2018 年 AMC 8 真题

2018 AMC 8 真题答案与逐题解析

本解析对应 MAA《2018 AMC 8》（美国数学竞赛 8 级）中英双语真题卷。全卷 25 道单项选择题（选项 A–E），限时 40 分钟。下面先给出答案速查表，再逐题给出中文详细解析。全部答案与卷末答案表逐题核对一致，其中图形题与计数题（第 3、4、8、11、19、22、23、24 题）另经程序模拟、逐像素数格或坐标法独立复核。

图形题说明：本卷有 7 道题依赖图形（第 4、8、11、15、19、22、24 题）。原 PDF 的网格图、柱状图与立方体图无法从文字层提取，解析中已把图形信息改写成可直接计算的数据（如"9 个整格 + 8 个半格""周一至周日人数依次为 1、3、2、6、8、3、2"），不看原图也能复核。

一、答案速查表

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9
答案	A	D	D	C	E	C	B	C	B

题号	10	11	12	13	14	15	16	17	18
答案	C	C	B	A	D	D	C	A	E

题号	19	20	21	22	23	24	25
答案	C	A	E	B	D	C	E

二、逐题解析

第 1 题｜国会大厦模型（答案 A）

题目：游乐园的微缩景观与实际建筑的比例是 1:20。美国国会大厦实际高 289 英尺，模型高多少英尺（四舍五入到整数）？选项：14、15、16、18、20。

解析：289 ÷ 20 = 14.45，四舍五入为 14。选 A。

（易错点：14.45 的百分位是 4，应舍去而非进位，答案是 14 不是 15。）

第 2 题｜六个括号连乘（答案 D）

题目：求 (1+1/1)(1+1/2)(1+1/3)(1+1/4)(1+1/5)(1+1/6)。选项：7/6、4/3、7/2、7、8。

解析：每个括号化成假分数：2/1、3/2、4/3、5/4、6/5、7/6。连乘时前一项的分子与后一项的分母相消，只剩 7/1 = 7。选 D。

第 3 题｜报数淘汰（答案 D）

题目：Arn、Bob、Cyd、Dan、Eve、Fon 六人按此顺序围成一圈，从 Arn 开始依次报 1、2、3…；凡是"含有数字 7"或"是 7 的倍数"的数，报数者离开圆圈，报数继续进行。最后留在圈里的是谁？选项：Arn、Bob、Cyd、Dan、Eve。

解析：逐次模拟（关键在于：某人离开后，下一个数由他后面那位继续报）：

1～6 依次由 Arn、Bob、Cyd、Dan、Eve、Fon 报；7 轮到 Arn → Arn 出局；

Bob 报 8、Cyd 9、Dan 10、Eve 11、Fon 12、Bob 13、Cyd 14 → Cyd 出局；

Dan 15、Eve 16、Fon 17 → Fon 出局；

Dan 18、Eve 19、Bob 20、Dan 21… 注意：Fon 之后接的是 Bob（Arn 已出局），故 Bob 报 18、Dan 19、Eve 20、Bob 21 → Bob 出局；

剩 Dan、Eve 交替：Dan 22、Eve 23、Dan 24、Eve 25、Dan 26、Eve 27 → Eve 出局。

最后留在圈里的是 Dan。选 D。

第 4 题｜方格纸上的十二边形（答案 C）

题目：在 1cm×1cm 的方格纸上画了一个十二边形（各顶点都在格点上，边由水平、竖直和 45° 斜线段组成）。它的面积是多少平方厘米？选项：12、12.5、13、13.5、14。

解析：用"数格子 + 割补"。把图形框在方格网中逐格统计：

完全落在图形内部的整格共 9 个（中部 3×3 区域）；

被图形边界斜切、只覆盖一半的格子共 8 个（上方 2 个、下方 2 个、左右两侧各 2 个），每格贡献 ½；

没有其他零碎部分。

面积 = 9×1 + 8×½ = 9 + 4 = 13（平方厘米）。选 C。

用"格点公式"核对：图形边界上恰有 12 个格点（12 条边各含 1 个格点单位），内部有 8 个格点，面积 = 8 + 12/2 − 1 = 13 ✓。

第 5 题｜奇数和减偶数和（答案 E）

题目：求 1+3+5+…+2017+2019 − 2 − 4 − 6 − … − 2016 − 2018。选项：−1010、−1009、1008、1009、1010。

解析：奇数从 1 到 2019 共 1010 个，和 = 1010² = 1020100；偶数从 2 到 2018 共 1009 个，和 = 1009×1010 = 1019090。

差 = 1020100 − 1019090 = 1010。选 E。

更巧的算法：把偶数个数与奇数配成 (1−2)+(3−4)+…+(2017−2018) = 1009 个 −1 得 −1009，再加最后多出来的 2019，得 −1009+2019 = 1010。两种方法一致。

第 6 题｜去海滩的全程时间（答案 C）

题目：Anh 在沿海公路开 10 英里用了 30 分钟，在高速上开 50 英里，速度是沿海公路的 3 倍。全程共多少分钟？选项：50、70、80、90、100。

解析：沿海公路速度 = 10 英里 / 0.5 小时 = 20 英里/小时；高速速度 = 60 英里/小时，故 50 英里需 50/60 小时 = 50 分钟。总时间 = 30 + 50 = 80 分钟。选 C。

第 7 题｜被 9 整除的五位数（答案 B）

题目：五位数 2018U（末位数字 U 待定）能被 9 整除。把这个数除以 8，余数是多少？选项：1、3、5、6、7。

解析：被 9 整除 ⇔ 各位数字和是 9 的倍数。2+0+1+8 = 11，故 11 + U 是 9 的倍数；U 是一位数字，只能 U = 7（此时数字和 18），该数为 20187。

20187 ÷ 8：8×2523 = 20184，余 3。选 B。

（速算：只需看末三位 187，187 = 8×23 + 3，余数 3。）

第 8 题｜一周运动天数的平均数（答案 C）

题目：柱状图统计了健康课学生"上周运动至少 30 分钟的天数"，柱高为人数：运动 1～7 天的人数依次为 1、3、2、6、8、3、2。求平均天数（保留两位小数）。选项：3.50、3.57、4.36、4.50、5.00。

解析：总人数 = 1+3+2+6+8+3+2 = 25；总"天数" = 1×1 + 2×3 + 3×2 + 4×6 + 5×8 + 6×3 + 7×2 = 1+6+6+24+40+18+14 = 109。

平均数 = 109 ÷ 25 = 4.36。选 C。

第 9 题｜铺地砖（答案 B）

题目：Tyler 要在 12 英尺 × 16 英尺的房间铺地砖：沿墙一圈用 1×1 的小方砖铺成 1 英尺宽的边框，中间用 2×2 的方砖铺满。共需多少块砖？选项：48、87、91、96、120。

解析：总面积 12×16 = 192，中间区域 (12−2)×(16−2) = 10×14 = 140。边框面积 = 192 − 140 = 52，即 52 块 1×1 小砖；中间 140 平方英尺用 2×2 砖，需 140÷4 = 35 块。

共 52 + 35 = 87 块。选 B。

（若把边框按"周长 ÷ 边长"算成 2(12+16) = 56 会多算 4 个角，正确是 56 − 4 = 52，与面积法一致。）

第 10 题｜调和平均数（答案 C）

题目：一组非零数的"调和平均数"定义为：先求各数倒数的平均，再取倒数。1、2、4 的调和平均数是多少？选项：3/7、7/12、12/7、7/4、7/3。

解析：倒数为 1、1/2、1/4，平均 = (1 + 1/2 + 1/4)/3 = (7/4)/3 = 7/12，再取倒数得 12/7。选 C。

（注意"两次取倒数"的顺序，别把答案写成 7/12。）

第 11 题｜合影的座位（答案 C）

题目：Abby、Bridget 和另外四位同学坐在两行三列的座位上（共 6 个座位）。随机分配座位，Abby 与 Bridget 坐在"同一行相邻"或"同一列相邻"位置的概率是多少？选项：1/3、2/5、7/15、1/2、2/3。

解析：总坐法 6! = 720 种。先数"相邻的座位对"：

同一行左右相邻：每行 2 对，共 4 对；

同一列上下相邻：3 列，共 3 对。

合计 7 对座位。把 Abby、Bridget 放进某一对（有 7×2 = 14 种方式，因为谁坐哪个位可交换），其余 4 人任意坐 4! = 24 种：合格坐法 = 14×24 = 336。

概率 = 336/720 = 7/15。选 C。

第 12 题｜汽车上的钟（答案 B）

题目：Sri 车上的钟不准，以恒定速率走快。中午 12:00 时，汽车钟与手表（准确）都显示 12:00。购物结束时手表显示 12:30，汽车钟显示 12:35。当天晚上他又看汽车钟，显示 7:00。实际是几点？选项：5:50、6:00、6:30、6:55、8:10。

解析：真实时间走 30 分钟，汽车钟走了 35 分钟，即汽车钟的速度是真实的 35/30 = 7/6 倍。

汽车钟从 12:00 走到 7:00 共走了 420 分钟，对应真实时间 420 ÷ (7/6) = 420 × 6/7 = 360 分钟 = 6 小时。故实际时刻是 12:00 后 6 小时，即 6:00（傍晚）。选 B。

第 13 题｜五次测验的分数（答案 A）

题目：Laila 考 5 次，每次满分 100，得分为 0～100 的整数。前四次得分相同，最后一次比前四次都高，五次平均分是 82。最后一次的得分可能有多少种取值？选项：4、5、9、10、18。

解析：设前四次各得 x 分，最后一次得 y 分，则 4x + y = 82×5 = 410，且 y ＞ x、y ≤ 100。

由 y ≤ 100：410 − 4x ≤ 100 → x ≥ 77.5 → x ≥ 78；

由 y ＞ x：410 − 4x ＞ x → 410 ＞ 5x → x ≤ 81。

x 可取 78、79、80、81，对应 y = 98、94、90、86，共 4 种。选 A。

第 14 题｜各位数字之积为 120 的最大五位数（答案 D）

题目：N 是各位数字之积为 120 的最大五位数，求 N 的各位数字之和。选项：15、16、17、18、20。

解析：要让五位数最大，先从最高位开始尽量大。120 = 2³×3×5，不含因子 9，故首位最大只能是 8。

取首位 8，剩下四位之积为 15：只能是 5×3×1×1（或 5×1×3×1 等），把它们降序排在后面得 85311。

验证没有更大的：首位 7、6、5 都不可能（7 ∤ 120，6 时 120/6 = 20 需四位乘积 20，最大排法 65411 = 65411 ＜ 85311；5 时 54321 = 54321）。故 N = 85311，数字和 = 8+5+3+1+1 = 18。选 D。

第 15 题｜两圆与阴影（答案 D）

题目：两个小圆各自的直径等于大圆的半径，大圆内去掉这两个小圆后剩下阴影部分。若两个小圆面积之和为 1 平方单位，阴影面积是多少？选项：1/4、1/3、1/2、1、π/2。

解析：设大圆半径 R，则小圆半径 r = R/2。一个小圆面积 = π(R/2)² = πR²/4，两个共 πR²/2。已知这等于 1，得 πR² = 2，即大圆面积 = 2。

阴影 = 大圆 − 两个小圆 = 2 − 1 = 1。选 D。

（关键洞察：两个小圆合起来恰好是大圆面积的一半——把直径与大圆半径的关系代进去，π 会自动约掉。）

第 16 题｜书架上的语言书（答案 C）

题目：9 本不同的书排成一排：2 本阿拉伯语、3 本德语、4 本西班牙语。要求两本阿拉伯语书相邻，四本西班牙语书也相邻。共有多少种排法？选项：1440、2880、5760、182440、362880。

解析：把"两本阿语"捆成一块（内部 2! 种），"四本西语"捆成一块（内部 4! 种），再加上 3 本德语各自独立，共 1+1+3 = 5 个"整体"排列：5! 种。

总数 = 5! × 2! × 4! = 120 × 2 × 24 = 5760。选 C。

（捆绑法三步走：整体排列、块内排列、相乘。注意德语书彼此也要算作不同对象。）

第 17 题｜相遇时 Bella 走了多少（答案 A）

题目：Bella 步行去 Ella 家，同时 Ella 骑车以 5 倍速度迎面而来，两家相距 2 英里（10560 英尺）。Bella 每步 2.5 英尺，相遇时她走了多少步？选项：704、845、1056、1760、3520。

解析：同时出发、相遇时两人所用时间相同，所以路程与速度成正比：Bella 走的路程占全程的 1/(1+5) = 1/6。

10560 ÷ 6 = 1760（英尺），步数 = 1760 ÷ 2.5 = 704 步。选 A。

（"2 英里 = 10560 英尺"已在题面给出，直接用即可，不需要另记换算。）

第 18 题｜23232 的因子个数（答案 E）

题目：23232 有多少个正因子？选项：9、12、28、36、42。

解析：逐步分解：23232 = 2⁶ × 363 = 2⁶ × 3 × 121 = 2⁶ × 3 × 11²。

因子个数 = (6+1)(1+1)(2+1) = 7×2×3 = 42。选 E。

（分解技巧：23232 连续除以 2 得 363 = 3×11²，比硬试除快得多。）

第 19 题｜符号金字塔（答案 C）

题目：四层符号金字塔：某格上方的格子，若它下面两格符号相同则为"+"，不同则为"−"。要使最顶格是"+"，最底层 4 格有多少种填法？选项：2、4、8、12、16。

解析：把"+"记作 +1、"−"记作 −1，则"相同取 +、不同取 −"恰好就是乘法。于是第二层 = 相邻两格之积，往上继续相乘；可以验证顶格 = 底层四格之积（例如 a,b,c,d → ab, bc, cd → ac, bd → abcd）。

顶格为"+"⇔ abcd = +1 ⇔ 底层"−"的个数为偶数。4 格中"−"的个数可以是 0、2、4：C(4,0) + C(4,2) + C(4,4) = 1+6+1 = 8。选 C。

（也可用对称性速断：16 种填法一半使顶格为"+"，即 8 种。）

第 20 题｜CDEF 与 ABC 的面积比（答案 A）

题目：△ABC 中，E 在 AB 上，AE = 1、EB = 2；D 在 AC 上且 DE ∥ BC；F 在 BC 上且 EF ∥ AC。四边形 CDEF 与 △ABC 的面积之比是多少？选项：4/9、1/2、5/9、3/5、2/3。

解析：AB = 3。由 DE ∥ BC 得 △ADE ∽ △ABC，相似比 AE:AB = 1:3，面积比 1:9。由 EF ∥ AC 得 △EBF ∽ △ABC，相似比 EB:AB = 2:3，面积比 4:9。

CDEF = ABC − ADE − EBF，故面积比 = 1 − 1/9 − 4/9 = 4/9。选 A。

（相似三角形面积比 = 相似比的平方，这一步是本题全部难点。）

第 21 题｜三个同余条件的三位数（答案 E）

题目：有多少个三位正整数，除以 6 余 2、除以 9 余 5、除以 11 余 7？选项：1、2、3、4、5。

解析：先合并前两个条件。n ≡ 5（mod 9）且 n ≡ 2（mod 6）。取 n = 5 + 9k，要求 5 + 9k ≡ 2（mod 6），即 3k ≡ 3（mod 6），得 k 为奇数。最小解 k = 1 时 n = 14，故 n ≡ 14（mod 18）。

再与 n ≡ 7（mod 11）合并：n = 14 + 18m，代入得 14 + 18m ≡ 7（mod 11），即 3 + 7m ≡ 7 → 7m ≡ 4（mod 11），乘以 7 的逆元 8 得 m ≡ 10（mod 11），故 n = 14 + 18(10 + 11t) = 194 + 198t。

三位数要求 100 ≤ 194 + 198t ＜ 1000，得 t = 0、1、2、3、4，共 5 个（194、392、590、788、986）。选 E。

（规律：三个模数 6、9、11 的最小公倍数是 198，所以满足条件的数正是公差 198 的等差数列。）

第 22 题｜正方形中的四边形面积（答案 B）

题目：正方形 ABCD 中，E 是 CD 的中点，BE 与对角线 AC 交于 F。四边形 AFED 的面积是 45，求正方形 ABCD 的面积。选项：100、108、120、135、144。

解析：设正方形边长 s，取 D 为原点、DC 为 x 轴、DA 为 y 轴：D(0,0)、C(s,0)、A(0,s)、B(s,s)，E(s/2, 0)。

直线 AC：y = s − x；直线 BE 过 B(s,s) 与 E(s/2,0)，即 y = 2x − s。联立解得 F(2s/3, s/3)。

四边形 AFED 用"整体减两块"最省力：△ACD 面积 = s²/2；△CEF 中 CE = s/2、F 到 DC 的高 = s/3，面积 = ½·(s/2)·(s/3) = s²/12。故

AFED = s²/2 − s²/12 = 5s²/12 = 45 → s² = 108。选 B。

（也可对四边形直接套坐标面积公式，结果相同：面积 = 5s²/12。）

第 23 题｜正八边形中的三角形（答案 D）

题目：从正八边形的 8 个顶点中任选 3 个连成三角形。这个三角形"至少有一条边也是八边形的边"的概率是多少？选项：2/7、5/42、11/14、5/7、6/7。

解析：总情况 C(8,3) = 56。数"至少含一条边"的三角形：

八边形有 8 条边，每条边配上其余 6 个顶点中任一个 → 8×6 = 48；

这样把"三条相邻顶点组成、含两条边"的三角形（每 3 个连续顶点 1 个，共 8 个）算了两次，扣回一次：48 − 8 = 40。

概率 = 40/56 = 5/7。选 D。

（互斥做法：只含 1 条边 = 8×4 = 32 个，含 2 条边 = 8 个，共 40，结果一致。）

第 24 题｜正方体的截面（答案 C）

题目：正方体 ABCDEFGH 中，C 与 E 是相对的顶点；J 是棱 FB 的中点，I 是棱 HD 的中点。截面 EJC I 的面积与一个面的面积之比为 R，求 R²。选项：5/4、4/3、3/2、25/16、9/4。

解析：取正方体棱长为 2，坐标设为 A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、E(0,0,2)、F(2,0,2)、H(0,2,2)。则 J = (2,0,1)（FB 中点）、I = (0,2,1)（HD 中点）。

四边形 E-J-C-I 的四条边：EJ = (2,0,−1)、JC = (0,2,−1)、CI = (−2,0,1)、IE = (0,−2,1)。可见 EJ 与 IC 平行且等长、JC 与 EI 平行且等长，所以它是平行四边形（且四点共面）。

两条邻边都长 √5，夹角满足 cos θ = (EJ·EI)/(√5·√5) = 1/5，故 sin θ = √24/5。面积 = √5·√5·sin θ = 5·(√24/5) = 2√6。

一个面的面积 = 4，所以 R = 2√6/4 = √6/2，R² = 6/4 = 3/2。选 C。

（提醒：截面积与面面积之比不能靠"看起来大约多大"猜，必须算出实际形状——这里是一个边长 √5 的平行四边形。）

第 25 题｜区间内的完全立方数（答案 E）

题目：2⁸+1 与 2¹⁸+1 之间（含两端）有多少个完全立方数？选项：10、18、28、47、58。

解析：2⁸ = 256，2¹⁸ = 262144。要找整数 n 使 257 ≤ n³ ≤ 262145。

下界：6³ = 216 ＜ 257 ≤ 7³ = 343，故 n ≥ 7；

上界：64³ = 262144 ≤ 262145 ＜ 65³ = 274625，故 n ≤ 64。

所以 n = 7, 8, …, 64，共 64 − 7 + 1 = 58 个。选 E。

（有趣的是 2¹⁸ = (2⁶)³ = 64³，所以上端点恰好是一个完全立方数——这正是命题人埋的"边界陷阱"。）

三、复盘建议

本卷前 10 题偏基础，真正的分水岭在第 4、11、19、21、22、23、24 题。建议按模型整理：

数格子与格点：第 4 题——整格 + 半格是最稳的方法，也可用"内部格点数 + 边界格点数/2 − 1"验算；

捆绑与容斥：第 11、16、23 题——"相邻"用捆绑或配对计数，"至少一条"用总数减或加回重复；

同余与整除：第 7、18、21、25 题——先合并条件求出公差（最小公倍数），再卡区间端点；

坐标法：第 22、24 题——正方形、正方体一旦建系，交点与面积都能算，不必依赖"看图猜比例"。