2016 年 AMC 8 真题

2016 AMC 8 真题答案与逐题解析

本解析对应 MAA《2016 AMC 8》（美国数学竞赛 8 级）中英双语真题卷。全卷 25 道单项选择题（选项 A–E），限时 40 分钟。下面先给出答案速查表，再逐题给出中文详细解析。全部答案与卷末答案表逐题核对一致；其中柱状图、蝙蝠翼阴影图、双圆与半圆等图形题（第 6、22、23、25 题）另经逐像素标定、坐标法与几何推导独立复核。

图形题说明：本卷有 6 道题依赖图形（第 2、6、22、23、25 题等）。原 PDF 的柱状图与阴影图无法从文字层提取，解析中已把图形信息改写成可直接计算的数据（如"名字长度为 3、4、5、6、7 的人数依次是 7、3、1、4、4，合计 19 人"），不看原图也能复核。

一、答案速查表

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9
答案	C	A	A	B	E	B	B	C	B

题号	10	11	12	13	14	15	16	17	18
答案	D	B	B	D	A	C	D	D	C

题号	19	20	21	22	23	24	25
答案	E	A	B	C	C	A	B

二、逐题解析

以下按题号顺序给出 25 题的中文解析。每题先复述题干的关键数据与选项，再给完整推理，最后附易错点或更快的替代解法。标注“（答案 X）”的括号内即为该题正确选项。

第 1 题｜11 小时 5 分钟是多少分钟（答案 C）

题目：时间最长的职业网球赛共持续 11 小时 5 分钟，合多少分钟？选项：605、655、665、1005、1105。

解析：11 × 60 + 5 = 660 + 5 = 665。选 C。

（易错点：把"11 小时 5 分"按十进制当成 11.5 小时是常见错误，会算成 690。选项 1105 是"小时与分钟直接拼接"的陷阱。）

第 2 题｜矩形内三角形的面积（答案 A）

题目：矩形 ABCD 中 AB = 6、AD = 8，M 是 AD 的中点。求 △AMC 的面积。选项：12、15、18、20、24。

解析：AM 在边 AD 上，AM = 8 ÷ 2 = 4。取 AM 为底，则 C 到直线 AD 的距离就是 AB = 6（因为 AB ⊥ AD）。故

[△AMC] = ½ × 4 × 6 = 12。选 A。

（另解：矩形面积 48，△AMC 与 △MDC 合起来是 △ADC = 24，而两者同底（AM = MD）同高，各占一半，故各为 12。）

第 3 题｜四人的平均分（答案 A）

题目：四名学生考试，其中三人得分 70、80、90，四人平均分是 70。第四人的分数是多少？选项：40、50、55、60、70。

解析：四人总分 = 4 × 70 = 280，已知三人合计 240，故第四人 = 280 − 240 = 40。选 A。

（易错点：看到"平均 70"就以为第四人也是 70。平均数被三个人拉高，第四人必须低于 70 才能把均值压回去。）

第 4 题｜跑与走的配速差（答案 B）

题目：Cheenu 少年时 3 小时 30 分钟能跑 15 英里；年老时 4 小时能走 10 英里。现在每走 1 英里比少年时每跑 1 英里多用多少分钟？选项：6、10、15、18、30。

解析：少年：3.5 小时 = 210 分钟，配速 210 ÷ 15 = 14 分钟/英里。年老：4 小时 = 240 分钟，配速 240 ÷ 10 = 24 分钟/英里。差 = 24 − 14 = 10 分钟。选 B。

（易错点：直接用总时间相减（240 − 210 = 30）得选项 E，但两者路程不同，必须先化成"每英里用时"再比较。）

第 5 题｜两位数的同余问题（答案 E）

题目：两位数 N 满足：N 除以 9 余 1，N 除以 10 余 3。求 N 除以 11 的余数。选项：0、2、4、5、7。

解析：N ≡ 3（mod 10），故个位是 3。两位数中个位为 3 的有 13、23、33、43、53、63、73、83、93。逐一检验除以 9 的余数（即各位数字和除以 9 的余数）：13→4、23→5、33→6、43→7、53→8、63→0、73→1 ✓。故 N = 73。

73 ÷ 11 = 6 余 7。选 E。

（也可直接算：N ≡ 1（mod 9）、N ≡ 3（mod 10），由中国剩余定理得 N ≡ 73（mod 90），两位数解唯一为 73。）

第 6 题｜名字长度的中位数（答案 B）

题目：柱状图给出 19 个人名字的字母数分布：长度为 3 的有 7 人、4 的有 3 人、5 的有 1 人、6 的有 4 人、7 的有 4 人。求中位数。选项：3、4、5、6、7。

解析：验证总人数：7 + 3 + 1 + 4 + 4 = 19 ✓。19 个数据的中位数是第 10 个（从小到大）。累计人数：长度 3 累计 7 人（第 1–7 个），长度 4 累计 10 人（第 8–10 个）。第 10 个恰是 4，故中位数 = 4。选 B。

（易错点：中位数是"位置居中"的那个值，不是"出现次数最多"（众数是 3）；也不是把 7、3、1、4、4 排序取中间。）

第 7 题｜哪个不是完全平方数（答案 B）

题目：下列哪个数不是完全平方数？选项：1²⁰¹⁶、2²⁰¹⁷、3²⁰¹⁸、4²⁰¹⁹、5²⁰²⁰。

解析：a^m 是完全平方数 ⟺ m 为偶数（a 为正整数）。逐项看指数：2016 偶 ✓、2017 奇 ✗、2018 偶 ✓、2019 奇但 4 = 2²，故 4²⁰¹⁹ = 2⁴⁰³⁸ 指数为偶 ✓、2020 偶 ✓。

只有 2²⁰¹⁷ 不行。选 B。

（易错点：4²⁰¹⁹ 指数是奇数，但底数 4 本身是平方数，化到 2 的幂后指数变成 4038 就合法了——判断时要先把底数分解质因数。）

第 8 题｜交错加减的求和（答案 C）

题目：求 100 − 98 + 96 − 94 + 92 − 90 + … + 8 − 6 + 4 − 2 的值。选项：20、40、50、80、100。

解析：从 100 到 2 的偶数共 50 个，按"一正一负"两两成对，共 25 对。每一对（如 100 − 98、96 − 94、…、4 − 2）都等于 2。故总和 = 25 × 2 = 50。选 C。

（易错点：数错项数——1 到 100 的偶数有 50 个，别按 100 个数去配 50 对。用公式验算：50 个数的交错和 = 25 × 2 = 50。）

第 9 题｜2016 的不同质因数（答案 B）

题目：2016 的不同质因数之和是多少？选项：9、12、16、49、63。

解析：分解质因数：2016 = 2⁵ × 3² × 7（32 × 9 × 7 = 2016 ✓）。不同质因数是 2、3、7，和为 12。选 B。

（易错点：题目问"不同质因数之和"，不是"质因数之和"（后者要按重数算成 2×5 + 3×2 + 7 = 23，也不在选项里）；选项 49 = 7²、63 = 3²×7 是给"把因数当答案"准备的干扰项。另可记：2016 = 2⁵·3²·7 是每年必考的年号分解。）

第 10 题｜自定义运算（答案 D）

题目：定义 a * b = 3a − b。若 2 * (5 * x) = 1，求 x。选项：1/10、2、10/3、10、14。

解析：由内向外算。先算 5 * x = 3 × 5 − x = 15 − x。再算 2 * (15 − x) = 3 × 2 − (15 − x) = 6 − 15 + x = x − 9。

令 x − 9 = 1，得 x = 10。选 D。

（易错点：自定义运算不满足交换律也不满足结合律，2 * (5 * x) 不能写成 (2 * 5) * x。必须严格由内向外代。）

第 11 题｜与原数相加得 132（答案 B）

题目：有多少个两位数满足：它与其数字倒序所得数之和等于 132？选项：5、7、9、11、12。

解析：设两位数为 10a + b（a = 1…9，b = 0…9），倒序数为 10b + a。两者之和 = 11(a + b) = 132，故 a + b = 12。

枚举满足 a + b = 12 的两位数：39、48、57、66、75、84、93，共 7 个。选 B。

（易错点：忘了 b 可以为 0–9、a 只能 1–9；a + b = 12 时 a 取 3 到 9 共 7 个值，a = 2 会得 b = 10 不合法。另一个坑：把"倒序后仍是两位数"的要求强加上去（那会排除 39、48 等？不会）——不必额外限制，a、b 互换后仍合法。）

第 12 题｜郊游学生中女生的比例（答案 B）

题目：Jefferson 中学男女生人数相同。女生中有 3/4、男生中有 2/3 参加了郊游。参加郊游的学生中女生占多少？选项：1/2、9/17、7/13、2/3、14/15。

解析：设男、女各 N 人。参加郊游的女生 = (3/4)N，男生 = (2/3)N。故女生占比 = (3/4) ÷ (3/4 + 2/3) = (9/12) ÷ (9/12 + 8/12) = 9/17。选 B。

（易错点：直接用 (3/4)/(3/4 + 2/3) 时忘记通分，或误以为"男女一样多所以占一半"。答案 9/17 ≈ 0.529 略大于一半，因为女生的参与率更高。）

第 13 题｜乘积为 0 的概率（答案 D）

题目：从集合 {−2, −1, 0, 3, 4, 5} 中随机选两个不同的数相乘，乘积为 0 的概率是多少？选项：1/6、1/5、1/4、1/3、1/2。

解析：总选法 C(6,2) = 15 种。乘积为 0 必须选中 0，另一个数从其余 5 个里任取，共 5 种。概率 = 5/15 = 1/3。选 D。

（易错点：集合里的负号只是干扰，与"乘积为 0"无关；只要抓住"必须含 0"即可。）

第 14 题｜油箱与里程（答案 A）

题目：Karl 的车每加仑油跑 35 英里，油箱加满可装 14 加仑。某天他加满油出发，开了 350 英里后买了 8 加仑油，继续开到目的地时油箱剩一半。这天他共开了多少英里？选项：525、560、595、665、735。

解析：分阶段算油量：

出发时 14 加仑；开 350 英里耗油 350 ÷ 35 = 10 加仑，剩 4 加仑；

加 8 加仑后为 12 加仑；

到目的地时剩一半 = 7 加仑，说明这段用了 12 − 7 = 5 加仑，跑了 5 × 35 = 175 英里。

总里程 = 350 + 175 = 525 英里。选 A。

（易错点："剩一半"是相对满箱 14 加仑的一半 = 7 加仑，不是相对加油后的 12 加仑的一半 = 6 加仑。若误用 6，会得 350 + 210 = 560，正落在选项 B 上。）

第 15 题｜13⁴ − 11⁴ 中 2 的最高幂（答案 C）

题目：13⁴ − 11⁴ 作为因子能含 2 的最高次幂是多少？选项：8、16、32、64、128。

解析：用平方差分解：13⁴ − 11⁴ = (13² − 11²)(13² + 11²) = (169 − 121)(169 + 121) = 48 × 290。

48 = 2⁴ × 3，290 = 2 × 145 = 2 × 5 × 29。故 2 的指数为 4 + 1 = 5，最高幂是 2⁵ = 32。选 C。

（易错点：只分解前一因子得 16，忘了 290 里还藏着一个 2。这类题的要诀是"两个因子各自数 2 的个数再相加"。另可用另一条路：13⁴ − 11⁴ = (13−11)(13+11)(13²+11²) = 2 × 24 × 290，2 的指数 1 + 3 + 1 = 5，结果相同。）

第 16 题｜第一次套圈（答案 D）

题目：Annie 与 Bonnie 在 400 米环形跑道上同时起跑，Annie 的速度比 Bonnie 快 25%。Annie 第一次追上（套圈超过）Bonnie 时，她已经跑了多少圈？选项：1¼、3⅓、4、5、25。

解析：设 Bonnie 速度为 v，则 Annie 为 1.25v。第一次套圈时 Annie 恰好比 Bonnie 多跑 1 圈 = 400 米：

1.25v·t − v·t = 400 ⟹ 0.25v·t = 400 ⟹ v·t = 1600。

Annie 的路程 = 1.25 × 1600 = 2000 米 = 2000 ÷ 400 = 5 圈。选 D。

（捷径：套圈时两人路程比 = 速度比 = 5 : 4，相差 1 份 = 1 圈，故 Annie 跑 5 圈。易错点：把"快 25%"当成"速度比 1.25 : 1 = 5 : 4"是对的，但误算成"多跑 25% 圈数即 1.25 圈"就错了——多跑的距离是 1 圈，不是 25%。）

第 17 题｜不含 911 开头的密码数（答案 D）

题目：ATM 密码是 4 位数字（0–9，允许重复），若密码不能以 9,1,1 开头，共有多少种密码？选项：30、7290、9000、9990、9999。

解析：不加限制时 4 位密码共 10⁴ = 10000 种。以 "9,1,1" 开头的密码，第四位可取 0–9 共 10 种。故合法密码 = 10000 − 10 = 9990。选 D。

（易错点：误以为"不能以 911 开头"要从某一位分类讨论——因为前三位已被完全固定，只需减去 10 种，减法最快。选项 9000 是"前三位固定后第四位不能是 0"的错误想法。）

第 18 题｜216 人 6 赛道的比赛场数（答案 C）

题目：216 名短跑选手参加 100 米赛，跑道 6 条，每次 6 人同场。每场比赛淘汰 5 人（非冠军），冠军进入下一场。要决出总冠军需要多少场比赛？选项：36、42、43、60、72。

解析：每场恰好淘汰 5 人。要从 216 人淘汰到只剩 1 人，需淘汰 215 人，故场数 = 215 ÷ 5 = 43。选 C。

（易错点：用 216 ÷ 6 = 36 得到的是"第一轮场数"，但每场只淘汰 5 人、留下 1 人，所以 36 场后还剩 36 人，需要再打；正确做法是盯住"淘汰人数"这个不变量。验算：43 场 × 5 = 215 ✓。）

第 19 题｜25 个连续偶数之和（答案 E）

题目：25 个连续偶数之和是 10000，其中最大的是多少？选项：360、388、412、416、424。

解析：连续偶数（等差数列）的平均数等于中位数，即第 13 个数 = 10000 ÷ 25 = 400。最大数比它大 12 个公差（每个公差 = 2）：

最大 = 400 + 12 × 2 = 424。选 E。

（易错点：把"12 个公差"写成 12 个"数"或 12 × 1；公差是 2 不是 1。可用末项公式验算：首项 = 400 − 24 = 376，末项 424，25 项和 = 25 × (376 + 424)/2 = 25 × 400 = 10000 ✓。）

第 20 题｜三个数的最小公倍数（答案 A）

题目：lcm(a, b) = 12，lcm(b, c) = 15。求 lcm(a, c) 的最小可能值。选项：20、30、60、120、180。

解析：b 必须同时整除 12 和 15，故 b | gcd(12, 15) = 3，即 b ∈ {1, 3}。

取 b = 3：由 lcm(a, 3) = 12 得 a 需含 2² 与 3 的因子，最小 a = 4（lcm(4,3) = 12 ✓）；由 lcm(3, c) = 15 得 c 最小为 5（lcm(3,5) = 15 ✓）。此时 lcm(a, c) = lcm(4, 5) = 20。

取 b = 1：则 lcm(1, c) = c = 15，lcm(a, 1) = a = 12，lcm(12, 15) = 60，更大。

故最小可能值是 20。选 A。

（关键洞察：b 被"夹"在两个 lcm 之间，只能取 12 与 15 的公因数。想让 lcm(a,c) 小，就要让 a、c 尽量"分担"而非"叠加"质因子。）

第 21 题｜红绿筹码（答案 B）

题目：罐中有 3 个红筹码、2 个绿筹码。逐个不放回抽取，直到 3 个红全被抽出或 2 个绿全被抽出时停止。求"3 个红全被抽出"的概率。选项：3/10、2/5、1/2、3/5、7/10。

解析：把 5 个筹码的抽取顺序看成一个随机排列，"先集齐 3 红"等价于第 3 个红出现在第 2 个绿之前，也就是最后一个被抽到的筹码是绿色。

（理由：若第 5 个是绿，则两个绿在位置 ≤5 中只剩一个在位置 5，另一个在 ≤4，第 3 个红必在 ≤4 出现，红先齐；若第 5 个是红，则两个绿都在 ≤4 已齐，绿先齐。）

而最后一个筹码是绿色的概率 = 2/5。选 B。

（也可穷举：5 个位置放 2 个绿，共 C(5,2) = 10 种等可能；其中绿占第 5 位的有 C(4,1) = 4 种，4/10 = 2/5 ✓。易错点：以为是 3/5（红的比例），忽略了"绿只有 2 个、更容易被集齐"。）

第 22 题｜蝙蝠翼阴影面积（答案 C）

题目：矩形 DEFA 是 3 × 4 的矩形，顶边 D–C–B–A 上 DC = CB = BA = 1。求"蝙蝠翅膀"（阴影）的面积。选项：2、2½、3、3½、4。

解析：建坐标：D(0,4)、C(1,4)、B(2,4)、A(3,4)、E(0,0)、F(3,0)。阴影由两个三角形拼成：左翼是 △CEX，右翼是 △BFX，其中 X 是直线 CF 与 BE 的交点。

直线 CF：过 (1,4)、(3,0)，得 y = 6 − 2x；直线 BE：过 (2,4)、(0,0)，得 y = 2x。联立得 X = (1.5, 3)。

左翼 △CEX（C(1,4)、E(0,0)、X(1.5,3)）：面积 = ½|1×(0−3) + 0×(3−4) + 1.5×(4−0)| = ½ × 3 = 1.5。

右翼 △BFX（B(2,4)、F(3,0)、X(1.5,3)）：面积 = ½|2×(3−0) + 1.5×(0−4) + 3×(4−3)| = ½ × 3 = 1.5。

总面积 = 1.5 + 1.5 = 3。选 C。

（几何看法：左翼以 CE 为底——注意 C 到 E 的水平距离为 1、竖直距离为 4；用"△CEF 减 △CXF"也能算。易错点：把两翼当成"整个矩形减两个空三角"，容易把交点 X 的位置估错；建系求交点最可靠。）

第 23 题｜两圆的交点与圆心角（答案 C）

题目：两个全等圆圆心为 A、B，各自过对方的圆心。直线 AB 延长后与两圆交于 C、D。两圆交于两点，其中一个是 E。求 ∠CED 的度数。选项：90°、105°、120°、135°、150°。

解析：两圆全等且互过圆心，故半径 r = AB。以 A 为原点、B 在正 x 轴上：A(0,0)、B(r,0)。直线 AB 与两圆的交点为 C(−r, 0)、D(2r, 0)。

两圆交点 E 在 AB 的垂直平分线上：x = r/2，y = √(r² − r²/4) = (√3/2)r，即 E(r/2, (√3/2)r)。

向量 EC = (−3r/2, −(√3/2)r)，ED = (3r/2, −(√3/2)r)。两者点积 = −9r²/4 + 3r²/4 = −6r²/4 = −1.5r²，模长各为 √(9/4 + 3/4)·r = √3·r。故

cos∠CED = (−1.5r²) ÷ (3r²) = −1/2，得 ∠CED = 120°。选 C。

（另解更漂亮：△ACE 与 △BDE 都是正三角形（AE = AC = CE = r，等等），于是 ∠AEC = 60°、∠BED = 60°，而 A、B 都在 CD 上，故 ∠CED = 180° − 60° − 60° = 120°。这个"两个正三角形"的观察是本题的核心。）

第 24 题｜五位数 PQRST（答案 A）

题目：用 1、2、3、4、5 各一次组成五位数 PQRST。已知三位数 PQR 能被 4 整除，QRS 能被 5 整除，RST 能被 3 整除。求 P。选项：1、2、3、4、5。

解析：由 QRS 被 5 整除：末位 S 只能是 0 或 5，而 0 不在允许的数字中，故 S = 5。

由 PQR 被 4 整除：只需看末两位 QR 被 4 整除。从 {1,2,3,4} 中的两位数里，能被 4 整除的有 12、24、32，故 (Q, R) ∈ {(1,2), (2,4), (3,2)}。

由 RST 被 3 整除：各位数字和 R + 5 + T 是 3 的倍数，即 R + T ≡ 1（mod 3）。逐个检验：

(Q,R) = (1,2)，则 T 从 {3,4} 取，R+T = 2+T ≡ 1 要求 T ≡ 2，而 3≡0、4≡1，无解；

(Q,R) = (2,4)，则 T 从 {1,3} 取，4+T ≡ 1 要求 T ≡ 0，取 T = 3 ✓；

(Q,R) = (3,2)，则 T 从 {1,4} 取，2+T ≡ 1 要求 T ≡ 2，无解。

唯一解为 Q = 2、R = 4、S = 5、T = 3，剩下的 P = 1，五位数为 12435。选 A。

（验算：124 ÷ 4 = 31 ✓，245 ÷ 5 = 49 ✓，453 ÷ 3 = 151 ✓。易错点：PQR 被 4 整除只看后两位 QR，不要拿整个三位数去试除。）

第 25 题｜等腰三角形内的半圆（答案 B）

题目：一个底边为 16、高为 15 的等腰三角形内有一个半圆，与两条腰相切，且直径落在底边上。求半圆半径。选项：4√3、120/17、10、17√2/2、17√3/2。

解析：底边中点设为原点，底边沿 x 轴：顶点 (0, 15)，底边两端 (±8, 0)。腰的方程（右上那条）过 (8,0) 与 (0,15)：15x + 8y = 120。

半圆直径为底边的一部分、圆心在底边的中垂线上，即圆心 (0,0)、半径 r。弧与腰相切 ⟺ 圆心到腰的距离为 r：

|0 + 0 − 120| / √(15² + 8²) = 120 / 17 = r。故 r = 120/17。选 B。

（另一条路：半圆切腰于 P，则 △OEP ∽ △ 腰与高的直角三角形，用相似比 r/8 = 15/17 也可得 r = 120/17。易错点：把"半圆与两腰相切"误当成"内切圆"（内切圆半径 = 面积/半周长 = 120/24 = 5，不在选项里）。注意 120/17 ≈ 7.06 ＜ 8，直径 14.1 ＜ 16，确实能放在底边上。）

三、复盘建议

本卷前 12 题以算术、比例为主，第 15 题后的数论与组合明显加重。建议按模型整理：

单位换算与配速：第 1、4、14 题——统一到"每分钟 / 每英里 / 每加仑"再比较，别拿总量直接相减；

整除判别：第 5、17、20、24 题——被 4 整除看末两位、被 3 整除看数字和、被 5 整除看末位，是中国剩余定理类题目的标准切入口；

不变量与守恒：第 18 题——盯住"每场淘汰 5 人"这个不变量，比逐轮计数快得多；

容斥与对称：第 11、21 题——用"总排列中最后一个的颜色"或"倒序数之和 = 11(a+b)"一步到位；

建系求交：第 2、22、23、25 题——矩形、圆、三角形一旦建系，交点坐标与点到直线距离都能直接算，不必靠"看图估比例"。