2023 年 AMC 8 真题

2023 AMC 8 真题答案与逐题解析

本解析对应 MAA《2023 AMC 8》（美国数学竞赛 8 级）中英双语真题卷。全卷共 25 道单项选择题（选项 A–E），限时 40 分钟。以下先给出答案速查表，再逐题给出中文详细解析；解题方法以小学高年级至初中常用思路为主，便于学生自行复盘。全部答案与 MAA 官方答案键一致，解析过程经独立推导复核，其中第 4、8、9、12、16、17、21、23、25 题另经计算机穷举或图象精确测量验证。

勘误说明：原卷 PDF 末页印刷的答案表把第 9、10 题的字母顺序误印为"…A D B…"（正确应为 …A B D…），本解析已按 MAA 官方答案更正：第 9 题为 B、第 10 题为 D。

一、答案速查表

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9
答案	D	E	B	D	B	C	B	A	B

题号	10	11	12	13	14	15	16	17	18
答案	D	C	B	D	E	B	C	A	D

题号	19	20	21	22	23	24	25
答案	C	D	C	D	C	A	A

二、逐题解析

以下按题号逐题解析。每题先简要回顾题意（图依赖的题目已将图信息用文字重建），再给出完整推理过程；黑体标注的即为该题答案。

第 1 题｜算式求值（答案 D）

题目：求 (8×4+2)−(8+4×2) 的值。

解析：按运算顺序先算乘法：8×4+2 = 32+2 = 34；8+4×2 = 8+8 = 16。相减得 34−16 = 18，选 D。

第 2 题｜折纸剪裁（答案 E）

题目：正方形纸对折两次折成四等份，再沿虚线剪开，展开后纸面与哪个图形一致。

解析：对折两次后纸片有 4 层，两条折痕把原正方形分成 2×2 的四个小方块，四层纸在原正方形的中心处相会。图中虚线沿纸片的一个斜角剪下一个小三角形，而这个"角"正是展开后的中心位置；展开时剪口沿两条互相垂直的折痕镜像复制 4 份，拼成一个旋转 45° 的正方形（菱形）孔。因此展开后是中间带菱形孔的正方形，选 E。

第 3 题｜风寒指数（答案 B）

题目：风寒指数 = 气温 − 0.7×风速（气温单位℉，风速单位 mph）。气温 36℉、风速 18 mph 时，最接近的风寒指数是多少。

解析：风寒指数 = 36 − 0.7×18 = 36 − 12.6 = 23.4，最接近的选项是 23，选 B。

第 4 题｜螺旋数阵中的质数（答案 D）

题目：1 到 49 从中心开始按螺旋填入方格（1 居中，2 在 1 右边，3 在 2 上方，4 在 3 左边……）。与 7 同一条对角线上的四个阴影方格中的数里，有几个质数。

解析：先确定螺旋走向：2 右、3 上、4 左、5 左、6 下、7 下。以 1 为原点建立坐标（右为 x 正方向、上为 y 正方向），则 7 位于 (−1,−1)，四个阴影格与 7 同在直线 y = −x−2 上。把螺旋续写下去（右 3 格、上 3 格、左 5 格、下 5 格……）可算出四个阴影格对应的数依次是 19（位于 (−2,0)）、39（位于 (−3,1)）、23（位于 (0,−2)）、47（位于 (1,−3)）。逐一判断：19 是质数；39 = 3×13 不是质数；23 是质数；47 是质数。质数共 3 个，选 D。

第 5 题｜湖里的鱼（答案 B）

题目：湖中有 250 条鳟鱼。捕获并放生的 180 条鱼的样本中有 30 条鳟鱼。假设样本中鳟鱼占比与全湖相同，湖里共有多少条鱼。

解析：样本中鳟鱼占比 = 30/180 = 1/6，故全湖鱼总数 = 250 ÷ (1/6) = 250×6 = 1500 条，选 B。

第 6 题｜幂的最大值（答案 C）

题目：把数字 2、0、2、3 各填入"□^□ × □^□"的四个方框（每框一个数字），表达式的最大可能值是多少。

解析：底数越大、指数越大，幂越大，但要四个数字恰好用完。逐一比较可行填法：3²×2⁰ = 9×1 = 9；2³×2⁰ = 8；2³×0² = 0；2²×3⁰ = 4。0 作指数时该幂为 1，作底数时整项为 0，故最优是让 3 作底、2 作指数，另一个幂取 1：最大值 = 3²×2⁰ = 9，选 C。

第 7 题｜矩形与两条直线（答案 B）

题目：边平行于坐标轴的矩形，两个相对顶点为 (15,3) 和 (16,5)。直线 1 过 A(0,0)、B(3,1)，直线 2 过 C(0,10)、D(2,9)。矩形边界上有几个点至少落在一条直线上。

解析：矩形四个顶点为 (15,3)、(16,3)、(15,5)、(16,5)。直线 1 过原点、斜率 1/3，即 y = x/3；当 x = 15 时 y = 5，恰好过矩形顶点 (15,5)；在 15 ≤ x ≤ 16 上 y ≥ 5，除 x=15 这一点外都在矩形上方，故直线 1 只碰到这 1 个点。直线 2 斜率 −1/2，即 y = 10 − x/2；在 x = 15 处 y = 2.5、x = 16 处 y = 2，都低于矩形下边 y = 3；再逐边检验：边 y = 3 上交点 x = 14（不在 15~16 之间）、边 y = 5 上交点 x = 10（不在）、边 x = 15 与 x = 16 上 y 分别为 2.5 与 2（不在 3~5 之间）。故直线 2 与矩形边界无公共点。合计只有 1 个点，选 B。

第 8 题｜乒乓球循环赛（答案 A）

题目：Lola、Lolo、Tiya、Tiyo 进行双循环赛（每两人恰好交手两次），共赛 12 场、分 6 轮进行（每轮四人两两配对）。按轮次的胜负记录：Lola 111011（赢五场、第四场输），Lolo 101010，Tiya 010100，Tiyo 的记录是多少。

解析：每轮 4 人配成 2 对；六个对局组合 {Lola-Lolo、Lola-Tiya、Lola-Tiyo、Lolo-Tiya、Lolo-Tiyo、Tiya-Tiyo} 各恰好出现两次，且同轮配对的两人当轮胜负必须相反。逐轮分析可用配对：

第 1、3、5 轮结果模式相同（Lola 胜、Lolo 胜、Tiya 负）：只能配 {Lola-Tiya, Lolo-Tiyo} 或 {Lola-Tiyo, Lolo-Tiya}；

第 2、6 轮（Lola 胜、Lolo 负、Tiya 负）：只能配 {Lola-Lolo, Tiya-Tiyo} 或 {Lola-Tiyo, Lolo-Tiya}；

第 4 轮（Lola 负、Lolo 负、Tiya 胜）：只能配 {Lola-Tiya, Lolo-Tiyo} 或 {Lola-Tiyo, Lolo-Tiya}。

解析（续）：在"每个组合恰好用两次"的约束下逐轮排布：设第 1 轮取 {Lola-Tiya, Lolo-Tiyo}，则第 3 轮只能取 {Lola-Tiyo, Lolo-Tiya}，第 5 轮取回 {Lola-Tiya, Lolo-Tiyo}（Lola-Tiya、Lolo-Tiyo 用满两次）；第 4 轮被迫取 {Lola-Tiyo, Lolo-Tiya}（用满两次）；于是第 2、6 轮都必须取 {Lola-Lolo, Tiya-Tiyo}（恰好各用两次）。逐轮读出 Tiyo 的结果：第 1 轮对 Lolo（Lolo 胜）→ 负；第 2 轮对 Tiya（Tiya 胜）→ 负；第 3 轮对 Lola（Lola 胜）→ 负；第 4 轮对 Lolo（Lolo 负）→ 胜；第 5 轮对 Lolo（Lolo 胜）→ 负；第 6 轮对 Tiya（Tiya 负）→ 胜。故 Tiyo = 000101（经计算机穷举验证为唯一解），选 A。

第 9 题｜滑雪海拔图（答案 B）

题目：Malika 滑雪时海拔（米）随时间（秒）变化的图象如图，问她在海拔 4 米到 7 米之间总共停留多少秒。

解析：从图上读出关键点：t=0 时海拔 14；t=2 时降到 7；t=4 时降到 4；t=5 附近出现约 3.7 的谷底；t=6 时回升到 4；t=10 时升到 7；t=11 出现约 7.2 的小峰；t=12 时又降回 7；t=14 时降到 4；约 t=15.2 时触底 0。海拔处于 4 与 7 之间（含端点）的时间为三段：2→4（2 秒）、6→10（4 秒）、12→14（2 秒），合计 2+4+2 = 8 秒，选 B。（经对原图逐像素测量，三段总长恰为 8.0 秒。）

第 10 题｜李子派（答案 D）

题目：Harold 只吃了派的 1/4；一头驼鹿吃掉 Harold 剩下的 1/3；之后一只豪猪又吃掉驼鹿剩下的 1/3。豪猪离开后，原来的派还剩多少。

解析：用"剩下的比例"连乘最简便：Harold 剩 3/4；驼鹿剩下其中的 2/3；豪猪再剩下其中的 2/3，故最后剩余 3/4 × 2/3 × 2/3 = 1/3。逐步核对：3/4 → 驼鹿吃掉 1/4、剩 1/2 → 豪猪吃掉 1/6、剩 1/3。剩余 1/3，选 D。（注意 B 选项 1/6 是豪猪吃掉的部分，不要混淆。）

第 11 题｜毅力号火星车（答案 C）

题目：毅力号飞行 292,526,838 英里，约 6.5 个月后登陆火星。其平均星际速度最接近多少英里每小时。

解析：6.5 个月 ≈ 6.5×30 = 195 天 ≈ 195×24 = 4680 小时。平均速度 ≈ 292,526,838 ÷ 4680 ≈ 62,500 英里每小时，最接近 60,000，选 C。

第 12 题｜圆中阴影占比（答案 B）

题目：大圆内部有若干白色与灰色（阴影）小圆（如图），问阴影部分占大圆内部面积的比例。

解析：由图读出各圆尺寸（以网格单位计）：大圆半径 3；内部左侧有一个阴影圆半径 2，与大圆内切，其中含两个白色圆，半径各为 1，两白圆相切且都内切于阴影圆；右侧另有三个阴影小圆，半径各为 1/2，均与大圆内切。各部分面积：大圆 = 9π；阴影大圆扣除两个白圆 = 4π − 2×1π = 2π；三个小圆 = 3×π/4。阴影合计 = 2π + 3π/4 = 11π/4。占比 = (11π/4) ÷ 9π = 11/36，选 B。

第 13 题｜自行车赛补水站（答案 D）

题目：起点到终点之间均匀分布 7 个补水站，另有 2 个维修站也均匀分布。第 3 个补水站在第 1 个维修站之后 2 英里处，赛程全长多少英里。

解析：7 个补水站把全程分成 8 段，相邻间隔 = 全长/8；2 个维修站把全程分成 3 段，相邻间隔 = 全长/3。设全长 L：第 3 个补水站在 3L/8 处，第 1 个维修站在 L/3 处，两者相距 3L/8 − L/3 = L/24 = 2 英里，解得 L = 48 英里，选 D。

第 14 题｜邮票付款（答案 E）

题目：Nicolas 有 5 美分、10 美分、25 美分邮票各恰好 20 张，要恰好付 7.10 美元邮资，最多能用多少张邮票。

解析：7.10 美元 = 710 美分。60 张全用的总面值 = 20×5 + 20×10 + 20×25 = 800 美分，比 710 多 90 美分；因此只需"拿掉总面值 90 美分的尽量少的邮票"。每张面值不超过 25 美分，3 张最多 75 < 90，所以至少要拿掉 4 张；而 25+25+25+10+5 = 90 恰好可行。故最多用 60 − 4 = 55 张（剩下 19 张 5 分、19 张 10 分、17 张 25 分，合计 95+190+425 = 710 ✓），选 E。

第 15 题｜绕路上学（答案 B）

题目：Viswam 走 10 个等长街区去学校，每街区用 1 分钟（全程半英里）。今天走完 5 个街区后必须绕路：接下来到下一个路口原本 1 个街区的路要走 3 个等长街区。从开始绕路起，他必须以每小时多少英里的速度走，才能照常时间到校。

解析：每个街区 = 半英里 ÷ 10 = 1/20 英里。平时后半程 = 5 个街区 = 5 分钟。绕路后剩余路程 = 3+4 = 7 个街区 = 7/20 英里，仍须在 5 分钟内走完。速度 = (7/20) ÷ (5/60) = (7/20)×12 = 4.2 英里每小时，选 B。

第 16 题｜PQR 方格表（答案 C）

题目：字母 P、Q、R 按图中规律填入 20×20 方格表（每行从左到右按 P→Q→R 循环，相邻两行行首字母轮换；底部一行以 P 开头），问填满后 P、Q、R 各出现多少个。

解析：表中每个字母由"行号+列号"除以 3 的余数决定，整表按 3×3 周期重复。先看一行：每行 20 = 6×3+2 格，按 P、Q、R 循环填时，行首字母出现 7 次、第二个字母 7 次、第三个字母 6 次。再看列：行首字母自下而上按 P、Q、R 循环，20 = 6×3+2 行，故行首为 P 的行有 7 行、为 Q 的 7 行、为 R 的 6 行。统计：

P = 7×7（P 行）+ 7×6（Q 行）+ 6×7（R 行）= 49+42+42 = 133；

Q = 7×7（P 行）+ 7×7（Q 行）+ 6×6（R 行）= 49+49+36 = 134；

R = 7×6（P 行）+ 7×7（Q 行）+ 6×7（R 行）= 42+49+42 = 133。

解析（续）：即 133 个 P、134 个 Q、133 个 R，选 C。

第 17 题｜正八面体折叠（答案 A）

题目：把左边的纸片（标号为 1、2、3、4、5、6、7、Q 的八面体展开图）折成右边的正八面体，问出现在 Q 右边的面上的数是几。

解析：展开图结构：4、6、1 为一行的三个倒三角，3、5 是嵌在中间的正三角，7 在 6 的正上方（与 6 共享上边），Q 与 6 共享右斜边，2 与 3 共享底边。折叠时逐面绕公共边翻转：把面 4 放平，面 3、5 向下折，面 1、6 继续包裹侧面，面 7 与 2 分别盖住上下两个"帽"位置。追踪顶点可知，Q 的三条边分别与面 6、面 2、面 1 相邻；按右图的摆放（Q 的顶角朝上、底边朝下），"Q 右边的面"跨过"顶角—右底角"这条边，正是面 1，选 A。

核验（角点追踪）：把八面体六个顶点记为 ±x、±y、±z，按展开图逐面反射折叠可得：Q 的三个角分别落在 −z（顶角）、−x（左底角）、−y（右底角）；跨过边 (−z,−y) 与 Q 相邻的面恰为面 1，跨过 (−z,−x) 的是面 6，跨过底边的是面 2，与图中位置关系一致。

第 18 题｜蛙跳（答案 D）

题目：Greta 每次可向右跳 5 片睡莲或向左跳 3 片，最少跳多少次能到达起点右侧第 2023 片睡莲。

解析：设向右跳 r 次、向左跳 l 次：5r − 3l = 2023，求 r+l 最小。整数条件：5r ≡ 2023 (mod 3)，即 2r ≡ 1 (mod 3)，得 r ≡ 2 (mod 3)。又 5r ≥ 2023 要求 r ≥ 405。从 405 起逐一检查：r = 405 时 5r−2023 = 2，不能被 3 整除；r = 406 时差 7，也不能；r = 407 时差 12 = 3×4 ✓，此时 l = 4。由于总次数 r+l = (8r−2023)/3 随 r 增大而增大，最小 r 给出最小总次数 = 407+4 = 411，选 D。

第 19 题｜三角形间的梯形（答案 C）

题目：小等边三角形放在大等边三角形内部，两者之间的区域可分成三个全等梯形；内部三角形边长是大三角形的 2/3。一个梯形与内部三角形面积之比是多少。

解析：相似三角形面积比等于边长比的平方：大 : 小 = 9 : 4。两者之间区域占 9 − 4 = 5 份，每个梯形占 5/3 份。梯形 : 内部三角形 = (5/3) : 4 = 5 : 12，选 C。

第 20 题｜插入两数（答案 D）

题目：向数列 3, 3, 8, 11, 28 中插入两个整数，使极差加倍，而众数和中位数保持不变。所添加的两个数之和的最大可能值是多少。

解析：原极差 = 28−3 = 25，加倍后 = 50。新数列有 7 个数，中位数是第 4 个，必须仍是 8；众数必须仍是 3（且唯一）。设插入 x ≤ y：

x = 8 会使 8 出现两次、与 3 并列众数，众数改变，排除；

x > 8 时小于 8 的数只有两个，排序后第 4 个数不是 8，排除；

故 x ≤ 7，此时小于 8 的数恰为 3, 3, x（3 个），中位数为 8 ✓，大于 8 的数为 y, 11, 28 ✓。

解析（续）：极差 50 的实现：若 x ≥ 3，最小值仍为 3，最大值须为 53，即 y = 53（大于 8 的数恰 3 个，中位数仍为 8 ✓）；若 x < 3，最小值 = x，y = x+50，两数之和 = 2x+50 < 56。因此最大化 x+y = x+53，取 x = 7：插入 7 和 53，数列 3,3,7,8,11,28,53 满足极差 50、中位数 8、众数 3，和 = 60，选 D。

第 21 题｜九张卡片分组（答案 C）

题目：把 1~9 九张卡片分成 3 组、每组 3 张，使每组之和相同，有多少种分法。

解析：总和 = 45，每组之和 = 15。列出所有和为 15 的三元组：{1,5,9}、{1,6,8}、{2,4,9}、{2,5,8}、{2,6,7}、{3,4,8}、{3,5,7}、{4,5,6}。按是否含 9 分类拼装：含 9 的只有 {1,5,9} 与 {2,4,9}。取 {1,5,9} 后，剩下 2,3,4,6,7,8 拆成两组和为 15：只能 {2,6,7} 与 {3,4,8}；取 {2,4,9} 后剩下 1,3,5,6,7,8：只能 {1,6,8} 与 {3,5,7}。共 2 种分法（组内与组间顺序不计），选 C。

第 22 题｜乘积数列（答案 D）

题目：正整数数列中，第二项之后每一项都等于前两项之积。第六项是 4000，求第一项。

解析：设前两项为 a、b，则 a₃ = ab，a₄ = a·b²，a₅ = a²·b³，a₆ = a³·b⁵。由 a³·b⁵ = 4000 = 2⁵×5³，得 a = 5、b = 2。验证：5, 2, 10, 20, 200, 4000 ✓。第一项为 5，选 D。

第 23 题｜灰白瓷砖概率（答案 C）

题目：3×3 方格的每个小方格独立随机放入 4 种灰白对角瓷砖之一（灰色半块分别朝四个角），问某个 2×2 子方格表恰好拼出"大灰菱形"的概率。

解析：大灰菱形 = 2×2 中四个小方格的灰色半块都指向该 2×2 的中心：每个小方格必须取 4 种方向中唯一正确的一种，概率 1/4；故一个指定的 2×2 拼成菱形的概率 = (1/4)⁴ = 1/256。3×3 中共有 4 个 2×2 子表；任意两个子表不能同时拼成菱形——相邻的两个子表对共享格的方向要求冲突（同一格的灰色半块要指向两个不同的中心），对角的两个子表对中央格的要求同样冲突。于是 4 个事件两两互斥，所求概率 = 4 × 1/256 = 1/64，选 C。

第 24 题｜等腰三角形的高（答案 A）

题目：等腰三角形 ABC 中 AB = BC。两图中分别作平行于底 AC 的线段，使两个阴影部分面积相等；两个空白部分的高分别为 11 和 5。求三角形 ABC 的高 h。

解析：左图空白是顶部小三角形，高 11，其面积占全三角的 (11/h)²，故左图阴影（底部梯形）占比 = 1 − (11/h)²。右图阴影是顶部三角形，高为 h − 5，占比 = ((h−5)/h)²。两者相等：1 − (11/h)² = ((h−5)/h)²，即 h² − 121 = (h−5)² = h² − 10h + 25，解得 10h = 146，h = 14.6，选 A。

第 25 题｜等差数列（答案 A）

题目：十五个整数 a₁~a₁₅ 等距排在数轴上，满足 1 ≤ a₁ ≤ 10、13 ≤ a₂ ≤ 20、241 ≤ a₁₅ ≤ 250。求 a₁₄ 的各位数字之和。

解析：公差 d = a₂ − a₁，且 a₁₅ = a₂ + 13d。由条件：13d = a₁₅ − a₂ ∈ [241−20, 250−13] = [221, 237]，故 d ∈ [17, 18.2]，d 为整数，d = 17 或 18。若 d = 18：a₁ = a₂ − 18 ≥ 1 要求 a₂ ≥ 19，此时 a₁₅ = a₂ + 234 ≥ 253 > 250，矛盾。故 d = 17：a₁₅ = a₂ + 221 ∈ [241,250] 要求 a₂ = 20，从而 a₁ = 3（满足 1≤3≤10 ✓）、a₁₅ = 241 ✓。于是 a₁₄ = 241 − 17 = 224，数字和 = 2+2+4 = 8，选 A。

三、备考提示

计数与逻辑题（第 8、21 题）宜先建立"配对/分组"框架再穷举，注意不计顺序；第 8 题抓住"每个对局组合恰好出现两次"这一约束。

图形题（第 4、9、12、17 题）先从图中读准关键坐标与尺寸，再转化为算术或代数；第 9 题按"穿区间"的时段分段清点。

分数连乘（第 10 题）抓住"剩下的比例"，比逐次相减更不易错；注意区分"吃掉的部分"与"剩下的部分"。

最值题（第 14、20 题）先确定约束条件（整除性、众数唯一性），再在可行范围内逼近极值。

整除与余数分析（第 18、22、25 题）把方程与余数条件结合，能快速锁定唯一解。