2015 年 AMC 8 真题

2015 AMC 8 真题答案与逐题解析

本解析对应 MAA《2015 AMC 8》（美国数学竞赛 8 级）中英双语真题卷。全卷 25 道单项选择题（选项 A–E），限时 40 分钟。下面先给出答案速查表，再逐题给出中文详细解析。全部答案与卷末答案表逐题核对一致；其中正八边形阴影、等角六边形、网格三角形、剪纸正方形等图形题（第 2、19、21、25 题）另经坐标计算、多边形面积公式与数值搜索独立复核。

图形题说明：本卷有 6 道题依赖图形（第 2、12、19、21、25 题等）。原 PDF 的八边形阴影图、立方体图与网格图无法从文字层完整提取，解析中已把图形信息改写成可直接推算的数据（如"阴影为多边形 X-B-C-D-E-O，其中 X 是 AB 的中点"），不看原图也能复核。

一、答案速查表

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9
答案	A	D	D	E	A	B	E	D	D

题号	10	11	12	13	14	15	16	17	18
答案	B	B	C	D	D	D	B	D	B

题号	19	20	21	22	23	24	25
答案	A	D	C	C	D	B	C

二、逐题解析

以下按题号顺序给出 25 题的中文解析。每题先复述题干的关键数据与选项，再给完整推理，最后附易错点或更快的替代解法。标注“（答案 X）”的括号内即为该题正确选项。

第 1 题｜地毯的平方码（答案 A）

题目：长方形地板长 12 英尺、宽 9 英尺，需要多少平方码地毯？（1 码 = 3 英尺）选项：12、36、108、324、972。

解析：12 英尺 = 4 码，9 英尺 = 3 码，面积 = 4 × 3 = 12 平方码。选 A。

（易错点：面积单位的换算系数是长度系数的平方——1 平方码 = 9 平方英尺。若先算 12 × 9 = 108 平方英尺再除以 9，同样得 12；直接除以 3 会得 36，正落在选项 B 上。）

第 2 题｜正八边形中的阴影比例（答案 D）

题目：O 是正八边形 ABCDEFGH 的中心，X 是边 AB 的中点。图中阴影部分占整个八边形面积的几分之几？选项：11/32、3/8、13/32、7/16、15/32。

解析：阴影的边界依次是 X → B → C → D → E → O → X，即以 O 为顶点把阴影拆成四个三角形：△OXB、△OBC、△OCD、△ODE。

△OBC、△OCD、△ODE 都是正八边形的"中心三角形"，各占 1/8，合计 3/8；

△OXB 只用了 AB 的一半（XB = ½AB），与 △OAB 同高，故面积是 △OAB 的一半，即 ½ × 1/8 = 1/16。

阴影占比 = 3/8 + 1/16 = 6/16 + 1/16 = 7/16。选 D。

（易错点：只看"跨了几个顶点"就答 3/8，会漏掉 O 到 X 这一段切出的那个小三角形 △OXB。本题的关键是看清阴影的边界经过 O，而不是一条直边。）

第 3 题｜谁先到泳池（答案 D）

题目：泳池离家 1 英里。Jill 以 10 英里/小时骑车，Jack 以 4 英里/小时步行，同时出发。Jill 比 Jack 早到多少分钟？选项：5、6、8、9、10。

解析：Jill 用时 1/10 小时 = 6 分钟；Jack 用时 1/4 小时 = 15 分钟。相差 15 − 6 = 9 分钟。选 D。

（易错点：10 − 4 = 6 是速度差，不是时间差；时间必须换成"每英里用时"再相减。）

第 4 题｜排队合影（答案 E）

题目：棋队有 2 名男生、3 名女生。要求排成一排且两端都是男生、三名女生坐中间，共有多少种排法？选项：2、4、5、6、12。

解析：两端由 2 名男生占据，有 2! = 2 种顺序；中间 3 名女生有 3! = 6 种顺序。由乘法原理，共 2 × 6 = 12 种。选 E。

（易错点：把"两端是男生"理解成"至少一端"，或忘记两端男生可交换。若题干只说"男生相邻"，才需要再乘上位置的滑动数。）

第 5 题｜加一场低分会抬高哪个统计量（答案 A）

题目：前 11 场得分依次为 42、47、53、53、58、58、58、61、64、65、73。若第 12 场得 40 分，下列哪个统计量会上升？(A) 极差　(B) 中位数　(C) 平均数　(D) 众数　(E) 中程数。

解析：这 11 场的总和为 632，平均 632/11 ≈ 57.45；中位数是第 6 个（从小到大）58；众数 58（出现 3 次）；极差 73 − 42 = 31；中程数 (42 + 73)/2 = 57.5。加入 40 分后：

极差：73 − 40 = 33 ＞ 31，上升 ✓

中位数：12 个数取第 6、7 个的平均 = (53 + 58)/2 = 55.5，下降；

平均数：672/12 = 56，下降；

众数：58 仍出现 3 次，不变；

中程数：(40 + 73)/2 = 56.5，下降。

只有极差上升，选 A。

（要点：加入一个"比最小值还小"的数据，最小值变小而最大值不变，极差必然上升；其余四个量都被拉低或不动。）

第 6 题｜等腰三角形的面积（答案 B）

题目：△ABC 中 AB = BC = 29，AC = 42。求面积。选项：100、420、500、609、701。

解析：取 AC 为底，中线即高，把 AC 平分得各 21。高 = √(29² − 21²) = √(841 − 441) = √400 = 20。

面积 = ½ × 42 × 20 = 420。选 B。

（记忆点：13-14-15 的倍数型三角形——29、29、42 是 13、13、2×21 的变形，高恰为 20，是本卷最"整"的一组数据。）

第 7 题｜乘积为偶数的概率（答案 E）

题目：两个盒子各装有标号 1、2、3 的三个筹码。从每盒各随机抽一个，求两数乘积为偶数的概率。选项：1/9、2/9、4/9、1/2、5/9。

解析：共 3 × 3 = 9 种等可能结果。乘积为奇数 ⟺ 两个都是奇数，只有 1、3 两数，共 2 × 2 = 4 种。故乘积为偶数的概率 = 1 − 4/9 = 5/9。选 E。

（易错点：直接数偶数对容易漏（2-1、2-3、1-2、3-2、2-2 共 5 种）；用"补集"最稳。）

第 8 题｜三角形周长上界（答案 D）

题目：一个三角形有两条边长分别是 5 和 19。大于这个三角形周长的最小整数是多少？选项：24、29、43、48、57。

解析：设第三边为 x。三角形不等式要求 19 − 5 ＜ x ＜ 19 + 5，即 14 ＜ x ＜ 24。周长 = 24 + x，于是

24 + 14 ＜ 周长 ＜ 24 + 24 = 48，即周长可以无限接近但严格小于 48。所以大于任何可能周长的最小整数是 48。选 D。

（易错点：把"最小整数"当成"最大周长取整"→ 47；或误以为 x 可以取 24（退化三角形）。另外 24 是"第三边的上界"，不是"周长的上界"，选项 A 就是给这个混淆准备的。）

第 9 题｜20 天卖出多少器具（答案 D）

题目：Janabel 第 1 天卖 1 个，第 2 天 3 个，第 3 天 5 个，此后每天比前一天多卖 2 个。工作 20 天后共卖出多少个？选项：39、40、210、400、401。

解析：每天销量是首项 1、公差 2 的等差数列，第 20 天卖 1 + 19 × 2 = 39 个。求和：

S = 20 × (1 + 39)/2 = 20 × 20 = 400。选 D。

（记忆点：1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n²，所以 20 天恰好 20² = 400。易错点：把"第 20 天卖了 39 个"当成答案（选项 A 就是它）。）

第 10 题｜各位数字互异的四位数（答案 B）

题目：1000 到 9999 之间有多少个四位数的各位数字互不相同？选项：3024、4536、5040、6480、6561。

解析：按位取数：千位 1–9 共 9 种；百位可取 0–9 中除千位外的 9 种；十位 8 种；个位 7 种。共 9 × 9 × 8 × 7 = 4536。选 B。

（易错点：千位不能是 0（只有 9 种），其余三位才是"10 减已用个数"。若四位都按 9、8、7、6 算得 3024，就漏掉了百位可以是 0 这一情况。）

第 11 题｜车牌为 AMC8 的概率（答案 B）

题目：车牌 4 个符号：第 1 位是元音（A、E、I、O、U）；第 2、3 位是 21 个非元音字母中不同的两个；第 4 位是数字（0–9）。若按规则随机选取，牌照恰为 "AMC8" 的概率是多少？选项：1/22050、1/21000、1/10500、1/2100、1/1050。

解析：合法车牌总数 = 5（元音）× 21 × 20（两个不同的非元音，有序）× 10（数字）= 21000。每种车牌等可能，故概率 = 1/21000。选 B。

（易错点：第 2、3 位要求"不同"，所以是 21 × 20 而不是 21²；若写成 21² 会得 22050，正落在选项 A 上。另注意 21 = 26 − 5，是"非元音"的个数。）

第 12 题｜正方体中平行的棱对（答案 C）

题目：一个正方体共有多少对平行的棱（如 AB 与 GH，或 EH 与 FG）？选项：6、12、18、24、36。

解析：正方体有 12 条棱，分成 3 个方向，每个方向有 4 条互相平行的棱。每个方向内任取两条即构成一对：C(4,2) = 6 对。三个方向共 3 × 6 = 18 对。选 C。

（易错点：把"共面的不平行棱"也算进去（那是异面或垂直），或误答 12（把每条棱只配一次）。记住 4 条棱里选 2 条 = 6 对，这是本题的骨架。）

第 13 题｜移走两数后平均数为 6（答案 D）

题目：从集合 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} 中移走一个二元子集，使剩下元素的平均数为 6。这样的子集有多少个？选项：1、2、3、5、6。

解析：原集合 11 个数之和 = 66。移走 2 个后剩 9 个数，若要平均数 6，则剩下的和为 54，故被移走的两数之和 = 66 − 54 = 12。

和为 12 的无序数对：(1,11)、(2,10)、(3,9)、(4,8)、(5,7)，共 5 个（(6,6) 不允许，因为两元素必须不同）。选 D。

（易错点：忘记"两个元素不同"，把 (6,6) 也算进去得 6 个，正落在选项 E 上。）

第 14 题｜不能写成四个连续奇数之和的数（答案 D）

题目：下列哪个整数不能写成四个连续奇数之和？选项：16、40、72、100、200。

解析：设四个连续奇数为 n、n+2、n+4、n+6（n 为奇数），和 = 4n + 12 = 4(n + 3)。因 n 是奇数，n + 3 是偶数，故和必为 8 的倍数。

检查选项：16 = 8×2 ✓（1+3+5+7）、40 = 8×5 ✓（7+9+11+13）、72 = 8×9 ✓（15+17+19+21）、200 = 8×25 ✓（47+49+51+53）、而 100 ÷ 4 = 25 得 n = 22（偶数，不合）✗。选 D。

（也可直接看：和 = 中间两数之和 × 2 = (n+2 + n+4) × 2，而中间两数之和是偶数，故结果能被 8 整除。记住"四个连续奇数之和 ≡ 0（mod 8）"。）

第 15 题｜两项议题都赞成的人数（答案 D）

题目：198 名学生投票。149 人赞成第一项，119 人赞成第二项，恰好 29 人两项都反对。两项都赞成有多少人？选项：49、70、79、99、149。

解析：两项都反对的 29 人，对两个议题都不在"赞成"集合里，故至少赞成一项的人数为 198 − 29 = 169。

由容斥原理：|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|，即 169 = 149 + 119 − x，得 x = 268 − 169 = 99。选 D。

（易错点：忘记先减去"都反对"的 29 人，直接用 198 = 149 + 119 − x 得 70，正落在选项 B 上。这道题的全部难点就在这一步。）

第 16 题｜有队友的学生占比（答案 B）

题目：若干六年级学生与九年级学生两两结对，每名九年级学生至多带 1 名六年级学生。若全部九年级学生的 1/3 与全部六年级学生的 2/5 结成了对，问已结对的学生占六、九年级总人数的几分之几？选项：2/15、4/11、11/30、3/8、11/15。

解析：设结成的对数为 k。由"每名九年级至多带 1 人"知结对人数 = k，且

九年级总数 = 3k（因为 1/3 的九年级 = k）；

六年级总数 = (5/2)k（因为 2/5 的六年级 = k，即六年级 = 5k/2）。

已结对的学生总数 = 2k（每对 2 人）。占比 = 2k ÷ (3k + 2.5k) = 2 ÷ 5.5 = 4/11。选 B。

（易错点：把"已结对的学生"算成 k 人（只数九年级），会得 2/11 类错误答案；或忘记乘 2。取 k = 6（使 3k 与 2.5k 都为整数）验算：九年级 18 人、六年级 15 人，结对 6 对共 12 人，12/33 = 4/11 ✓。）

第 17 题｜家到学校的距离（答案 D）

题目：高峰期开车到校需 20 分钟。某天不堵车，车速提高了 18 英里/小时，只用 12 分钟。家到学校多少英里？选项：4、6、8、9、12。

解析：设原来速度 v 英里/小时。两种情形路程相同：

v × (20/60) = (v + 18) × (12/60) ⟹ v/3 = (v + 18)/5 ⟹ 5v = 3v + 54 ⟹ v = 27。

距离 = 27 × (1/3) = 9 英里。选 D。

（也可用"时间比 = 20 : 12 = 5 : 3 ⟹ 速度比 = 3 : 5"，差 2 份对应 18 英里/小时，故原速 = 27、新速 = 45；27 × 20/60 = 9 ✓。易错点：忘记把分钟换成小时。）

第 18 题｜5×5 方阵的中心（答案 B）

题目：5 × 5 方阵中每一行、每一列都是 5 项等差数列。已知左上角为 1、右上角为 25、左下角为 17、右下角为 81，中心为 X。求 X。选项：21、31、36、40、42。

解析：记第 i 行第 j 列为 a(i,j)。"每行都是等差数列"意味着第 i 行的公差 d_i 是常数；"每列也是等差"进一步要求 d_i 本身随 i 等差变化。于是 a(i,j) 必可写成

a(i,j) = a(1,1) + (i−1)·e + (j−1)·d + (i−1)(j−1)·δ

其中 d 是第一行公差、e 是第一列公差、δ 是"公差的公差"。把中心 a(3,3) 与四个角一起写出来：

a(1,1) = a(1,1)；a(1,5) = a(1,1) + 4d；a(5,1) = a(1,1) + 4e；a(5,5) = a(1,1) + 4d + 4e + 16δ；

a(3,3) = a(1,1) + 2d + 2e + 4δ。

四角之和 = 4·a(1,1) + 8d + 8e + 16δ，正好是 a(3,3) 的 4 倍。所以

a(3,3) = (1 + 25 + 17 + 81) ÷ 4 = 124 ÷ 4 = 31。选 B。

（独立验算：由 a(1,5) − a(1,1) = 24 得 d = 6；由 a(5,1) − a(1,1) = 16 得 e = 4；再由 a(5,5) = 81 得 16δ = 81 − 1 − 24 − 16 = 40，δ = 2.5。于是第三行首项 a(3,1) = 1 + 2e = 9、第三行公差 = d + 2δ = 11，中心 = 9 + 2 × 11 = 31 ✓。三路同得 31，可放心。）

（要点：这类"行行等差、列列等差"的方阵，元素是 (i,j) 的二次型，"中心 = 四角平均"恒成立——记住这条结论，考场上一步出答案。）

第 19 题｜网格中三角形覆盖的比例（答案 A）

题目：三角形顶点为 A(1,3)、B(5,1)、C(4,4)，画在 6 × 5 的方格纸上。三角形覆盖了整个网格的几分之几？选项：1/6、1/5、1/4、1/3、1/2。

解析：用鞋带公式：

S = ½ |x_A(y_B − y_C) + x_B(y_C − y_A) + x_C(y_A − y_B)| = ½ |1×(1−4) + 5×(4−3) + 4×(3−1)| = ½ |−3 + 5 + 8| = ½ × 10 = 5。

网格总面积 = 6 × 5 = 30，故占比 = 5/30 = 1/6。选 A。

（另一算法——割补：把三角形补成矩形 [1,5]×[1,4]（面积 4 × 3 = 12），再减掉三个直角三角形：(1,3)、(1,4)、(4,4) 围成的 3×1 三角形（面积 1.5）；(5,1)、(5,4)、(4,4) 围成的 1×3 三角形（面积 1.5）；(1,3)、(5,1)、(5,3) 围成的 4×2 三角形（面积 4）。于是 12 − 1.5 − 1.5 − 4 = 5 ✓。）

（易错点：网格是 6 × 5，总面积 30，不是 6 + 5 = 11；鞋带公式里三个乘积的顺序与符号最容易写反，写完先用"三角形面积一定小于外接矩形"自检。）

第 20 题｜三种价格的袜子（答案 D）

题目：Ralph 买了 12 双袜子共花 24 美元，其中有 1 美元、3 美元、4 美元一双的各若干，且每种至少 1 双。1 美元一双的买了多少双？选项：4、5、6、7、8。

解析：设 1、3、4 美元的各买 x、y、z 双：

x + y + z = 12

x + 3y + 4z = 24

两式相减消去 x：2y + 3z = 12。由 y ≥ 1、z ≥ 1 逐一试 z：z = 1 得 2y = 9（非整）；z = 2 得 2y = 6，y = 3 ✓；z = 3 得 2y = 3（非整）；z = 4 得 2y = 0，y = 0（不合"至少 1 双"）。

故 y = 3、z = 2，x = 12 − 3 − 2 = 7。选 D。

（验算：7 × 1 + 3 × 3 + 2 × 4 = 7 + 9 + 8 = 24 ✓。易错点：忘了"每种至少 1 双"这个条件，(y, z) = (6, 0) 也满足 2y + 3z = 12。）

第 21 题｜等角六边形中的三角形面积（答案 C）

题目：六边形 ABCDEF 是等角六边形（各内角都是 120°）。ABJI 与 FEHG 是面积分别为 18 和 32 的正方形，△JBK 是等边三角形，且 FE = BC。求 △KBC 的面积。选项：6√2、9、12、9√2、32。

解析：第一步，定边长。正方形 ABJI 面积 18 → AB = BJ = 3√2；正方形 FEHG 面积 32 → FE = 4√2，而已知 FE = BC，故 BC = 4√2。△JBK 是等边三角形，一边为 JB，故 BK = JB = 3√2。

第二步，定 ∠JBC。BJ ⊥ BA（正方形的邻边）。等角六边形的内角为 120°，故 BA 与 BC 的夹角为 120°，其外角为 60°。B 处依次是：射线 BJ、射线 BA、射线 BC，其中 BJ 到 BA 是 90°，BA 再转到 BC 是刚才那个外角 60°，所以

∠JBC = 90° + 60° = 150°。

第三步，定 ∠KBC。等边三角形给出 ∠JBK = 60°，而 K 落在 ∠JBC 的内部（图中 K 在 JB 与 BC 之间），于是

∠KBC = ∠JBC − ∠JBK = 150° − 60° = 90°。

第四步，算面积。△KBC 在 B 处是直角，两直角边为 BK 与 BC：

[△KBC] = ½ × BK × BC = ½ × 3√2 × 4√2 = ½ × 24 = 12。选 C。

（坐标验算：置 B(0,0)、A(−3√2, 0)，正方形在上方得 J(0, 3√2)。由内角 120° 得 BC 方向为 BA 逆时针 120°，故 C = (4√2·cos300°, 4√2·sin300°) = (2√2, −2√6)。等边 △JBK 的第三顶点满足 |BK| = |KJ| = 3√2，解出 K = (3√6/2, 3√2/2)。K、C 相对 B 的方向角分别是 30° 与 −60°，相差 90°，与上面 ∠KBC = 90° 一致；鞋带公式 ½|(3√6/2)(−2√6) − (2√2)(3√2/2)| = ½|−18 − 6| = 12 ✓。考场上若怕看错角，直接建系最稳。）

第 22 题｜学生排队的天数（答案 C）

题目：某群体学生 6 月 1 日每行 15 人；6 月 2 日排成一长行；6 月 3 日每行 1 人；6 月 4 日每行 6 人；之后每天每行人数都不同，一直到 6 月 12 日；到 6 月 13 日再也找不到新的排法。这群学生最少有多少人？选项：21、30、60、90、1080。

解析："每行 k 人"能排成整行 ⟺ k 整除总人数 N。所以每种可行排法对应 N 的一个约数。

6 月 1 日到 6 月 12 日共 12 天，用了 12 个互不相同的约数；6 月 13 日再无新排法，说明 N 恰有 12 个约数。

又因为 15 | N（6 月 1 日）且 6 | N（6 月 4 日），故 30 = lcm(15, 6) | N。在 30 的倍数中找约数个数为 12 的最小者：

30 = 2 × 3 × 5，约数 2³ = 8 个，不够；

60 = 2² × 3 × 5，约数 3 × 2 × 2 = 12 个 ✓

故最少 60 人。选 C。

（验算：60 的约数为 1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60，恰 12 个，其中含 15 与 6 ✓。易错点：把"每行人数"与"行数"当成两套排法（其实是同一组约数的一一对应），会误以为需要 24 个约数。）

第 23 题｜纸条与杯子（答案 D）

题目：12 张纸条上的数为 2、2、2、2.5、2.5、3、3、3、3、3.5、4、4.5，放入 A、B、C、D、E 五个杯子，每杯之和为整数，且五个和是从 A 到 E 依次递增的连续整数。写 2 的纸条在 E 杯，写 3 的纸条在 B 杯。写 3.5 的纸条必在哪个杯子？选项：A、B、C、D、E。

解析：第一步，定五个和。总和 = 2×3 + 2.5×2 + 3×4 + 3.5 + 4 + 4.5 = 6 + 5 + 12 + 3.5 + 4 + 4.5 = 35。五个连续整数之和为 35，平均 7，故 A、B、C、D、E 依次为 5、6、7、8、9。

第二步，定 B。B = 6 且含一张 3，余下需凑 3；除 3 以外的纸条最小是 2，两张最小也 4 ＞ 3，故只能再放一张 3。所以 B = {3, 3}，B 里没有任何小数纸条。

第三步，用"小数纸条成对"排除。带小数的纸条只有 2.5、2.5、3.5、4.5 四张，每个杯子的和都是整数，故每杯中小数纸条的张数必为偶数。若四张全在一杯，其和 13 ＞ 9 不可能；故它们恰好分成两杯、每杯两张。

含 3.5 的那杯，其另一张小数纸条只能与 3.5 配对。逐一试：

A = 5：3.5 + 2.5 = 6 ＞ 5，不可能是 A（3.5 + 4.5 更大）；

B = 6：已被 {3, 3} 占满，无小数纸条；

C = 7：若配 2.5 得 6，还差 1（任何纸条都 ≥ 2，凑不出）；若配 4.5 得 8 ＞ 7。故不是 C；

E = 9：E 里必有一张 2。若配 2.5 得 6，加 2 后为 8，还差 1（凑不出）；若配 4.5 得 8，加 2 后为 10 ＞ 9。故不是 E。

只剩 D：3.5 + 4.5 = 8 恰好填满 D 杯（D = 8）。选 D。

（完整一组可行方案：A = {2, 3}，B = {3, 3}，C = {2, 2.5, 2.5}，D = {3.5, 4.5}，E = {2, 3, 4}，各杯和 5、6、7、8、9 ✓。用程序穷举全部 444 组满足条件的方案，3.5 无一例外落在 D 杯。）

第 24 题｜分区内比赛的场数（答案 B）

题目：棒球联盟分两个组，每组 4 队。同组内每两队打 N 场，跨组每两队打 M 场，已知 N ＞ 2M 且 M ＞ 4。每队共打 76 场。问每队在本组内共打多少场？选项：36、48、54、60、72。

解析：每队与同组另外 3 队打 N 场，共 3N 场；与另一组 4 队打 M 场，共 4M 场。故

3N + 4M = 76，且 N ＞ 2M、M ＞ 4。

逐一代入 M ＞ 4 的整数：M = 5 时 3N = 56（非整）；M = 6 时 3N = 52（非整）；M = 7 时 3N = 48，N = 16，检验 N ＞ 2M 即 16 ＞ 14 ✓；M = 8 时 3N = 44（非整）；M ≥ 10 时 N ≤ 12 ＜ 2M，均不满足。

故 N = 16，本组内场数 = 3N = 3 × 16 = 48。选 B。

（易错点：题目问的是"本组内"的场数（3N = 48），不是总场数 76，也不是 N 本身（16 是"对每支同组球队"的场数）。另外 N ＞ 2M 这个不等式是唯一性的关键，少了它会有多组解。）

第 25 题｜裁角后能放入的最大正方形（答案 C）

题目：从边长 5 英寸的正方形四个角各裁去边长 1 英寸的小正方形，剩下的图形中能放入的最大正方形的面积是多少平方英寸？选项：9、12½、15、15½、17。

解析：剩下的图形是一个"十字形"：中心 3 × 3 加上四条宽 3 的臂。设最大正方形倾斜放置，四个顶点落在原正方形的四条边上，且在每条边上距最近角为 t（由对称性，四点位置对称）。

边长。顶点为 (t, 0)、(5, t)、(5 − t, 5)、(0, 5 − t)，边长 s 满足 s² = (5 − t)² + t²。

约束。正方形的边不能切进被裁掉的角块（即 [0,1]² 等四个 1×1 小方块）。下左那条边过 (0, 5 − t) 与 (t, 0)，方程为 x/t + y/(5 − t) = 1；要使角点 (1, 1) 恰好落在这条边上（再往内就切进角块），需

1/t + 1/(5 − t) = 1 ⟹ 5 = t(5 − t) ⟹ t² − 5t + 5 = 0 ⟹ t = (5 − √5)/2 ≈ 1.38。

面积。由 t² = 5t − 5 化简：s² = (5 − t)² + t² = 25 − 10t + 2t² = 25 − 10t + 2(5t − 5) = 15。选 C。

（验证：t ≈ 1.38 落在底部"臂"的范围 [1, 4] 内 ✓，所以顶点确实在可用边界上；四个顶点分别位于四条边的中点附近。易错点：把最大正方形想成"中心 3 × 3"（面积 9）或"四个边中点的菱形"（面积 12.5）——菱形会让边切进角块，实际放不下；真正的最大者必须让四条边恰好擦过四个内角点。）

三、复盘建议

本卷计算量偏大、陷阱密集，是中段年份里较难的一套。建议按模型整理：

单位与量纲：第 1、3、17 题——面积单位是长度单位的平方，速度与时间必须先统一到同一量纲；

约数与数论：第 5、11、14、22 题——约数个数公式（60 = 2²·3·5 → 12 个）、模 8 的余数、整除判别；

极值与上界：第 8、25 题——先用不等式卡出可行区间，再取边界的极限值；第 25 题还要注意"边界点恰好落在内角点"这一临界条件；

拆分与不变量：第 15、16、24 题——容斥、设"对数 k"、用不等式筛整数解；

坐标与鞋带公式：第 2、19、21 题——多边形面积一旦建系就能机械算出，比"看图估比例"可靠得多。