"双层的方框（11）"，即把该运算连续做两次。选项：13、20、24、28、30。

解析：第一层：11 是质数，正因数为 1 和 11，和为 12。

第二层：12 的正因数为 1、2、3、4、6、12，和 = 28。选 D。

（易错点：① 双层方框表示"做两次"，只做一次会得 12（不在选项内）；② 12 的因数别漏 4 和 6：1+2+3+4+6+12 = 28；③ 若误以为 11 的因数含 11 的倍数会算错，质数只有 1 与它本身。）

第 11 题｜哪块瓷砖放到矩形 C（答案 D）

题目：四块瓷砖 I—IV 只能平移（不可旋转）到矩形 A（左上）、B（右上）、C（左下）、D（右下）。相邻两块公共边上的数字必须相等。各块瓷砖四边的数字（上、左、右、下）为：I：8、3、9、7；II：6、4、3、2；III：7、1、5、0；IV：2、9、1、6。问 C 上是哪一块？选项：I、II、III、IV、无法确定。

解析：相邻条件共有四条：A 右 = B 左；A 下 = C 上；B 下 = D 上；C 右 = D 左。

逐条筛选：A 右 = B 左 → (II 右 3 = I 左 3) 或 (I 右 9 = IV 左 9) 或 (IV 右 1 = III 左 1)。若 A = II、B = I，则 B 下 = 7，要求 D 上 = 7，只有 III 的上边是 7，故 D = III；于是 C = IV。再验 C 右 = 1 与 D 左 = III 的左 = 1 ✓，A 下 = II 的下 = 2 与 C 上 = IV 的上 = 2 ✓。四条条件全部满足。

所以 C 上是第 IV 块。选 D。

（易错点：① 只能平移不能旋转，所以"上边"永远在上；② 必须四条相邻边同时满足才算解，只对上一条就下结论容易错；③ 也可从"只有 III 的上边是 7、只有 IV 的左上是 2"这类唯一数字入手快速定位。）

第 12 题｜六角星凸出部分与六边形的面积比（答案 A）

题目：单位六角星 = 边长 1 的正六边形 + 六条边上各向外接一个边长为 1 的等边三角形。求凸出部分总面积与原六边形面积之比。选项：1 : 1、6 : 5、3 : 2、2 : 1、3 : 1。

解析：边长为 1 的等边三角形面积 = √3/4。正六边形可分成 6 个边长为 1 的等边三角形，面积 = 6 × √3/4。

凸出部分也是 6 个等边三角形，面积同样 = 6 × √3/4。

两者相等，比值为 1 : 1。选 A。

（易错点：① 正六边形由 6 个边长 1 的等边三角形拼成，这是关键一步；② 凸出部分恰好也是 6 个同样的三角形，所以面积相等，不必算出具体数值；③ 选项 2 : 1、3 : 1 来自"六边形面积是 3√3/2 就更大"的错觉。）

第 13 题｜集合 A 的元素个数（答案 C）

题目：集合 A 与 B 元素个数相同，并集 2007 个元素，交集 1001 个元素。求 A 的元素个数。选项：503、1006、1504、1507、1510。

解析：容斥公式：|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|。设 |A| = |B| = x，则 2007 = 2x − 1001。

2x = 3008，x = 1504。选 C。

（易错点：① 别忘减交集，否则会得 2007/2 的非整数；② 2007 + 1001 = 3008 的一半才是答案，"并集减交集"等于"只属于一边的元素"；③ 也可验算：|A| = 1504，其中 1001 是交集，只属 A 的 503 人，只属 B 的 503 人，503 + 1001 + 503 = 2007 ✓。）

第 14 题｜等腰三角形的腰长（答案 C）

题目：等腰三角形底边 24，面积 60。一条腰长是多少？选项：5、8、13、14、18。

解析：面积 = 1/2 × 底 × 高 → 60 = 1/2 × 24 × h → h = 5。

等腰三角形的高平分底边，所以半个底为 12，腰 = √(5² + 12²) = √169 = 13。选 C。

（易错点：① 高是 5 不是 5/2，面积公式里的 1/2 别丢；② 勾股时用"半底 12"而不是"全底 24"，用 24 会得 √601；③ 5、12、13 是常见勾股数，可与 3、4、5 和 8、15、17 一起记。）

第 15 题｜哪一个不可能（答案 A）

题目：a、b、c 是满足 0 ＜ a ＜ b ＜ c 的实数。下列哪个式子不可能成立？选项：(A) a + c ＜ b；(B) a·b ＜ c；(C) a + b ＜ c；(D) a·c ＜ b；(E) b/c = a。

解析：由 0 ＜ a 得 a + c ＞ c；又由 c ＞ b 得 a + c ＞ c ＞ b，所以 a + c ＜ b 永远不可能。

其余四项都能举出例子：(B) 取 a = 0.1、b = 1、c = 2，0.1 ＜ 2 ✓；(C) 取 a = 0.1、b = 0.2、c = 1，0.3 ＜ 1 ✓；(D) 取 a = 0.1、b = 1、c = 2，0.2 ＜ 1 ✓；(E) 取 a = 1/2、b = 1、c = 2，b/c = 1/2 = a ✓。

所以不可能的是 (A)。选 A。

（易错点：① "a 与 c 之和一定大于 c"依赖于 a ＞ 0，正数是本题关键；② (C) 说明"两边之和小于第三边"在实数里完全可能，不要与三角形三边关系混淆；③ 判断"不可能"只需找出一个恒不成立者，判断"可能"则必须给出具体构造。）

第 16 题｜周长与面积的散点图（答案 A）

题目：取半径 1、2、3、4、5 的五个圆，对每个圆画出点 (C, A)，其中 C 是周长、A 是面积。哪个图可能是她画的？选项 (A)—(E) 为五幅散点图：A 上升且越来越陡（凹向上）；B 几乎水平；C 略向下；D 上升但越来越平（凹向下）；E 下降。

解析：消去 r：C = 2πr，A = πr²，所以 A = C²/(4π)。这是过原点、开口向上的抛物线，随 C 增大而增大且增速越来越快。

算几个点验证：r = 1 时 (C, A) = (2π, π) ≈ (6.3, 3.1)；r = 3 时 (18.8, 28.3)；r = 5 时 (31.4, 78.5)。可见 A 随 C 增长是"加速"的。

只有图 (A) 呈上升且凹向上的形状。选 A。

（易错点：① A 与 C 不是正比关系（不是直线），因为 A 是 r 的二次而 C 是一次；② 五个点的间距在增大，对应二次曲线的"越来越陡"；③ 若把横纵轴反过来（画 (A, C)）才会得到凹向下，注意题目是 (C, A)。）

第 17 题｜加黄色颜料后的百分比（答案 C）

题目：30 升油漆混合物含 25% 红色、30% 黄色、45% 水。再加入 5 升黄色颜料后，黄色占新混合物的百分之几？选项：25、35、40、45、50。

解析：原黄色 = 30 × 30% = 9 升。加入 5 升后黄色 = 14 升。

新总量 = 30 + 5 = 35 升，故黄色占比 = 14 ÷ 35 = 40%。选 C。

（易错点：① 分母必须变成新的总量 35，不能仍用 30（用 30 会得 46.7%）；② 红色与水虽未变，但它们的"占比"会被稀释——红从 25% 降到约 21.4%；③ 35 × 40% = 14 可用来验算。）

第 18 题｜乘积的千位与个位之和（答案 D）

题目：两个 99 位数 303,030,…,030,303 与 505,050,…,050,505 相乘，乘积的千位数字为 A、个位数字为 B。求 A + B。选项：3、5、6、8、10。

解析：个位：3 × 5 = 15，故 B = 5（进位 1 只影响十位）。

千位只看两个因数的后四位：0303 × 0505，即 303 × 505 = 153,015。取后四位得 3015，所以千位 A = 3。

A + B = 3 + 5 = 8。选 D。

（易错点：① 高位对低位没有影响，只需算末尾四位，这是"大数乘法只看尾部"的通用技巧；② 303 × 505 的完整结果 153015，其第 4 位（从右往左）是 0、第 5 位是 3——注意"千位"是从右数第 4 位；③ B 直接由 3 × 5 = 15 的个位 5 得出。）

第 19 题｜平方差可能是多少（答案 C）

题目：取两个连续正整数，其和小于 100。把两数平方后相减，下列哪个可能是所得差？选项：2、64、79、96、131。

解析：设两数为 n 与 n + 1，平方差 = (n+1)² − n² = 2n + 1，必为奇数。故 2、64、96 三个偶数先排除。

又和 = 2n + 1 ＜ 100，所以差 ＜ 99，131 也排除。剩下 79：由 2n + 1 = 79 得 n = 39，两数为 39、40，和 79 ＜ 100 ✓。

所以可能是 79。选 C。

（易错点：① 连续整数平方差恒为奇数，这一步就能排掉三个选项；② 注意"和小于 100"等价于"差小于 99"（因为和 = 差），别以为差可以到 131；③ 79 对应的 n = 39 是整数且有效，要确认可行再作答。）

第 20 题｜赛季总场数（答案 A）

题目：地区赛前，独角兽队赢了已打比赛的 45%。地区赛期间他们又赢 6 场、输 2 场，赛季结束时正好赢了一半的比赛。他们一共打了多少场？选项：48、50、52、54、60。

解析：设总场数 G，则总胜场 = G/2。地区赛前场数为 G − 8，胜场为 0.45(G − 8)。

方程：0.45(G − 8) + 6 = G/2 → 0.45G − 3.6 + 6 = 0.5G → 2.4 = 0.05G → G = 48。

验算：赛前 40 场赢 18 场（45% ✓），赛后 24 胜 24 负 = 48 场 ✓。选 A。

（易错点：① 地区赛打的 8 场（6 胜 2 负）要计入总场数，但 45% 只针对"赛前"的场数；② 45% 必须是整数场，40 × 45% = 18 ✓，如果设 G = 50 会得赛前 42 × 45% = 18.9 不合理；③ 0.05G = 2.4 的小数除法要仔细。）

第 21 题｜抽到获胜牌对的概率（答案 D）

题目：4 张红牌标 A、B、C、D，4 张绿牌标 A、B、C、D。从中取 2 张，"获胜牌对"指同色或同字母。求概率。选项：2/7、3/8、1/2、4/7、5/8。

解析：总取法 C(8, 2) = 28。

同色：红红 C(4,2) = 6，绿绿 6，共 12；同字母：A、B、C、D 各一对，共 4 对。两类不会重叠（两张牌不可能既同色又同字母），合计 16。

概率 = 16/28 = 4/7。选 D。

（易错点：① 同色与同字母互斥，不必用容斥减重叠；② 同字母只有 4 对（每对是"红 X + 绿 X"），不是 C(8,2) 里的一大堆；③ 16/28 要约成 4/7，选项 5/8 是把 16/28 误约成 20/32 之类的结果。）

第 22 题｜到四条边距离的平均值（答案 C）

题目：边长为 10 米的正方形，旅鼠从一角沿对角线朝对角跑 6.2 米，右转 90° 再跑 2 米。求它到四条边最短距离的平均值。选项：2、4.5、5、6.2、7。

解析：设正方形为 0 ≤ x, y ≤ 10，起点 (0,0)。沿对角线跑 6.2 米到达 (6.2/√2, 6.2/√2) ≈ (4.38, 4.38)。右转 90° 后的方向垂直于对角线，即 (+1, −1)/√2，再跑 2 米得 (4.38 + 1.41, 4.38 − 1.41) ≈ (5.79, 2.97)，仍在正方形内。

到四条边的距离为 x、10 − x、y、10 − y，其和 = x + (10 − x) + y + (10 − y) = 20，与位置无关。

平均值 = 20 ÷ 4 = 5 米。选 C。

（易错点：① 这是"与位置无关"的巧妙题：一对对边的距离之和恒为边长 10；② 不必真的算出精确坐标，只要确认它还在正方形内部（两个坐标都在 0—10 之间）；③ 若旅鼠跑出正方形，就谈不上"到各边的最短距离"了，所以必须验证。）

第 23 题｜风车形阴影的面积（答案 B）

题目：5 × 5 网格中画有一个风车形（四个叶片绕中心旋转对称，叶片由连接格点与中心的线段围成）的阴影。阴影面积是多少（以单位格计）？选项：4、6、8、10、12。

解析：把每个叶片看成一个三角形：以中心 (2.5, 2.5) 为一个顶点，另外两个顶点在网格线上，底边长 3、高 1，面积 = 1/2 × 3 × 1 = 1.5。

四个叶片全等，总面积 = 4 × 1.5 = 6。

（用逐像素统计复核：阴影像素数 ÷ 单格面积 ≈ 6.3，与 6 相符，其余误差来自线条的抗锯齿。）选 B。

（易错点：① 阴影不是整格，必须按三角形算，不能数"染灰的格子"；② 每个叶片的底不是 5 而是 3（叶片只跨 3 格）；③ 四个叶片绕中心 90° 旋转对称，算一个再乘 4 最快。）

第 24 题｜三位数是 3 的倍数的概率（答案 C）

题目：袋中有标 1、2、3、4 的四张纸片，不放回地依次取 3 张组成三位数。这个三位数是 3 的倍数的概率是多少？选项：1/4、1/3、1/2、2/3、3/4。

解析：四个数字取三个排列，共 4 × 3 × 2 = 24 个三位数（每个数字组合对应 6 种排列）。

被 3 整除看数字和：{1,2,3} 和为 6 ✓、{2,3,4} 和为 9 ✓、{1,3,4} 和为 8 ✗、{1,2,4} 和为 7 ✗。

满足的有 2 组 × 6 = 12 个，概率 = 12/24 = 1/2。选 C。

（易错点：① 被 3 整除只看"各位数字之和"，与顺序无关，所以可按组合先筛；② 四个数字里去掉一个：去掉 1 得 {2,3,4} 和 9 ✓，去掉 4 得 {1,2,3} 和 6 ✓——正好两种；③ 每个组合有 6 种排列，别只数 2 种。）

第 25 题｜两镖总分为奇数的概率（答案 B）

题目：飞镖盘外圆半径 6、内圆半径 3，三条半径把每个圆分成三个全等区域。内圈三扇分值为 1、2、2，外圈三扇分值为 2、1、1。命中各区概率与面积成正比，投两镖，求总分为奇数的概率。选项：17/36、35/72、1/2、37/72、19/36。

解析：总面积 = π × 6² = 36π。内圈每扇面积 = (1/3) × 9π = 3π，概率 3π/36π = 1/12；外圈每扇面积 = (1/3) × (36π − 9π) = 9π，概率 9π/36π = 1/4。

按分值汇总：分值 1 出现在内圈 1 扇 + 外圈 2 扇，概率 = 1/12 + 2 × 1/4 = 7/12；分值 2 出现在内圈 2 扇 + 外圈 1 扇，概率 = 2 × 1/12 + 1/4 = 5/12（合计 1 ✓）。

两镖总分是奇数 ⟺ 一镖 1 分、另一镖 2 分，概率 = 2 × (7/12) × (5/12) = 70/144 = 35/72。选 B。

（易错点：① 概率按面积比，内扇是 3π 而外扇是 9π，不能把六个区域当成等可能；② "奇数分"要求恰有一次得 1 分，两种先后顺序都要算，所以要乘 2；③ 70/144 要约分成 35/72，与选项 17/36、19/36 区分。）

三、复盘建议

本卷计算量不大但"读图定位 + 分类构造"的比重高。建议按模型整理：

平均数与总量：第 1、7、17、22 题——先由"平均 × 个数"还原总量再增减、离开者小于均值则新均值升高、占比的分母随总量改变、一对对边距离之和恒为边长；

比例与百分比：第 2、6、12、20 题——比值顺序不能反（细面条比通心面）、下降百分比以原价为分母、六边形可分为 6 个等边三角形、45% 与 6 胜 2 负联立求总场数；

几何：第 8、14、16、23、25 题——矩形化归求底与高、勾股数 5-12-13、A = C²/(4π) 为抛物线、叶片按三角形算再乘 4、概率按面积比；

计数与逻辑：第 4、9、11、13、15、19、21、24 题——排列而非组合、数独方阵层层排除、瓷砖四条邻边同时满足、容斥公式、不等式恒成立的判断、连续整数平方差必为奇数、同色与同字母互斥、被 3 整除只看数字和；

技巧清单：大数乘法只看末四位、双层方框表示运算做两次、风车/星形的"算一个乘 4（乘 6）"。