2024 年 AMC 8 真题

2024 AMC 8 真题答案与逐题解析

本解析对应 MAA《2024 AMC 8》（美国数学竞赛 8 级）中英双语真题卷，全卷 25 道单项选择题（选项 A—E），限时 40 分钟。下面先给出答案速查表，再逐题给出中文详细解析；解题方法以"可复述、可迁移"为标准，图形题先用文字重建图中的关键信息，避免离开原卷就看不懂。全部答案已与卷末官方答案表逐题核对一致。

一、答案速查表

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9
答案	B	C	E	E	B	D	E	D	E

题号	10	11	12	13	14	15	16	17	18
答案	B	D	E	B	A	C	D	E	A

题号	19	20	21	22	23	24	25
答案	C	D	E	B	C	B	C

二、逐题解析

以下按题号逐题解析：每题先简要回顾题意（依赖图形的题已用文字重建图信息），再给出完整推理过程，括注中即为该题答案。

第 1 题｜大数减法的个位数字（答案 B）

题目：求 222,222 − 22,222 − 2,222 − 222 − 22 − 2 的个位数字。

解析：个位只需看各数的个位：2 − 2 − 2 − 2 − 2 − 2 = 2 − 10 = −8，在十进制下等价于 2。直接验算也可：222222 − 22222 = 200000，再依次减 2222、222、22、2 得 197532，个位为 2，选 B。

第 2 题｜分数化小数（答案 C）

题目：求 44/11 + 110/44 + 44/1100 的小数表示。

解析：三项分别化简：44/11 = 4；110/44 = 2.5；44/1100 = 0.04。相加得 4 + 2.5 + 0.04 = 6.54，选 C。

第 3 题｜嵌套正方形的阴影面积（答案 E）

题目：边长 4、7、9、10 的四个正方形按尺寸递增、左下角对齐嵌套，颜色依次为白—灰—白—灰，求可见灰色区域的面积。

解析：四个正方形共用一个左下角，大正方形把小的盖住，可见部分只剩下每层露在外面的"L 形边带"。灰色的是边长为 7 和 10 的两个正方形，它们的可见面积分别为 7² − 4² = 49 − 16 = 33 与 10² − 9² = 100 − 81 = 19。合计 33 + 19 = 52，选 E。

第 4 题｜平方数与补数（答案 E）

题目：把 1 到 9 全部相加时漏掉了一个数，所得的错误和恰为平方数，漏掉的是哪个数。

解析：1 + 2 + … + 9 = 45。漏掉 n 后和为 45 − n，须是平方数。在 5 到 9 中逐个试：45 − 5 = 40、45 − 6 = 39、45 − 7 = 38、45 − 8 = 37、45 − 9 = 36 = 6²。只有 n = 9 时成立，选 E。

第 5 题｜骰子点数之积为 6 的倍数（答案 B）

题目：掷两个标准六面骰，已知两数之积是 6 的倍数，问哪个整数不可能是两数之和。

解析：积为 6 的倍数须同时含因子 2 与 3，可行点对只有 (1,6)(2,3)(2,6)(3,4)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6) 及其对称情形。它们对应的和为 5、7、8、9、10、11、12。若和为 6，点对只能是 (1,5)(2,4)(3,3)，积分别为 5、8、9，都不是 6 的倍数。故和 6 不可能出现，选 B。

第 6 题｜路径长短比较（答案 D）

题目：冰场呈"直道加两端半圆"的形状，四条闭合路线 P、Q、R、S 如图，按从短到长排序。

解析：设直道长 L、宽 w，两端半圆半径 r = w/2。P 贴着围板绕行一周，长约为 2L + 2πr。S 走两条直对角线穿过中部、两端仍走半圆，长为 2πr + 2√(L² + w²)；由于 √(L² + w²) ＞ L，故 S 比 P 长。Q 用同样的斜线交叉两次，斜线段是 S 的两倍，故 Q 最长。R 是一个内接多边形，四个角都被直边切成斜边，比贴着围板的 P 更短。所以 R ＜ P ＜ S ＜ Q，选 D。

第 7 题｜瓷砖覆盖的最少块数（答案 E）

题目：3×7 的长方形用 2×2、1×4、1×1 三种瓷砖不重叠铺满，最少要用多少块 1×1。

解析：按列染色——第 1、3、5、7 列共 12 格染黑，第 2、4、6 列共 9 格染白，黑比白多 3 格。2×2 与横向 1×4 每块都恰好覆盖 2 黑 2 白，纵向 1×4 高 4 放不进 3 行，故只有 1×1 能改变黑白差：设用 c 块 1×1，其中 b 块盖黑、w 块盖白，则 b − w = 3、b + w = c，故 c 与 3 同奇偶且 c ≥ 3。另一方面其余瓷砖每块面积 4，故 21 − c 能被 4 整除，即 c ≡ 1（mod 4）。同时满足的最小值是 c = 5（b = 4、w = 1）。构造：第 1、2、3 行各铺一块 1×4 盖住前 4 列，剩下 3×3 放一块 2×2 与五块 1×1 即可。选 E。

第 8 题｜分支枚举与去重（答案 D）

题目：星期一 Taye 有 2 美元。此后每天他或者赚 3 美元，或者把前一天的钱翻倍。3 天后（星期四）他手上的钱数有多少种不同的可能。

解析：逐日展开。星期二：5 或 4。星期三：由 5 得 8、10，由 4 得 7、8。星期四：由 8 得 11、16，由 10 得 13、20，由 7 得 10、14。去重后为 10、11、13、14、16、20，共 6 种，选 D。

第 9 题｜比例与整除（答案 E）

题目：弹珠只有红、绿、蓝三色，红的数量是绿的一半，蓝的数量是绿的两倍，问总数可能是多少。

解析：设绿 g 颗，则红 g/2、蓝 2g，总数 = g/2 + g + 2g = 7g/2。总数为正整数要求 g 为偶数，于是总数必是 7 的倍数。选项中只有 28 = 7×4 满足（此时 g = 8，红 4、绿 8、蓝 16），选 E。

第 10 题｜等差数列与估算（答案 B）

题目：1980 年 1 月莫纳洛亚观测站测得 CO₂ 为 338 ppm，此后每年平均上升 1.515 ppm，问 2030 年 1 月的预期值（四舍五入到整数）。

解析：从 1980 年 1 月到 2030 年 1 月共 50 年，属等差数列：338 + 50 × 1.515 = 338 + 75.75 = 413.75，四舍五入为 414，选 B。

第 11 题｜坐标求三角形面积（答案 D）

题目：A(5, 7)、B(11, 7)、C(3, y)，其中 y ＞ 7，△ABC 的面积为 12，求 y。

解析：AB 是水平线段，长 11 − 5 = 6，取为底；C 到直线 AB（y = 7）的距离为 y − 7，即高。面积 = ½ × 6 × (y − 7) = 3(y − 7) = 12，解得 y − 7 = 4，y = 11，选 D。

第 12 题｜设未知数列方程（答案 E）

题目：4 个鱼缸共 90 条孔雀鱼，第 2 缸比第 1 缸多 1 条，第 3 缸比第 2 缸多 2 条，第 4 缸比第 3 缸多 3 条，求第 4 缸的条数。

解析：设第 1 缸 a 条，则四缸依次为 a、a + 1、a + 3、a + 6，总和 4a + 10 = 90，得 a = 20。第 4 缸为 a + 6 = 26，选 E。

第 13 题｜卡特兰数（不越界的上下步）（答案 B）

题目：从地面开始跳 6 次、每次上一级或下一级，过程中不能落到地面以下，最后回到地面，共有多少种跳法。

解析：6 次跳跃中必有 3 次"上"、3 次"下"，且任意时刻"上"的次数不少于"下"，即经典的括号配对问题，种数为卡特兰数 C₃ = 5。逐一列出：上上上下下下、上上下上下下、上上下下上下、上下上上下下、上下上下上下。选 B。

第 14 题｜有向图最短路（答案 A）

题目：图中给出城镇 A、M、C、X、Y、Z 之间的单向路线及里程，求 A 到 Z 的最短距离。

解析：先理清单行道（按箭头方向）：A→X 5、A→M 8、X→M 2、X→Y 10、M→C 14、M→Y 6、M→Z 25、Y→C 5、Y→Z 17、C→Z 10。把各条可行路线相加比较：A→X→M→Y→C→Z = 5 + 2 + 6 + 5 + 10 = 28；A→M→Y→C→Z = 29；A→X→Y→C→Z = 30；A→X→M→C→Z = 31；A→M→Y→Z = 31；A→X→Y→Z = 32；A→M→C→Z = 32；A→M→Z = 33。最短为 28，选 A。

第 15 题｜字母数字谜（答案 C）

题目：F、L、Y、B、U、G 是互不相同的数字，FLYFLY 是满足 8 × FLYFLY = BUGBUG 的最大数，求 FLY + BUG。

解析：六位数 FLYFLY = 1001 × FLY，同理 BUGBUG = 1001 × BUG，两边约去 1001，问题化为 8 × FLY = BUG，且 BUG 必须是三位数，故 FLY ≤ 999/8，即 FLY ≤ 124。从大到小检验：124 → 8 × 124 = 992，数字 9 重复，不合"互不相同"；123 → 8 × 123 = 984，六个数字 1、2、3、9、8、4 互不相同，符合。故 FLY = 123、BUG = 984，和为 123 + 984 = 1107，选 C。

第 16 题｜3 的倍数与行列计数（答案 D）

题目：把 1 到 81 按某种顺序填入 9×9 方格表，求乘积能被 3 整除的行与列最少共有多少个。

解析：1 到 81 中不被 3 整除的有 81 − 27 = 54 个，含因子 3 的有 27 个。若某行乘积不被 3 整除，该行 9 格必须全取自这 54 个数。设不被 3 整除的行有 k 行、列有 m 列，则它们覆盖的 9k + 9m − km 个格子都不能含 3 的倍数，故 9k + 9m − km ≤ 54。k = 6、m = 0 时恰为 54，可行；k = 5、m = 2 时 45 + 18 − 10 = 53 ≤ 54，也可行，此时 k + m = 7；而 k = 6、m = 1 时 54 + 9 − 6 = 57 ＞ 54，不可行。故 k + m 最大为 7，被 3 整除的行列最少 18 − 7 = 11 个，选 D。

第 17 题｜分类计数（答案 E）

题目：在 3×3 方格表的不同格子里放一个白王和一个黑王，使它们互不攻击，有多少种放法。

解析：先不考虑攻击限制，有序放法为 9 × 8 = 72 种。两个王互相攻击当且仅当所占格子相邻（横、竖、斜八个方向之一）。3×3 中相邻的无序格对数为：横向 3 行 × 2 = 6，竖向 6，对角线方向 2 × 2 × 2 = 8，共 20 对，每对对应 2 种有序放法，共 40 种。故 72 − 40 = 32，选 E。

第 18 题｜扇形面积与圆环面积（答案 A）

题目：半径 1、2、3 的三个同心圆，两小圆之间的区域与两大圆之间以 ∠BOC 为界的部分涂阴影，阴影与空白面积相等，求 ∠BOC。

解析：小圆环面积 = π(2² − 1²) = 3π；大圆环面积 = π(3² − 2²) = 5π；整圆面积 9π。设 ∠BOC = θ，则阴影 = 3π + (θ/360) × 5π。阴影为总面积的一半，即 4.5π：3 + 5θ/360 = 4.5，解得 5θ/360 = 1.5，θ = 108，选 A。

第 19 题｜容斥与最值（答案 C）

题目：15 双运动鞋中 3/5 是红色、2/3 是高帮，红色高帮占全部的比例最小是多少。

解析：红色 9 双、白色 6 双；高帮 10 双、低帮 5 双。由容斥，红色高帮 ≥ 9 + 10 − 15 = 4。这个下界可以达到：让 10 双高帮中有 6 双是白鞋（白鞋刚好 6 双），则红高帮恰为 4 双。故最小比例为 4/15，选 C。

第 20 题｜正方体中的等边三角形（答案 D）

题目：连接正方体 PQRSTUVW 的任意三个顶点可构成三角形，其中以 P 为顶点且为等边三角形的有多少个。

解析：正方体顶点之间的等边三角形，三边只能是"面对角线"（棱长为 1 时长 √2），即三个顶点两两位于同一面的对角位置。这样的三角形共有 8 个（对应内接正四面体的两套、各 4 个面），而正方体共 8 个顶点、每个顶点被 3 个这样的三角形共用（8 × 3 = 24 次顶点—三角形关联，平均到 8 个顶点即 3 个）。故以 P 为顶点的有 3 个，选 D。

第 21 题｜比例与实际转移（答案 E）

题目：青蛙在阴凉处变绿、在阳光下变黄。起初绿与黄之比为 3 : 1；后来 3 只绿蛙移到阳光下、5 只黄蛙移到阴凉处，比例变为 4 : 1。求现在绿蛙与黄蛙的数量之差。

解析：关键在于"变绿/变黄"随所处位置改变：移到阳光下的 3 只绿蛙变成黄色（绿 −3、黄 +3），移到阴凉处的 5 只黄蛙变成绿色（黄 −5、绿 +5），净效果是绿 +2、黄 −2。设原来绿 3k、黄 k，则 (3k + 2)/(k − 2) = 4，即 3k + 2 = 4k − 8，得 k = 10。现在绿 32、黄 8，相差 24，选 E。

第 22 题｜面积法求展开长度（答案 B）

题目：一卷胶带外径 4 英寸，缠在内径 2 英寸的环上，胶带厚 0.015 英寸。完全展开后长约多少（四舍五入到最近的 100 英寸）。

解析：胶带的横截面是圆环，面积 = π(2² − 1²) = 3π ≈ 9.42 平方英寸。展开后胶带成为长 L、宽 0.015 英寸的长条，面积不变：L = 9.42 ÷ 0.015 ≈ 628 英寸，取整到百位得 600，选 B。

第 23 题｜线段穿过的方格数（答案 C）

题目：连 (0, 4) 与 (2, 0) 的线段穿过 4 个单元格；连 (2000, 3000) 与 (5000, 8000) 的线段会穿过多少个单元格。

解析：一条线段穿过的方格数 = 水平方向跨过的格数 + 竖直方向跨过的格数 − 同时跨过的格数，即 Δx + Δy − gcd(Δx, Δy)。这里 Δx = 5000 − 2000 = 3000、Δy = 8000 − 3000 = 5000，gcd(3000, 5000) = 1000，故 3000 + 5000 − 1000 = 7000。用题中给出的例子验证：Δx = 2、Δy = 4、gcd = 2，得 2 + 4 − 2 = 4，与"4 个单元格"吻合。选 C。

第 24 题｜等腰直角三角形的面积叠加（答案 B）

题目：两座山峰分别高 8 英尺和 12 英尺，峰顶均为 90°，山坡与地面成 45°，整幅作品面积 183 平方英尺，两山的边相交于距地面 h 英尺处，求 h。

解析：峰顶角为 90°、两腰与地面成 45°，说明每座山都是等腰直角三角形，底边 = 2 × 高，面积 = ½ × 2h₀ × h₀ = h₀²。两座山的面积之和 = 8² + 12² = 64 + 144 = 208。两山重叠的部分同样是一个顶角 90° 的小山尖，高为 h，面积 = h²。可见面积 = 208 − h² = 183，故 h² = 25，h = 5，选 B。

第 25 题｜补集计数与概率（答案 C）

题目：小飞机 4 排、每排 3 座，已有 8 名乘客随机入座；一对夫妻随后登机，求他们能坐到同一排相邻两座的概率。

解析：12 个座位中恰有 4 个空位，空位的分布共有 C(12, 8) = 495 种，等可能。夫妻能相邻就等价于"存在同一排的两个相邻空位"。

用补集：要求每排都不出现相邻空位。一排 3 座中，无相邻空位的空法只有三种情形——空 0 个（1 种）、空 1 个（3 种）、空 2 个（只能空两端，1 种）。把 4 个空位分到 4 排且每排不超过 2 个：

① 每排各空 1 个：3⁴ = 81 种；

② 一排空 2 个、另有两排各空 1 个：选空 2 个的那排 4 种，再从其余 3 排中选 2 排 C(3,2) = 3 种，各排内部 3 × 3 种，共 4 × 3 × 9 = 108 种；

③ 两排各空 2 个：C(4,2) = 6 种。

合计 81 + 108 + 6 = 195 种。所求概率 = 1 − 195/495 = 1 − 13/33 = 20/33，选 C。

三、备考提示

估算法（第 1、10、22 题）先看数量级再精算：个位只算个位、增量只算增量，比整体计算省时且不易错。

计数题（第 8、13、17、20、25 题）先想清「是否计顺序」：夫妻座位用补集更快，路径不越界用卡特兰数，放两个王用「总数减攻击对数」。

图形题（第 3、18、20、24 题）先把图翻译成面积或角度的数量关系；第 24 题抓住「顶角 90 度的等腰直角三角形，面积等于高的平方」这一关键，两次相减即得。

比例题（第 9、19、21 题）注意「谁是基准」：第 21 题的坑在于「移到阳光下」意味着颜色改变，净变化是绿 +2、黄 −2，而不是绿 −3、黄 +5。

数论与整除题（第 4、5、7、15、16、23 题）用「不变量」切入：第 7 题按列黑白染色、第 16 题统计 3 的倍数个数、第 23 题用 gcd 修正重复格，都是把复杂计数转成一条等式。