2020 年 AMC 8 真题

2020 AMC 8 真题答案与逐题解析

本解析对应 MAA《2020 AMC 8》（美国数学竞赛 8 级）中英双语真题卷。全卷共 25 道单项选择题（选项 A–E），限时 40 分钟。以下先给出答案速查表，再逐题给出中文详细解析；解题思路以小学高年级到初中常用方法为主，便于学生自行复盘。全部答案与卷末答案表逐题核对一致，其中涉及图形、计数与概率的题目（第 4、9、10、16、17、19、21、22、25 题）另经程序穷举、坐标计算或逐像素读图独立复核。

图形题说明：本卷有 8 道题依赖图形（第 4、9、11、14、16、18、21、25 题）。原 PDF 文字层中的公式与图形数值无法直接提取，解析中已把图形信息完整翻译成文字（如六边形点阵的层数、棋盘上 P 与 Q 的位置、拼图各块的相邻关系），必要时给出可验算的数据，做到不看原图也能复核。

一、答案速查表

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9
答案	E	C	D	B	C	A	C	C	D

题号	10	11	12	13	14	15	16	17	18
答案	C	E	A	B	D	C	E	B	A

题号	19	20	21	22	23	24	25
答案	B	B	A	E	B	A	A

二、逐题解析

以下按题号逐题解析。每题先用一段话把题意（含图形信息）说清楚，再给出完整推理；黑体标注的即为该题答案。

第 1 题｜柠檬水的配比（答案 E）

题目：Luka 做柠檬水，配方要求水是糖的 4 倍，糖是柠檬汁的 2 倍。他用了 3 杯柠檬汁，需要多少杯水？选项：6、8、12、18、24。

解析：顺着"倍数链"一层层放大即可。柠檬汁 3 杯，糖是它的 2 倍，所以糖 = 3×2 = 6（杯）；水又是糖的 4 倍，所以水 = 6×4 = 24（杯）。

也可以一步算：水 = 3×2×4 = 24。选 E。

第 2 题｜四人平分收入（答案 C）

题目：四个朋友周末帮邻居干活，分别赚了 15、20、25、40 美元。他们决定平分总收入。赚了 40 美元的那个人一共要给其他人多少美元？选项：5、10、15、20、25。

解析：总收入 = 15+20+25+40 = 100（美元），平分后每人应得 100÷4 = 25（美元）。赚 40 美元的人手里比"应得"多出 40−25 = 15（美元），这 15 美元正好分给另外三人（每人 5 美元）。选 C。

（易错点：题目问的是"给出去多少"，不是"自己留下多少"；也不是问每人能拿到多少。）

第 3 题｜花园里的草莓（答案 D）

题目：Carrie 有一块 6 英尺 × 8 英尺的长方形花园，全部种上草莓。每平方英尺种 4 株，每株平均结 10 颗草莓。她一共可以收获多少颗草莓？选项：560、960、1120、1920、3840。

解析：先求面积：6×8 = 48（平方英尺）；再求株数：48×4 = 192（株，注意"每平方英尺 4 株"是乘，不是除）；最后求草莓数：192×10 = 1920（颗）。选 D。

第 4 题｜六边形点阵（答案 B）

题目：三个依次变大的六边形点阵如图：第 1 个是 1 个点；第 2 个是中心 1 点外面围一圈 6 点，共 7 点；第 3 个再加一层，共 19 点。按"每次多一层点带"的规律，下一个六边形有多少个点？选项：35、37、39、43、49。

解析：把每个图形看成"中心 + 若干圈"。第 k 圈有 6k 个点：

1 层：1 = 1

2 层：1 + 6 = 7

3 层：1 + 6 + 12 = 19

4 层：1 + 6 + 12 + 18 = 37

关键规律：外圈的点数每次增加 6（因为每多一层，六条边上每条边多 1 个点，共 6 个）。所以答案是 37，选 B。

（这类"六边形数"1, 7, 19, 37, 61… 的通项是 3n²−3n+1；本题只用到相邻两项差为 6、12、18 的等差数列，用小学生的"找差值"方法就够了。）

第 5 题｜倒进 5 个杯子（答案 C）

题目：水罐里装了总容积四分之三的菠萝汁，把这些汁平均倒进 5 个杯子。每个杯子里的菠萝汁占水罐总容积的百分之几？选项：5、10、15、20、25。

解析：把水罐容积看作 1，汁有 3/4，平均分成 5 份，每份 = 3/4 ÷ 5 = 3/20 = 0.15 = 15%。选 C。

第 6 题｜小火车上的座位（答案 A）

题目：Aaron、Darren、Karen、Maren、Sharon 五个人坐一列五节车厢的小火车。Maren 坐最后一节；Aaron 紧挨在 Sharon 的后面一节；Darren 坐在 Aaron 前面的某一节；Karen 与 Darren 之间至少隔着一个人。谁坐在中间那节车厢？选项：Aaron、Darren、Karen、Maren、Sharon。

解析：把车厢从左到右编号 1～5，中间是 3 号。已知 Maren 在 5 号。设 Sharon 在 s 号，则 Aaron 在 s+1 号，且 Darren 在 Aaron 前面，即 Darren 的号数小于 s+1。

若 s = 1：Aaron 在 2，Darren 只能在 1，与 Sharon 冲突，不行。

若 s = 2：Aaron 在 3，Darren 在 1，Karen 在 4。Karen(4) 与 Darren(1) 之间有 2 人，满足"至少一人"，可行。此时排布为 1 Darren、2 Sharon、3 Aaron、4 Karen、5 Maren。

若 s = 3：Aaron 在 4，Darren 与 Karen 只能占 1、2，无论怎样两人都相邻，不满足条件。

只有第二种情形成立，中间 3 号是 Aaron。选 A。

第 7 题｜数字递增的四位数（答案 C）

题目：2020 与 2400 之间有多少个整数，四个数位上的数字互不相同且按升序排列？（如 2347。）选项：9、10、15、21、28。

解析：千位只能是 2（区间是 2020～2400）。因为数字必须严格递增，百位必须大于 2；又因为整个数要小于 2400，百位不能大于 3，所以百位只能是 3。

于是形如 23_ _，十位与个位从 {4,5,6,7,8,9} 中选两个且必须递增排列（选了就自动定序）。方法数 = C(6,2) = 15。选 C。

（若不确定，可枚举：2345、2346…共 5+4+3+2+1 = 15 个。）

第 8 题｜2020 枚硬币（答案 C）

题目：Ricardo 有 2020 枚硬币，只有 1 美分和 5 美分两种，两种至少各一枚。他可能拥有的钱数，最大值与最小值相差多少美分？选项：8062、8068、8072、8076、8082。

解析：面值大的硬币越多，总额越大。最大值：2019 枚 5 分 + 1 枚 1 分 = 2019×5+1 = 10096（美分）。最小值：1 枚 5 分 + 2019 枚 1 分 = 5+2019 = 2024（美分）。

差 = 10096 − 2024 = 8072。选 C。

（速算：每把一枚 1 分换成 5 分，总额增加 4 分；从最小到最大换了 2018 枚，差 = 2018×4 = 8072。这个算法更快且不易错。）

第 9 题｜蛋糕上的冰（答案 D）

题目：4×4×4 英寸的立方体蛋糕，上面和 4 个侧面有糖霜，底面没有。把它切成 64 个 1 英寸小方块，恰好两面有糖霜的小方块有多少个？选项：12、16、18、20、24。

解析：分类数比"总减各面"更稳。有两面糖霜的小方块只可能出现在"两个有糖霜的面相交的棱"上：

4 条竖棱：每条竖棱上有 4 个小方块，但最顶上那个同时被"上表面 + 两个侧面"覆盖，是三面糖霜，要去掉。所以每条竖棱贡献 3 个，共 4×3 = 12 个；

上表面四周的棱：每条棱 4 个格，两端是角块（三面），中间 2 个只有"上表面 + 一个侧面"两面糖霜，共 4×2 = 8 个；

底面没糖霜，与底面相接的棱不是两面糖霜。

总数 = 12 + 8 = 20。选 D。

第 10 题｜玻璃球的排列（答案 C）

题目：4 个不同的玻璃球（Aggie、Bumblebee、Steelie、Tiger）排成一行，Steelie 与 Tiger 不相邻。共有多少种排法？选项：6、8、12、18、24。

解析：间接法最快。4 个球全排列 4! = 24 种；其中 S 与 T 相邻的排法把两者捆成一块：内部 2 种顺序 × 3 个"整体"排列 3! = 2×6 = 12 种。故合法 = 24 − 12 = 12。选 C。

第 11 题｜去海滩的两种方式（答案 E）

题目：学校到海滩 6 英里。图中实线是 Maya 骑车、虚线是 Naomi 坐公交的"路程—时间"折线：Naomi 用 10 分钟到达，Maya 用 30 分钟到达。两人的平均速度相差多少英里每小时？选项：6、12、18、20、24。

解析：平均速度 = 总路程 ÷ 总时间，读图取终点即可（中间的停顿不影响平均速度）。

Naomi：6 英里 / 10 分钟 = 6 英里 / (1/6 小时) = 36 英里/小时；

Maya：6 英里 / 30 分钟 = 6 英里 / 0.5 小时 = 12 英里/小时。

差 = 36 − 12 = 24（英里/小时）。选 E。

第 12 题｜阶乘方程（答案 A）

题目：求满足 5! · 9! = 12 · N! 的正整数 N。选项：10、11、12、13、14。

解析：先把常数 12 拆进阶乘里。5! = 120，而 120 = 12×10，所以

5! · 9! = 12 · 10 · 9! = 12 · 10!，

比较得 N! = 10!，即 N = 10。选 A。

（关键：12 不要硬算成 479001600，而是"凑"出 10，把 9! 升成 10!。）

第 13 题｜抽屉里的袜子（答案 B）

题目：抽屉里有 6 只绿袜、18 只紫袜、12 只橙袜。又放进若干只紫袜后，随机抽一只是紫色的概率变成 60%。问放进了多少只紫袜？选项：6、9、12、18、24。

解析：设放进 x 只紫袜，则紫色 18+x 只，总数 36+x 只，列方程 (18+x)/(36+x) = 0.6，即 18+x = 21.6+0.6x，得 0.4x = 3.6，x = 9。选 B。

验算：9 只紫袜时紫色 27、总数 45，27/45 = 0.6，正确。

第 14 题｜20 座城市的人口（答案 D）

题目：图中 20 座城市的人口柱状图，图中虚线表示平均值（约 4700 人）。20 座城市的总人口最接近多少？选项：65000、75000、85000、95000、105000。

解析：总人口 = 平均人口 × 城市数。虚线略低于 5000 刻度的一半偏上位置，约 4700～4800，故总数约 20×4750 = 95000。

逐柱粗算复核：8800+3900+4900+2900+6400+7500+4100+1500+2600+1300+2500+7000+4100+7500+6900+8100+1900+1300+5900+5700 ≈ 94800，与 95000 最接近。选 D。

第 15 题｜百分数互化（答案 C）

题目：若 x 的 15% 等于 y 的 20%，那么 y 是 x 的百分之几？选项：5、35、75、133⅓、300。

解析：由 0.15x = 0.20y 得 y/x = 0.15/0.20 = 0.75，即 y 是 x 的 75%。选 C。

（注意问的是"y 占 x 的百分比"，分子是 y；若反过来问就是 133⅓%，即选项 D 的干扰项。）

第 16 题｜五条线求和（答案 E）

题目：A、B、C、D、E、F 分别代表 1～6 中不同的数字。图中 5 条直线各穿过其中若干个点：线①过 C、B、A；线②过 C、D、E；线③过 B、F；线④过 A、F、E；线⑤过 B、D。把 5 条线上的数字分别求和，五个和相加等于 47。求 B 所代表的数字。选项：1、2、3、4、5。

解析：关键是数"每个点被算了几次"。1+2+3+4+5+6 = 21。统计各点在 5 条线中出现的次数：B 出现 3 次（线①③⑤），其余 A、C、D、E、F 各出现 2 次。

所以五个和的总和 = 2×(A+B+C+D+E+F) + B = 2×21 + B = 42 + B。

由 42 + B = 47 得 B = 5。选 E。

（这类"重数求和"题只要把"多算的那一份"找出来，一步就出答案，不必逐一试 1～6。）

第 17 题｜因子个数超过 3 的因子（答案 B）

题目：2020 有多少个正因子，其自身的因子个数大于 3？（例：12 有 6 个因子：1,2,3,4,6,12。）选项：6、7、8、9、10。

解析：先分解：2020 = 2² × 5 × 101，因子总数 = (2+1)(1+1)(1+1) = 12 个。再用"倒扣"：找出因子个数 ≤ 3 的那些因子。

1 只有 1 个因子；

2、5、101 都是质数，各只有 2 个因子；

4 = 2² 有 3 个因子（1,2,4）；

其余因子（如 10、20、101…等）因子个数都 ≥ 4。所以符合"因子个数大于 3"的有 12 − 5 = 7 个。选 B。

（易错点：题目问的是"2020 的因子中，那些自身因子个数 > 3 的因子有几个"，不是"2020 有几个大于 3 的因子"。）

第 18 题｜半圆内的矩形（答案 A）

题目：矩形 ABCD 内接于以 FE 为直径的半圆（A、D 在直径上，B、C 在半圆上）。DA = 16，FD = AE = 9。求矩形 ABCD 的面积。选项：240、248、256、264、272。

解析：直径 FE = 9+16+9 = 34，半径 r = 17。

因为 FD = AE，圆心正好是 DA 的中点，所以从圆心到 D（或 A）的距离是 16÷2 = 8。设矩形的高为 h，则圆心到 C（或 B）的距离就是半径：h² + 8² = 17²，h² = 289 − 64 = 225，h = 15。

面积 = 16 × 15 = 240。选 A。

（常见的 8-15-17 直角三角形，属于要记住的勾股数组。）

第 19 题｜flippy 数（答案 B）

题目：若一个数的各位数字在两个不同数字之间交替出现，就称它为 flippy 数（如 2020、37373；而 3883、123123 不是）。有多少个 5 位 flippy 数能被 15 整除？选项：3、4、5、6、8。

解析：5 位 flippy 数的形式必为 ababa（两个数字 a、b 交替，顺序固定）。

被 5 整除：末位是 a，故 a = 5（a 是首位不能为 0）。

被 3 整除：数字和 = 3a + 2b = 15 + 2b 是 3 的倍数，故 2b 是 3 的倍数，即 b 是 3 的倍数：b ∈ {0,3,6,9}。

b 只需与 a = 5 不同，0、3、6、9 都满足。

共 4 个：50505、53535、56565、59595。选 B。

第 20 题｜五棵树的高度（答案 B）

题目：科学家记录了一排 5 棵树的高度（都是整数），只记得"每棵树的高度要么是右边那棵的 2 倍，要么是它的一半"。笔记中第 2 棵树是 11 米，其余丢失；卷面给出的平均高度末位是"．2 米"。问这 5 棵树的平均高度。选项：22.2、24.2、33.2、35.2、37.2。

解析：逐步定值。第 2 棵是 11（奇数），它不能是"右边那棵的 2 倍"（那要求右边是 5.5，非整数），所以第 2 棵是第 3 棵的一半，第 3 棵 = 22。同理第 1 棵只能是 2×11 = 22（若取一半则为 5.5，不行）。

第 4 棵可以是 11 或 44。若取 11，第 5 棵只能是 22（取一半 5.5 不行），五棵为 22、11、22、11、22，平均 17.6，不在选项内且与"末位为 2"矛盾；故第 4 棵 = 44，第 5 棵 = 22 或 88。

取 22：总和 22+11+22+44+22 = 121，平均 121÷5 = 24.2；取 88 时平均 37.4，不是选项。故选 B。

第 21 题｜棋盘上的 7 步路径（答案 A）

题目：8×8 黑白相间的棋盘（64 格）。标记从底行的白格 P 出发，每一步移到"上面一行中相邻的白色方格"（即左上或右上）。P 在第 1 行第 6 列，Q 在第 8 行第 7 列。从 P 到 Q 有多少种 7 步路径？选项：28、30、32、33、35。

解析：走 7 步必然上升 7 行，恰好从第 1 行到第 8 行，所以路径数等于"7 次左右横移"的方案数。设向右移的次数为 r、向左为 l，则 r+l = 7，且列数变化 6→7 需 r−l = 1，解得 r = 4、l = 3。若不受棋盘边界限制，方案数 = C(7,3) = 35。

再扣掉"走出右边界"的路径：从第 6 列出发，只要累计向右比向左多 2 次就会到第 9 列（出界）。用"反射法"计算这类路径有 7 种（也可用逐行递推确认：走到第 8 行第 7 列共 28 条，而走到第 8 行各列的条数为 6、21、34、28，其中左侧出界情形为 0，右侧出界 7 条）。

合法路径 = 35 − 7 = 28。选 A。

第 22 题｜"3x+1"机器（答案 E）

题目：把正整数 N 输入机器：若 N 是偶数输出 N/2，若 N 是奇数输出 3N+1；把输出反复输入，共做 6 步。例如 N = 7 时依次得到 22→11→34→17→52→26。若某个初始值 N 经过同样的 6 步后输出 1，这些 N 的和是多少？选项：73、74、75、82、83。

解析：从 1 倒推（逆向更简单）。若输出是 m，则： ① 输入 2m（一定是偶数，符合规则）； ② 若 (m−1) 能被 3 整除且 (m−1)/3 是奇数，则输入 (m−1)/3 也行（它是奇数，3x+1 = m）。

倒推 6 层：1 ← 2 ← 4 ← {8, 1} ← {16, 2} ← {32, 5, 4} ← {64, 10, 8, 1}。

所以 6 步后到 1 的初始值有 4 个：1、8、10、64（例如 64→32→16→8→4→2→1）。它们的和 = 1+8+10+64 = 83。选 E。

（注意"1"本身也合格：1→4→2→1→4→2→1，正好 6 步，很多同学会漏掉它。）

第 23 题｜五个奖章分给三人（答案 B）

题目：把 5 个不同的奖章分给 3 个学生，每人至少一个。共有多少种分法？选项：120、150、180、210、240。

解析：用容斥：先不管"每人至少一个"，每个奖章有 3 种去处，共 3⁵ = 243 种。

减去"有人没拿到"的情形：选一个空手的人 3 种，其余奖章只分给另外 2 人，2⁵ = 32 种，得 3×32 = 96；

但"两人都空手"（即全给一个人）的情形被减了两次，要加回一次：3 种。

合法数 = 243 − 96 + 3 = 150。选 B。

另一种算法（按 3-1-1 与 2-2-1 两类分堆）：C(5,3)×3! + [C(5,2)C(3,2)/2]×3! = 60 + 90 = 150，结果一致。

第 24 题｜瓷砖与边框（答案 A）

题目：用 n² 块边长 s 英寸的灰色正方形瓷砖铺成一个大正方形区域，每块瓷砖四周各有宽 d 英寸的边框。当 n = 24 时，这些瓷砖覆盖了大正方形面积的 64%。求 d/s 的比值。选项：6/25、1/4、9/25、7/16、9/16。

解析：大正方形的边长 = 24s + 25d（n 行瓷砖之间有 n+1 条边框，两侧最外也各有一条）。面积之比开平方：

24s / (24s + 25d) = √0.64 = 0.8，即 24s = 19.2s + 20d，得 4.8s = 20d，d/s = 0.24 = 6/25。选 A。

（易错点：边框条数是 n+1 而不是 n−1；边长比要开平方，不能直接用面积比 0.64。）

第 25 题｜拼成 3322 × 2020 的矩形（答案 A）

题目：两个矩形 R₁、R₂ 与三个正方形 S₁、S₂、S₃ 拼成一个宽 3322、高 2020 的大矩形。拼法：左上为 S₁，其下为 R₁（R₁ 从大矩形左边一直延伸到下方中部）；S₁ 右侧上方是 R₂，R₂ 下左方是 S₂，S₂ 右侧是 S₃，S₃ 紧贴大矩形的右边和底边。求 S₂ 的边长。选项：651、655、656、662、666。

解析：设 S₁ 边长 a，S₂ 边长 b，S₃ 边长 c，大矩形宽 W = 3322、高 H = 2020。用"同一段长度的两种算法"列式：

S₃ 紧贴右边和底边，所以 S₃ 的左边在 x = W − c 处，S₂ 的右边在 x = a + b 处，两者重合：a + b = W − c。

竖直方向：S₂ 的上边就是 R₂ 的下边，故 R₂ 的高 = H − (S₂ 上边的位置) = H − (H − a + b) = a − b；而 S₃ 的高 c = R₂ 下边到地面 = H − (a − b) = H − a + b。

把 c 代入第一式：a + b = W − (H − a + b)，约去 a 得 2b = W − H = 3322 − 2020 = 1302，所以 b = 651。选 A。

（本题的巧妙之处：a 在方程中自动消掉，说明答案只取决于大矩形的长宽差，与 S₁ 的大小无关。可验算：取 a = 1000 也能拼出同样的 b = 651。）

三、复盘建议

本卷的难点集中在第 16、19、20、21、22、25 题。建议复盘顺序：先做第 1～10 题确保基础题不丢分（这 10 题的答案依次为 E、C、D、B、C、A、C、C、D、C）；再整理"重数求和"（第 16 题）、"数字交替 + 整除"（第 19 题）、"逆向递推"（第 22 题）三个模型；最后挑战第 21、25 题的路径计数与几何消元。第 25 题那种"设多个未知数、让多余未知数自动消去"的思路，是 AMC 后段几何题的通用武器，值得单独记在错题本上。