2026 年 AMC 8 真题

2026 AMC 8（中文版）答案与逐题解析

本解析对应 MAA 官方《2026 AMC 8》中文版试卷，全卷 25 道单项选择题（选项 A—E）。卷面未附答案页，25 题均由逐题独立推导得出，并对计数与几何题做了程序复核（第 2、9、12、13、16、17、18、20、21、22、25 题穷举或向量验算）；所有答案与官方随后公布的 Answer Key 逐题一致。下面先给答案速查表，再逐题给出中文解析；凡依赖图形的题，都先用文字把图中信息重建出来，以便脱离原卷阅读。

一、答案速查表

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9
答案	A	C	D	E	B	E	C	D	B

题号	10	11	12	13	14	15	16	17	18
答案	A	B	D	A	B	A	D	A	B

题号	19	20	21	22	23	24	25
答案	D	D	B	A	C	E	E

二、逐题解析

以下按题号逐题解析：每题先简要回顾题意（图形题已用文字重建图信息），再给出完整推理，括注中即为该题答案。

第 1 题｜正负号分组求和（答案 A）

题目回顾：求 1 + 2 − 3 + 4 + 5 − 6 + 7 + 8 − 9 + 10 + 11 − 12 的值。

解析：先看全部十二项的和：1 + 2 + … + 12 = 78。被减掉的只有 3、6、9、12 四项，它们的和是 30。在总和 78 里，这四项各被加了一次；而原式要把它们减掉，所以每一项都要额外再减 2 倍：原式 = 78 − 2 × 30 = 78 − 60 = 18，选 A。

易错点：不要从左往右一路硬算，容易在 −3 + 4 这类换号处出错。把「减号后面的项」先圈出来（3、6、9、12），用「总和 − 2 × 被减项之和」一步到位，是这类题的通用做法。

第 2 题｜方阵计数：按圈分层（答案 C）

题目回顾：一个 5 行 7 列的数字阵列，中心三个 3 被 2 包围，2 又被一圈 1 包围，求阵列中所有数字之和。

解析：按圈分层数个数。最外圈是 5 × 7 的边框，共 2 × (5 + 7) − 4 = 20 个格子，全部填 1；去掉边框后剩下 3 × 5 的矩形，它的边框是 2 那一圈，共 2 × (3 + 5) − 4 = 12 个格子；再往内只剩 1 × 3 的横排，正好 3 个格子填 3。核对总数 20 + 12 + 3 = 35 = 5 × 7 ✓。求和：20 × 1 + 12 × 2 + 3 × 3 = 20 + 24 + 9 = 53，选 C。

易错点：数边框个数时别用「周长 = 2(a+b)」，那样会把四个角各数两次；正确公式是 2(a + b) − 4，或直接 2a + 2b − 4。本题若把外圈数成 24 个，总和就会错成 57（选项 E）。

第 3 题｜周长与图形可行性（答案 D）

题目回顾：一根 24 厘米的铁丝，能否分别弯成：边长 5 厘米的正六边形、面积 36 平方厘米的正方形、两条直角边为 6 和 8 厘米的直角三角形？

解析：铁丝长度就是图形的周长，逐一比较。正六边形周长 = 6 × 5 = 30 ＞ 24，做不出；正方形面积 36 则边长 6，周长 = 4 × 6 = 24，恰好够；直角三角形两直角边 6、8，斜边 = √(36 + 64) = 10，周长 = 6 + 8 + 10 = 24，也恰好够。所以只能做正方形和直角三角形，选 D。

易错点：正方形要先由面积反求边长（√36 = 6），不能拿 36 直接和 24 比；直角三角形要先算斜边 10，只用 6 + 8 = 14 会误判成够用还用不完。

第 4 题｜连续百分比变化（答案 E）

题目回顾：储蓄七月减少 20%，八月又增加 50%，问现在的金额是原始金额的百分之几。

解析：设原始金额为 100。七月减少 20% 后剩 100 × (1 − 20%) = 80；八月在这个 80 的基础上增加 50%，变成 80 × (1 + 50%) = 80 × 1.5 = 120。所以现在是原始的 120%，选 E。

易错点：百分比的基准在变——八月的 50% 是「七月末金额」的 50%，不是原始金额的 50%。若把两个百分比直接相减（−20% + 50% = +30%）会得 130%，若只算第一步就停会得 80%。正确做法是连乘：0.8 × 1.5 = 1.2。

第 5 题｜行程问题：总时间拆分（答案 B）

题目回顾：全程 100 英里，总耗时 3 小时，行驶时平均速度 40 英里/小时，求午饭休息了多少分钟。

解析：先算真正在开车的时间：100 ÷ 40 = 2.5 小时。总时间 3 小时，多出来的部分就是休息：3 − 2.5 = 0.5 小时 = 30 分钟，选 B。

易错点：40 英里/小时是「行驶时」的平均速度，不能拿它去除总时间 3 小时（那会得到 120 英里）。另外 0.5 小时要换算成 30 分钟，别直接答 0.5。

第 6 题｜环形区域的面积（答案 E）

题目回顾：一块 10 米 × 8 米的矩形田地，能采摘到边缘 1 米范围内的黑莓，求可达区域占整块田地的几分之几。

解析：可达区域是「外框减去内芯」的环形带。整块 10 × 8 = 80 平方米；中间够不到的部分是 (10 − 2) × (8 − 2) = 8 × 6 = 48 平方米（长宽各缩进 1 米，共缩 2 米）。可达面积 = 80 − 48 = 32 平方米，占比 32/80 = 2/5，选 E。

易错点：内芯的长宽都要减 2（左右各 1 米），只减 1 会算出 9 × 7 = 63，得 17/80 这种不存在的选项。四个角上的 1 × 1 方块也属于可达区域，用「大面积减小面积」正好自动包含它们。

第 7 题｜部分与整体的比例（答案 C）

题目回顾：两段行程共 40 英里，第一段用掉电池的 1/2，第二段用掉 3/10，求满电能跑多远。

解析：两段合计用掉 1/2 + 3/10 = 5/10 + 3/10 = 8/10 = 4/5 的电量，对应 40 英里。于是满电里程 = 40 ÷ (4/5) = 40 × 5/4 = 50 英里，选 C。

易错点：这两段是「连续走完」的，比例可以直接相加；若误以为 3/10 是「剩下的电量的 3/10」，就要另算。另外 40 ÷ 0.8 = 50 之后不要再乘回去。

第 8 题｜百分比与最简分数（答案 D）

题目回顾：调查中恰好 74% 的人回答「是」，问参与人数最少可能是多少。

解析：设人数为 n，回答「是」的人数是整数，所以 n × 74/100 = n × 37/50 必须是整数。37 与 50 互质，因此 n 必须是 50 的倍数，最小取 50（此时 37 人答「是」），选 D。

易错点：74% 要约成 37/50 再判断，直接看 74/100 容易误以为 n 是 100 的倍数；另外 74% 并不等于「37 人中 27 人」这类整数比，必须回到最简分数。

第 9 题｜嵌套根式化简（答案 B）

题目回顾：求 √(16√81) ÷ √(81√16) 的值。

解析：由内向外算。分子：√81 = 9，16 × 9 = 144，√144 = 12。分母：√16 = 4，81 × 4 = 324，√324 = 18。于是原式 = 12/18 = 2/3，选 B。

易错点：关键是看清外层根号一直罩到第二个根号——它是 √(16·√81) 而不是 √16 × √81。若读成两个根号相乘，分子分母都变成 4 × 9 = 36，会错误地得到 1。化简时先算内层，再算外层，最后约分。

第 10 题｜时间先后与名次推理（答案 A）

题目回顾：五名选手，Nico 比 Pedro 晚 11 分钟；Olympia 比 Melina 早 2 分钟，但比 Pedro 晚 3 分钟；Olympia 比 Luke 早 6 分钟。问第四名是谁。

解析：以 Olympia 的完赛时刻为基准 0。Pedro 比她早 3 分钟（−3）；Nico 比 Pedro 晚 11 分钟（−3 + 11 = +8）；Melina 比 Olympia 晚 2 分钟（+2）；Luke 比 Olympia 晚 6 分钟（+6）。按用时从小到大排：Pedro(−3)、Olympia(0)、Melina(+2)、Luke(+6)、Nico(+8)。第四名是 Luke，选 A。

易错点：「A 比 B 早 t 分钟」是指 A 的用时更短，方向别弄反；所有条件都以 Olympia 为桥梁，先把五个人的相对时刻写成一条数轴，名次自然出来，不必真的算出具体时间。

第 11 题｜四分之一圆弧长（答案 B）

题目回顾：边长 1、1、2、3、5 的五个正方形拼成矩形，各作一个四分之一圆并首尾相接成一条曲线，求曲线长度。

解析：每个四分之一圆的半径就是所在正方形的边长，三个不同尺寸的正方形分别贡献半径 1、1、2、3、5 的 90° 弧。每条弧长 = (1/4) × 2πr = (π/2)r，五段相加 = (π/2)(1 + 1 + 2 + 3 + 5) = (π/2) × 12 = 6π，选 B。

易错点：这五个半径是斐波那契数列，和为 12 而不是 12 以外别的数；另外别忘了每条只是四分之一圆，弧长系数是 π/2 而不是 2π。拼成的矩形长 8、宽 5，与「面积 1 + 1 + 4 + 9 + 25 = 40 = 8 × 5」互相印证。

第 12 题｜线性方程组与约束枚举（答案 D）

题目回顾：六个圆圈各填 1—6 的一个数字，每数恰用一次；相邻两圆之和依次为 9、6、10、4、8、5（结构为：顶部圆与左中、右中两圆以 9 和 6 相连；左中与左下以 10 相连；右中与右下以 4 相连；左下与中下以 8 相连；中下与右下以 5 相连），求顶部圆中的数。

解析：设顶部为 T、左中为 L、右中为 R、左下为 A、中下为 B、右下为 C。由题意 T + L = 9、T + R = 6、L + A = 10、R + C = 4、A + B = 8、B + C = 5。把前两式代入：A = 10 − (9 − T) = T + 1，C = 4 − (6 − T) = T − 2；再由后两式 B = 8 − A = 7 − T，同时 B = 5 − C = 7 − T，两式恰好一致，说明只要 T 定下，其余五个数全被唯一确定。于是逐个试 T：T = 3 得 (L,R,A,B,C) = (6,3,4,4,1) 有重复；T = 4 得 (5,2,5,3,2) 有重复；T = 5 得 (4,1,6,2,3)，恰好是 1—6 各一次。故 T = 5，选 D。

易错点：这题的六个和并不独立，最后两式必然同解，所以不用列六个未知数硬解；只要用三条链算出各量关于 T 的表达式，再用「1—6 各一次」筛 T 即可。也可以反过来验证：T = 5 时 5 + 4 = 9、5 + 1 = 6、4 + 6 = 10、1 + 3 = 4、6 + 2 = 8、2 + 3 = 5，全部吻合。

第 13 题｜斜正方形面积（格点向量法）（答案 A）

题目回顾：每行相对上一行水平偏移半个单位的 1 × 1 方格平铺，阴影正方形的四个顶点都是格点，求其面积。

解析：在图上建立坐标，取单位格边长为 1（横向 1 格记 1、纵向 1 行记 1），把阴影正方形最左下的顶点放在原点，则从图中可依次读出四个顶点为 (0, 0)、(1, 3)、(4, 2)、(3, −1)。两条相邻边的向量为 (1, 3) 与 (3, −1)：长度都是 √(1 + 9) = √10，点积 1 × 3 + 3 × (−1) = 0，说明二者垂直且等长，确实是正方形，面积 = 边长² = 10，选 A。用对角线复核：两条对角线向量为 (2, −4) 与 (4, −2)，长度都是 √20，面积 = 对角线乘积的一半 = 20/2 = 10，一致。

易错点：不要试图数「整格 + 半格」，交错平铺里极易数错。稳妥的做法是建坐标、读顶点、用向量判垂直并算边长平方。若把边长误读成水平跨度 3 而算面积 9，选项里并没有 9——这恰好提醒你边是斜的，比水平跨度更长。

第 14 题｜等差数列与方程组（答案 B）

题目回顾：数轴上三个等距排列的整数，第一个与第二个之和为 40，第二个与第三个之和为 60，求三数之和。

解析：设三数为 a、a + d、a + 2d。两式相减：(a + d) + (a + 2d) − [a + (a + d)] = 60 − 40，即 2d = 20，d = 10。代回 a + (a + 10) = 40 得 a = 15。三数为 15、25、35，和 = 75，选 B。

易错点：两个和相减时，共同的 a + d 会消掉，剩下 d。也可用「首尾之和 = 中间项的 2 倍」：三数之和 = 3 × 中间项，而中间项 = (40 + 60)/2 − ... 更稳的还是设 a、d 解方程，避免跳步。

第 15 题｜立体拼接：遮挡全部灰面（答案 A）

题目回顾：立方体 4 个白面、2 个灰面，灰面共棱（像立方体的一个角）。把它们面贴面粘起来，要使无论怎么旋转都看不到灰面，最少需要几个立方体？

解析：关键是把每个立方体的两个灰面都朝向内部、贴在邻居上。先排除 1、2、3 个：1 个时灰面全露；2 个只有一对贴合面，每块最多遮住一个灰面，必剩灰面；3 个无论排成直线还是 L 形，总有立方体只有 1 个（或 0 个）可贴的面，无法让每块的 2 个灰面都朝内。再看 4 个：把 4 个立方体摆成 2 × 2 × 1 的方板，此时每个立方体有 2 个侧面与邻居相贴，而这 2 个面恰好互相垂直（共棱），正好安放它的两个灰面；其余朝外的 4 个面全是白的。旋转后的外表面因此全白。故最少 4 个，选 A。

易错点：容易以为要堆成大立方体才遮得住，于是选 8 或 27。实际上灰面只有 2 个且相邻，拼成 2 × 2 的板就能让所有灰面「背靠背」朝内；判断时抓两点——每块必须有 2 个可贴的面，且这 2 个面要相邻。

第 16 题｜整除判定与计数（答案 D）

题目回顾：由偶数数字组成的四位正整数中，能被 4 整除的占多大比例。

解析：偶数数字是 0、2、4、6、8。四位数的首位不能是 0，有 4 种选法；后三位各有 5 种，共 4 × 5³ = 500 个。被 4 整除只看末两位：设末两位为 10a + b（a、b 均为偶数数字），因 a 是偶数，10a = 2 × 5a 必是 4 的倍数，所以只需 b 是 4 的倍数，即 b ∈ {0, 4, 8}，3 种。末两位共 5 × 3 = 15 种，前两位 4 × 5 = 20 种，合计 20 × 15 = 300 个。所求比例 = 300/500 = 3/5，选 D。

易错点：0 是偶数，必须计入可选数字，否则总数会算成 4⁴ = 256；首位不能为 0 这一点也常被漏掉。被 4 整除的判定只需看末两位，不必管前两位。

第 17 题｜排列与容斥（答案 A）

题目回顾：四名学生坐成一排，重新排列后要求每人都不再与原来的任何邻座相邻，问有多少种排法。

解析：把原来的座位序记为 1、2、3、4，需要禁止的相邻对是 12、23、34。用容斥：总排法 4! = 24。设 A 为「1、2 相邻」，把 12 看成一个整体，有 2! × 3! = 12 种；同理 B（23 相邻）、C（34 相邻）各 12 种。两两相交：A ∩ B 即 1、2、3 连成一串，有 2! × 2! = 4 种（123 或 321，再与 4 排列）；B ∩ C 同样 4 种；A ∩ C 是两个独立块 12 与 34，有 2! × 2! × 2! = 8 种。三者相交只有 1234 与 4321 两种。容斥得 24 − 36 + (4 + 4 + 8) − 2 = 2 种，即 2413 与 3142，选 A。

易错点：这题必须用容斥，逐个列举容易漏。注意 A ∩ C（12 相邻且 34 相邻）是 8 种而不是 4 种，因为两个块各可内部交换。

第 18 题｜连续奇数之和的表示（答案 B）

题目回顾：把 60 写成两个或更多按递增排列的连续正奇数之和，有多少种方式。

解析：设首项为 a（正奇数）、项数为 k ≥ 2，则和为 k·a + 2(1 + 2 + … + (k − 1)) = k·a + k(k − 1) = k(a + k − 1) = 60，故 a = 60/k − (k − 1)。要求 a 是正整数且为奇数，且 k(k − 1) ＜ 60，即 k ≤ 8。逐一检查 60 的因数：k = 2 得 a = 29（29 + 31 ✓）；k = 3 得 a = 18（偶，✗）；k = 4 得 a = 12（偶，✗）；k = 5 得 a = 8（偶，✗）；k = 6 得 a = 5（5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 60 ✓）；k = 7、8 时 60/k 不是整数。共 2 种，选 B。

易错点：奇偶性筛选是关键——k 为奇数时 a 必须与 60/k 同奇偶，k 为偶数时 a 的奇偶由 60/k 的奇偶决定，直接代公式验算最快。别漏掉「两项」这一情形（29 + 31），也别把 60 = 60 这种一项算进去。

第 19 题｜往返追及：设而不求（答案 D）

题目回顾：Miguel 以速度 v 匀速前进，把球扔到距离入口 d 的树下；狗以 5v 跑去捡球再叼回给 Miguel，问狗交回球时 Miguel 走了全程的几分之几。

解析：归一化令 d = 1、v = 1。狗跑到树下用 1/5，这段时间 Miguel 走了 1/5，两者相距 4/5。狗返回时与 Miguel 相向而行，相对速度 5 + 1 = 6，用 (4/5)/6 = 2/15；这段时间 Miguel 又走 2/15。总路程 = 1/5 + 2/15 = 3/15 + 2/15 = 5/15 = 1/3，选 D。

易错点：返回阶段是相向而行，相对速度是 5v + v = 6v，写成 5v − v 会把时间算成 4/5 ÷ 4 = 1/5，得到 2/5。另外比例与 d、v 的具体取值无关，取 1 最省事。

第 20 题｜一次不定方程的排列计数（答案 D）

题目回顾：金币厚 1 毫米、银币厚 3 毫米，堆成 8 毫米高，考虑顺序，有多少种堆法。

解析：设金币 x 枚、银币 y 枚，则 x + 3y = 8。逐一看 y：y = 0 → x = 8，只有 1 种顺序；y = 1 → x = 5，共 6 枚币（5 金 1 银），排列数 6!/(5!·1!) = 6；y = 2 → x = 2，共 4 枚（2 金 2 银），排列数 4!/(2!·2!) = 6。合计 1 + 6 + 6 = 13，选 D。

易错点：这是「按顺序堆叠」，同一组硬币的不同次序算不同，所以要用组合数算排列，不能只数 (x, y) 的解个数（那只有 3 个）。另外别忘了 y = 0 的全金币情形，它恰好 1 种。

第 21 题｜图上的随机游走（答案 B）

题目回顾：五角星网有 5 个外顶点和 5 个内顶点，蜘蛛从外顶点出发，每步随机走向一个相邻点，走 3 步后仍在外顶点的概率是多少。

解析：先数度数。外顶点在五角星的尖上，只有两条线段经过它，所以与 2 个内顶点相邻；内顶点是两条线段的交叉点，沿线段有 4 个方向，其中 2 个通向外顶点、2 个通向别的内顶点，故度数为 4，且「外、内」邻居各占一半。第 1 步：从外顶点出发必到内顶点（概率 1）。第 2 步：从内顶点出发，1/2 到外、1/2 到内。第 3 步：若在外顶点则必回内顶点，若在内顶点则 1/2 到外。所以 P(第 3 步在外) = P(第 2 步在外) × 0 + P(第 2 步在内) × 1/2 = (1/2)(1/2) = 1/4，选 B。

易错点：三大易错点——① 把内交点当成「不能拐弯」而按度 2 处理，那样 3 步必在内点、概率为 0（选项里没有，可作为自检）；② 忘了外顶点度数是 2 而不是 3；③ 只画一条路径，误以为第 3 步在外顶点的路径数占比是 1/2。

第 22 题｜中位数的中位数的最小值（答案 A）

题目回顾：把 1 到 25 分成五组（每组 5 个），取每组中位数，再取这 5 个中位数的中位数 M，求 M 的最小可能值。

解析：先证 M ≥ 9。M 是五个中位数里第 3 小的那个。若 M ≤ 8，则至少 3 组的中位数 ≤ 8；而一组 5 个数的中位数 ≤ 8，意味着该组至少有 3 个数 ≤ 8（中位数是第 3 小的数）。三组就要用掉至少 3 × 3 = 9 个不超过 8 的数，可 1 到 8 只有 8 个，矛盾。所以 M ≥ 9。再构造 M = 9：分组 {1, 2, 9, 24, 25}、{3, 4, 8, 22, 23}、{5, 6, 7, 20, 21}、{10, 11, 12, 18, 19}、{13, 14, 15, 16, 17}，五组中位数依次为 9、8、7、12、15，排序后中间那个正是 9。故最小值为 9，选 A。

易错点：光靠「感觉平均分」猜不出答案，必须两头都做：下界用「每组中位数不超过 m 就至少占用 3 个不超过 m 的数」来卡；上界要给出一组具体分法。只给构造不证下界，不能排除更小的 M。

第 23 题｜橡皮筋绕圆的长度（答案 C）

题目回顾：5 枚直径 4 厘米的硬币排成 2 行（3 枚 + 2 枚交错），用橡皮筋紧紧绕住，求橡皮筋长度。

解析：橡皮筋由若干直线段和若干圆弧组成。直线段是相邻硬币的「外公切线」，其总长等于圆心凸包的周长；圆弧部分对应的圆心角总和恒为 360°（绕一圈方向转回原方向），故弧长合计 = 2πr = 2π × 2 = 4π。圆心凸包是一个等腰梯形：下排三圆心相距 4，底边长 8；上排两圆心相距 4，顶边长 4；两腰即相邻上下圆心的连线，长 4（相切时圆心距等于直径）。周长 = 8 + 4 + 4 + 4 = 20。橡皮筋长 = 20 + 4π，选 C。

易错点：总转向角必为 360°，所以弧长永远是 2πr = 4π，与硬币个数无关——选项里 2π、2.5π、5π 都是「只数部分圆弧」的错解。直线段容易漏掉两条腰，只算 8 + 4 = 12，那样就凑不出 +20。

第 24 题｜阶乘中质因子的指数（答案 E）

题目回顾：定义超阶乘 n!（这里记作 n↑）为 1! · 2! · … · n!，求 51↑ 的质因数分解中 7 的指数。

解析：7 的指数 = Σ(k = 1 到 51) v₇(k!)，而 v₇(k!) = ⌊k/7⌋ + ⌊k/49⌋ + …。先算 Σ⌊k/7⌋：k = 1—6 为 0；7—13 各 1（7 个）；14—20 各 2；21—27 各 3；28—34 各 4；35—41 各 5；42—48 各 6；49—51 各 7（3 个）。合计 7 × (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) + 3 × 7 = 7 × 21 + 21 = 168。再算 Σ⌊k/49⌋：只有 k = 49、50、51 各贡献 1，合计 3。总数 = 168 + 3 = 171，选 E。

易错点：① 只算 v₇(51!) = 7 + 1 = 8，那是单个阶乘而不是超阶乘；② 漏掉 49 = 7² 带来的第二层贡献 3；③ 区间端点算错，例如把 49—51 记成 2 个数。稳妥办法是列表分段求和，再单独补 7² 那一段。

第 25 题｜等角六边形的计数与对称归并（答案 E）

题目回顾：等角六边形（内角均为 120°）内接于等边三角形 ABC，图中示例边长依次为 2、3、1、3、2、2。求边长为正整数、且能内接于同一三角形 ABC 的等角六边形共有多少个（旋转、翻转后重合算同一个）。

解析：把 ABC 的三个角各切去一个等边三角形，切角边长记 x、y、z，则六条边依次为 x、S − x − y、y、S − y − z、z、S − z − x（S 为 ABC 的边长）。由示例读出左下角小三角形边长 1（即 x = 1）、另两个切角为 2 与 2，且底边 3 = S − 1 − 2，得 S = 6。于是条件化为：x、y、z ≥ 1，且两两之和 ≤ 5（保证 S 减去后仍为正）。枚举得有序三元组共 23 组；六边形的旋转与翻转对应 (x, y, z) 的 6 种置换，用 Burnside 计数：(23 + 3 × 7 + 2 × 2) / 6 = 48/6 = 8（其中 3 个「换位」各固定 7 组——两个分量相等的情形，2 个「三轮换」各固定 2 组——三个分量全等的情形）。8 类代表为 (1,1,1)、(1,1,2)、(1,1,3)、(1,1,4)、(1,2,2)、(1,2,3)、(2,2,2)、(2,2,3)，选 E。

易错点：① 不要漏掉「内接于同一个三角形」这个前提——S 由示例唯一确定为 6，否则边长可以任意大、答案无穷；② 旋转与翻转要合并计数，直接数 23 组会把同一形状算 6 次（有对称的还要更细致），必须按等价类归并；③ 约束是两两之和 ≤ 5 而不是各自 ≤ 5，(3, 3, 3) 这类看似「小」的组合其实切不出六边形。

三、备考提示

先看结构再动笔（第 1、2、4、7、20 题）：第 1 题用「总和减去两倍被减项」，第 2 题按圈分层数个数，第 4 题连乘 0.8 × 1.5，第 20 题先解 x + 3y = 8 再算排列。识别出结构，计算量都很小。

把文字条件写成方程（第 10、12、14、19 题）：第 10 题以 Olympia 为基准把五个人放到一根数轴上；第 12 题用三条链把六个未知量都表示成顶部那个数；第 14 题设等差中项与公差；第 19 题归一化令 d = v = 1。

计数题先定「口径」（第 16、17、20、21、25 题）：是否区分顺序、是否把旋转翻转视为相同、分子分母必须同口径。第 17 题用容斥，第 20 题要区分 (x, y) 的解个数与排列数，第 25 题必须按等价类归并。

几何题先把图翻译成数据（第 6、11、13、23 题）：第 6 题是「大减小」，第 11 题辨清每段是四分之一圆，第 13 题建坐标读顶点、用向量算面积，第 23 题记住「弧长总和恒为 2πr、直线段等于圆心凸包周长」这条通用结论。

最值题要「下界 + 构造」两手（第 15、22 题）：只给构造不能排除更小值，只给下界不能说明能达到。第 15 题证明 1、2、3 个都不行再给出 2 × 2 方板；第 22 题先用「三组各占 3 个不超过 m 的数」证 M ≥ 9，再给出一组具体分组。