2018年CNAO天文奥赛决赛试题
2018年5月5日 闭卷
注意事项
1. 本试卷共35题，分为选择题、简答题和笔试观测三部分。
2. 选择题低年组答1～10题，高年组答4～13题。每题选择一个最接近正确的答案，将对应的字母（A、B、C、D之一）填在题号后的括弧里。不会做的题目不选。每道题答对得4分，答错或多选得-4分，不选得0分。
3. 简答题每题15分，只写公式或只给出最后答案的均不能得满分。低年组答14～17题，高年组答15～18题。
4. 笔试观测部分根据提供的星图完成相关题目。
5. 允许使用计算器，但禁止使用手机等通讯设备。
姓名：________ 年级：________ 班级：________ 得分：________
Ⅰ、选择题
低年组答1～10题，高年组答4～13题。每题选择一个最接近正确的答案，将对应的字母（A、B、C、D之一）填在题号后的括弧里。不会做的题目不选。每道题答对得4分，答错或多选得-4分，不选得0分。
1、（ ）（仅低年组）下列四组行星中，此时角距离最近的是 。
（A）水星和金星 （B）金星和木星
（C）火星和木星 （D）火星和土星
2、（ ）（仅低年组）在南半球中纬度地区观测，现在是恒星时7h，已知某恒星再经过2h30m后上中天，请问该恒星的赤经为 。
（A）0h30m （B）3h30m
（C）9h30m （D）6h30m
3、（ ）（仅低年组）暗物质粒子探测器 基于在轨运行的前530天共采集了约28亿个高能宇宙射线，成功获取了目前国际上精度最高的TeV电子宇宙射线探测结果。
（A）悟空 （B）ALMA
（C）南极AST-3 （D）Gaia
4、（ ）今天我们可以观测到 。
（A）四月天琴座流星雨 （B）宝瓶座η流星雨
（C）船尾座π流星雨 （D）英仙座流星雨
5、（ ）一般来说，形成稳定恒星的质量上限大约是150个太阳质量，那么形成稳定恒星的质量下限是 个太阳质量。
（A）0.01 （B）0.08
（C）0.14 （D）0.51
6、（ ）以下哪个深空天体在天球上离天津四最近？
（A）M35 （B）NGC7000
（C）M27 （D）NGC7293
7、（ ）下列年份，哪一年会发生日全食（包括全环食），且全食带中心点距离我国最近？
（A）2020年 （B）2021年
（C）2022年 （D）2023年
8、（ ）以下梅西叶天体中距离我们最远的是 。
（A）M13 （B）M42
（C）M104 （D）M78
9、（ ）小猪佩奇很喜欢玩踩泥巴的游戏，它在地球上的最高纪录是可以让泥巴飞1m高。一天，它来到了一颗材质与地球相似的陌生星球旅行，又玩起了踩泥巴的游戏。只见它用力一踩，泥巴直冲云霄，刚好飞离星球，再也没有回来。那么这颗星球的质量约为 。
（A）3.7×10¹⁴kg （B）3.6×10¹⁸kg
（C）22×10¹⁹kg （D）8.5×10²⁴kg
10、（ ）一颗红巨星的温度为2500K，半径是太阳的100倍，距离10pc，已知该红巨星在可见光波段（400nm≤λ≤700nm）的辐射能量占总光度L的3.3%，假如一个100W灯泡发出总辐射能量的5%在可见光波段，灯泡在 的距离上，肉眼看起来和红巨星一样亮。
（A）1.8km （B）7km
（C）10km （D）18km
11、（ ）（仅高年组）以下说法不正确的是 。
（A）银河系以较差自转的方式自转，越靠近中心，旋转一周的时间越短。 （B）太阳系位于直径约为10万光年的银河系的银盘上，距离中心大约2.5万光年。
（C）1923年，埃德温·哈勃通过测定M31内造父变星的光度并计算出距离，证明了M31是河外星系。 （D）球状星团大多分布在银盘上，疏散星团主要分布在银晕中。
12、（ ）（仅高年组）已知一颗恒星的光度是太阳的4倍，从地球上探测到这颗恒星的流量密度为3.05×10⁻¹⁴W/m²，则这颗恒星到地球的距离约为 。
（A）4×10¹⁵m （B）1×10¹⁸m
（C）6×10¹⁹m （D）8×10²⁴m
13、（ ）（仅高年组）已知当前的宇宙背景辐射温度为2.73K，那么红移为5的地方的宇宙背景辐射温度约为 。
（A）2.73 K （B）10.92 K
（C）13.65 K （D）16.38 K
Ⅱ、简答题
每题15分，只写公式或只给出最后答案的均不能得满分。低年组答14～17题，高年组答15～18题。
14、（低年组）古刹与月牙
图1是一位叫杨勇的天文摄影师拍摄的一张照片，某座山上的古刹与一轮金钩状的月牙叠在一起。为了方便大家解题，把照片的黑色背景替换成了灰色。已知此时月亮视直径为30′，该古刹高34m，箭头所指处为该古刹所修建的山顶平台，那么：
（1）试求摄影师距离古刹多远？
（2）假设摄影师使用的相机某品牌APS-C画幅的相机，传感器尺寸为23.6×15.6mm，拍到的这张照片没有进行裁剪，试问摄影师所使用的镜头焦距为多少？
（3）这张照片拍摄于2017年4月28日20:40，查阅星图软件可知此时从摄影机位看月亮中心的地平高度为4.5°。已知该摄影机位海拔50m，试问该古刹所在的山顶平台海拔高度为多少？
15、（低年组和高年组）月全食
2018年1月31日，地球上的很多地区都观测到了一次月全食天象。这次月全食的本影食分和半影食分分别为1.3和2.3，其他相关信息请自行回忆。同时月球上的一位观测者欣赏到了一次日食。如果它一直待在某个位置，那么他可能观测到日食最长能持续多久？
16、（低年组和高年组）食双星
已知食双星系统中，两个天体相互环绕的轨道倾角为90度，主星视星等为1等，伴星视星等为2等，主星半径是伴星的2倍。请给出两个天体完成一次相互绕转，系统视星等的变化情况。
17、（低年组和高年组）地球的兄弟
地球也许存在一个不轻易露面的兄弟。假设存在一颗与地球类似的行星，同样运行于地球的公转轨道上，只是当地球位于近日点时，这颗行星正位于轨道的远日点。估算从地球上观察，这颗行星东大距和西大距的日期，以及大距时行星与太阳的距角。表1为2018年二十四节气的时刻（北京时间）。
18、（高年组）霍金辐射
在本题中，你会一步一步地推导黑洞的霍金辐射表达式。在这里，黑洞的模型为没有自旋、不带电荷的史瓦西黑洞；由于严格的计算需要用到量子场论的知识，在一些细节上你只需要正确估计量级。
（1）请写出质量为M的史瓦西黑洞的视界面半径rs；如果你不会，你可以从牛顿力学出发，计算质点M在逃逸速度为光速c时对应的半径。
（2）考虑量子效应后，理论上光子可以从这一黑洞中逃逸出来，我们认为这时光子的波长λ应与黑洞视界面的典型尺度相当。光子的温度可以表示为T=E/kB，其中kB为玻尔兹曼常数，E为光子的能量。则光子的温度是多少？
（3）假设黑洞以上方式辐射光子，则黑洞辐射的功率是多少？
（4）黑洞的寿命τ和黑洞初始质量M0的几次方成正比？
Ⅲ、笔试观测
下图是某地北京时间2017年12月30日3时16分所见星空。图中同心圆为等地平高度圈，间隔30°。星图中心位置为天顶。仔细观察并完成如下题目：
（注：原卷含星空示意图，请参考原卷。）
19、观测地地理纬度： 。
20、观测地地理经度： （填写选项对应字母）。
（A）84°E
（B）120°E
（C）156°E
（D）192°E
21、依次写出图中5个圈中最亮恒星的名称：（填写选项对应字母）
1. 2. 3. 4. 5. 。
（A）室女座α （B）天琴座α （C）白羊座α （D）天龙座α
（E）金牛座α （F）金牛座β （G）仙后座α （H）狮子座α
（I）狮子座β （J）玉夫座α （K）长蛇座α （L）仙女座α
（M）猎户座α （N）猎户座β （O）大犬座α （P）大犬座β
（Q）双子座α （R）双子座β
22、下列哪两个梅西叶天体不在星图中： （填写选项对应字母）。
（A）M1
（B）M13
（C）M31
（D）M42
（E）M44
（F）M45
（G）M57
（H）M81
（I）M101
23、用符号◎在图中标出月球的具体位置，符号大小需与示例相同。
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Ⅰ、选择题
答案速查：
1-5： D C A B B
6-10： B D C A C
11-13：D C D
逐题答案与解析：
1、D 2018年5月5日，水星刚过4月29日的西大距，位于太阳西侧是晨星；金星在太阳东侧是昏星，两者分居太阳两侧，角距在60°以上。木星5月9日才冲日，与火星相距80°以上。此时火星与土星都在人马—摩羯一带，角距只有二十几度，是四组中最小的，故选D。
2、C 恒星上中天时，地方恒星时等于它的赤经。现在恒星时为7h，再过2h30m它上中天，那时恒星时变为7h+2h30m=9h30m，所以该星赤经为9h30m，故选C。（此刻它东距子午圈2h30m，时角为-2h30m，由赤经=恒星时-时角同样得9h30m。）
3、A "悟空"暗物质粒子探测器基于在轨前530天采集了约28亿个高能宇宙射线，获取了精度最高的TeV电子宇宙射线探测结果。
4、B 5月5日前后正是宝瓶座η流星雨的活跃期（5月6日极大），母体是哈雷彗星，后半夜到黎明观测条件较好。四月天琴座流星雨4月22日已过极大，船尾座π流星雨4月下旬也已结束，英仙座流星雨要等到8月中旬，故选B。
5、B 形成稳定恒星（主序星）的质量下限约为0.08个太阳质量，低于此值无法维持氢聚变。
6、B NGC7000（北美星云）就在天津四西南约3°，是同一天区里最近的深空天体；M35在双子座、M27在狐狸座，与天津四都相距20°以上，NGC7293在宝瓶座、相距更远，故选B。
7、D 2020年6月21日是日环食（不是全食），2021年12月4日的日全食落在南极洲，2022年全年只有两次日偏食。2023年4月20日的全环食，全食带经过印度尼西亚和澳大利亚西北部，是四者中全食带离我国最近的一次，故选D。
8、C M13约2.5万光年、M42约1344光年、M78约1600光年，而M104（草帽星系）远在2900万光年之外，是四者中最远的，故选C。
9、A 在地球上泥巴以v=√(2g×1m)≈4.4m/s起跳。到这颗星球上同样一脚使泥巴恰好逃逸，即逃逸速度√(2GM/R)=4.4m/s。星球“材质与地球相似”，密度取ρ=5.5×10³kg/m³，由 √(2GM/R)=√(8πGρ/3)·R 得 R=4.4/1.76×10⁻³≈2.5×10³m，于是 M=(4/3)πR³ρ≈3.7×10¹⁴kg，故选A。（半径只有2.5km，是一颗典型小行星尺度的天体。）
10、C 红巨星的光度 L=4πR²σT⁴=(100)²×(2500/5772)⁴L☉≈3.5×10²L☉≈1.3×10²⁹W，其中可见光占3.3%，即4.4×10²⁷W。在10pc（3.1×10¹⁷m）处可见光流量为 4.4×10²⁷/(4π×(3.1×10¹⁷)²)≈3.7×10⁻⁹W/m²。100W灯泡的可见光约5W，令 5/(4πd²)=3.7×10⁻⁹，得 d≈1.0×10⁴m≈10km，故选C。
11、D 球状星团分布在银晕中、年龄很老，疏散星团才主要分布在银盘上，D把两者说反了，故D不正确。A、B、C都正确：银河系作较差自转，越靠里转得越快；太阳距银心约2.5万光年；1923年哈勃用M31中的造父变星测出距离，确立了河外星系的概念。
12、C L=4L☉=4×3.83×10²⁶=1.53×10²⁷W，由 f=L/(4πd²) 得 d=√(L/4πf)=√(1.53×10²⁷/(4π×3.05×10⁻¹⁴))≈6.3×10¹⁹m，故选C。
13、D 宇宙背景辐射的温度随红移按 T=T₀(1+z) 升高：T=2.73×(1+5)≈16.4K，故选D。
Ⅱ、简答题
14、（低年组）古刹与月牙
（1）在照片上量得：月亮视直径7.6cm（对应30′），古刹高4.5cm，故古刹的张角 θ=30′×4.5/7.6≈17.8′≈5.2×10⁻³rad。已知古刹实际高34m，摄影师到古刹的距离 L=34/tan17.8′≈34/5.2×10⁻³≈6.6×10³m，即约6.6km。
（2）照片宽边24.6cm对应的视角为 30′×24.6/7.6≈97.1′=5826″。照片未裁剪，竖拍时24.6cm对应传感器的短边15.6mm。由底片比例尺 206265″/f × 传感器边长 = 视场角，得 f=206265″×15.6mm/5826″≈552mm，即摄影师用的是约550mm的长焦镜头。
（3）月亮中心到山顶平台在照片上相距4.6cm，故山顶平台比月心低 30′×4.6/7.6≈18.2′=0.30°。拍摄时月心地平高度4.5°，所以山顶平台相对摄影机位的仰角为 4.5°-0.30°≈4.2°。结合第(1)问，山顶平台相对机位的高差 h=L·sin4.2°≈6580×0.0732≈482m，故其海拔约为 482m+50m≈532m。（因照片测量有误差，允许±10m。）
15、（低年组和高年组）月全食
先求地球本影的长度：由相似三角形 x/(1.50×10⁸km+x)=12756km/1392000km，得 x≈1.39×10⁶km。
本次月食期间月球位于近地点附近，距离地球大约36万千米。那么36万千米处地球本影大小为9446km，大约是月球直径的2.7倍。
本次月食的本影时分为1.3，因此月球进入本影最深处距离地影边缘 3475×1.3=4517km。
接下来计算半影的范围，如果月面的某个位置进入地球半影，意味着那里能观测到日偏食。所以观测到日食的初亏到复圆要包含半影月食的过程。3475×2.3=7993km，因此半影直径约为1.6万千米。
月球公转周期27.32天、地月平均距离38万千米，由开普勒第二定律近似得近地点附近月球的公转速度约9.22×10⁴km/天。日食（对月面观测者而言是地球遮住太阳）从初亏到复圆就是月球穿过地球半影的全过程，历时 1.6×10⁴km÷9.22×10⁴km/天≈0.17天≈4.2小时。（本题的半影食分2.3、本影食分1.3决定了半影直径约为2×2.3×3475km≈1.6×10⁴km，是本影直径2×1.3×3475km≈9.0×10³km的1.8倍，与几何计算的9446km相符。）
16、（低年组和高年组）食双星
设主星视星等m₁=1等、伴星m₂=2等，对应流量为F₁、F₂，由 m₂-m₁=-2.5lg(F₂/F₁) 得 F₂=0.398F₁。
四种情形：①两星互不遮挡（无掩食）时 F=F₁+F₂=1.398F₁，m=1-2.5lg1.398≈0.64等；②伴星被主星完全掩食时 F=F₁，m=1.00等（主极小，最暗）；③伴星从主星前方经过时，主星半径是伴星的2倍，伴星只挡住主星圆面的1/4，F=0.75F₁+0.398F₁=1.148F₁，m=1-2.5lg1.148≈0.85等（次极小）；④再次不相掩，回到0.64等。 一个周期内系统视星等的变化为 0.64等→1.00等→0.64等→0.85等→0.64等，如此反复。因轨道倾角90°、两星光度相差不大，两个极小一深一浅交替出现。
17、（低年组和高年组）地球的兄弟
设太阳在S，地球轨道近日点P、远日点A。地球过近日点时行星正在远日点，此后两者沿同一轨道相差约半个周期地运动，从地球上看行星始终在太阳附近，角距ESE′不断变化。 由于椭圆轨道上“直径相对”的两点并不关于太阳对称（近点与远点的连线虽是直径，但中间各点的径向长度不同），行星与地球的连线方向与日地连线方向有一个小夹角，其最大值就是大距时的距角。 地球1月4日前后过近日点，1/4周期约91.3天，故东大距约在4月5日、西大距约在10月4日前后（东大距时行星在太阳以东、傍晚可见；西大距时在太阳以西、凌晨可见）。 按表中节气时刻内插可得：大距时地球日心黄经约195.1°，行星约11.1°，两者相差约176.0°，即行星与太阳的距角只有约2.0°。这说明这颗“地球的兄弟”永远藏在太阳的光辉附近，几乎无法被观测到。
18、（高年组）霍金辐射
（1）黑洞的史瓦西半径为：rs=2GM/c²。从牛顿力学出发，令逃逸速度v=c，可得1/2·mv²=GMm/r，即r=2GM/c²。
（2）光子的能量E=hc/λ，取λ≈rs=2GM/c²，故光子的温度为T=E/kB=hc/(λkB)=hc³/(2GMkB)。
（3）按题目的量级估计：把黑洞当成温度T=hc³/(2GMkB)、半径rs=2GM/c²的黑体，表面积S=4πrs²，由斯特藩—玻尔兹曼定律 P=σST⁴ 得 P=(2π⁶/15)·hc⁶/(G²M²)∝M⁻²。代入M=M☉可算出约7×10⁻²¹W，而严格的霍金公式 P=ħc⁶/(15360πG²M²) 给出约2×10⁻²⁸W——本题只要求估计量级，两者相差的常数因子（约10⁷）来自T的估计中省略的2π等因子被四次方放大，但 P∝M⁻² 这一结论完全一致。
（4）根据质能方程，黑洞总能量E(t)=M(t)c²。单位时间内黑洞质量损失率dM/dt∝-1/M²。故黑洞寿命τ∝M₀³，即黑洞的寿命τ和黑洞初始质量M0的三次方成正比。
Ⅲ、笔试观测
19、24° 星图以天顶为中心，北天极到天顶的角距等于90°-φ；图上北天极约在两个30°圈（约66°）之外，故 φ≈90°-66°=24°。
20、A 由图中已知亮星的赤经与它们在图上相对中天的位置可定出当时的当地恒星时，再与北京时间3时16分对应的世界时19时16分相减，可得经度约84°E，故选A。
21、（1）K（2）I（3）M（4）Q（5）L 五个同心圆即天顶到地平线的五个30°环带，逐带找出最亮的恒星：长蛇座α（K，1.98等）、狮子座β（I，2.14等）、猎户座α（M，0.45等）、双子座α（Q，1.58等）、仙女座α（L，2.06等）。
22、B、G M13和M57不在星图中。
23、月球位置 2017年12月30日月龄约12.2天（2018年1月2日才到望），是盈凸月；此时月球黄经约67°，位于双子座东部、赤纬约+21°，与观测地纬度24°相近，凌晨3时16分它已过中天、高度约45°，故符号◎应画在星图西侧30°圈与60°圈之间、方位约西偏北的位置。
全国中学生天文奥赛组委会拥有最终解释权。
北京天文馆 / 全国中学生天文奥赛组委会