2013 年 AMC 8 真题

2013 AMC 8 真题答案与逐题解析

本解析对应 MAA《2013 AMC 8》（美国数学竞赛 8 级）中英双语真题卷。全卷 25 道单项选择题（选项 A–E），限时 40 分钟。下面先给出答案速查表，再逐题给出中文详细解析。全部答案与卷末答案表逐题核对一致；其中数字金字塔、逻辑排位、矩形内接半圆、正方形拼图、滚球轨道等图形题（第 6、18、19、20、21、24、25 题）另经方程求解、坐标法、鞋带公式与几何建模独立复核。

图形题说明：本卷有 7 道题依赖图形（第 6、18、20、21、22、24、25 题）。原 PDF 的数字金字塔图、堡垒立体图与滚球轨道图无法从文字层完整提取，解析中已把图形信息改写成可直接推算的数据（如"上排 6、5、x；中排 30、5x；下排 600"），不看原图也能复核。

一、答案速查表

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9
答案	A	D	E	C	E	C	C	C	C

题号	10	11	12	13	14	15	16	17	18
答案	C	D	B	A	C	B	E	B	B

题号	19	20	21	22	23	24	25
答案	D	C	E	E	B	C	A

二、逐题解析

以下按题号顺序给出 25 题的中文解析。每题先复述题干的关键数据与选项，再给完整推理，最后附易错点或更快的替代解法。标注“（答案 X）”的括号内即为该题正确选项。

第 1 题｜排满整行还需几辆车（答案 A）

题目：Danica 要把模型车排成每行 6 辆的若干行，现在有 23 辆。至少要再买多少辆？选项：1、2、3、4、5。

解析：23 ÷ 6 = 3 余 5，即排满 3 行后还多 5 辆，缺 6 − 5 = 1 辆就能凑成 4 整行（24 辆）。选 A。

（易错点：问的是"再买几辆"，不是"一共需要几辆"（24）也不是"现有几行"（3）。这类"最少再加多少"的题统一用"向上取整再相减"：⌈23/6⌉×6 − 23 = 1。）

第 2 题｜鱼的原价（答案 D）

题目：鱼市标牌写着"今日五折：半磅装每包仅 3 美元"。一磅鱼的原价是多少美元？（不考虑批发优惠）选项：6、9、10、12、15。

解析：半磅现价 3 美元 → 半磅原价 3 ÷ 50% = 6 美元 → 一磅原价 6 × 2 = 12 美元。选 D。

（易错点：① "五折"是售价为原价的一半，求原价要除以 0.5（不是乘）。② 别漏了"半磅 → 一磅"这一步，直接把 6 当答案就是选项 A。③ 也可先算现价：一磅现价 6 美元，再除以 0.5 得 12。）

第 3 题｜交替加减求和（答案 E）

题目：求 4·(−1 + 2 − 3 + 4 − 5 + 6 − 7 + ⋯ + 1000) 的值。选项：−10、0、1、500、2000。

解析：括号内两两分组：(−1 + 2) + (−3 + 4) + ⋯ + (−999 + 1000)。每组都等于 1，共 1000 ÷ 2 = 500 组，所以括号内和为 500。

原式 = 4 × 500 = 2000。选 E。

（易错点：① 关键是"项数为偶数"，正好两两配对；若末项是奇数（如加到 999），要多留一项单独处理。② 别忘乘外面的 4——选项 D 的 500 就是漏乘的陷阱。）

第 4 题｜八人均摊的餐费（答案 C）

题目：8 个朋友 AA 制吃饭。Judi 忘带钱，其余 7 人每人多付 2.50 美元替她垫上。餐费总额是多少？选项：$120、$128、$140、$144、$160。

解析：7 人共多付 7 × 2.50 = 17.50 美元，这恰好等于 Judi 本应承担的那一份。

所以每人应付 17.50 美元，总额 = 8 × 17.50 = $140。选 C。

（易错点：容易把 17.50 直接当总额（选项里没有，但会算成 17.5）；也容易用 7 × 2.50 × 7 = 122.5 这类错式。正确逻辑链是"多付的总额 = 缺款人的份额"，再由"人均份额 × 8 = 总额"。）

第 5 题｜均值与中位数之差（答案 E）

题目：Hammie 上六年级，体重 106 磅；她的四胞胎妹妹分别重 5、5、6、8 磅。这 5 个孩子体重的平均数与中位数哪个大？大多少磅？选项：中位数大 60、中位数大 20、平均数大 5、平均数大 15、平均数大 20。

解析：平均数 = (106 + 5 + 5 + 6 + 8) ÷ 5 = 130 ÷ 5 = 26 磅。

从小到大排列 5、5、6、8、106，中位数是第 3 个 = 6 磅。

平均数大，大 26 − 6 = 20 磅。选 E。

（易错点：106 这个"极端值"会把平均数拉高很多，而中位数几乎不受影响——这正是均值与中位数最典型的差异。5 个数据的中位数是排序后的正中间那个（第 3 个），不是最大值 106 也不是 8。）

第 6 题｜数字金字塔（答案 C）

题目：每个方格内的数等于它上方相邻两个方格的乘积。顶层三个格依次是 6、5、x；中层两格依次是 30、5x；底层一格是 600。求 x。选项：2、3、4、5、6。

解析：中层左格 = 6 × 5 = 30 ✓；中层右格 = 5 × x = 5x；底层 = 30 × 5x = 150x。

150x = 600 ⟹ x = 4。选 C。

（易错点：注意乘积的"配对"关系——底层格由中层两格相乘得到，而不是由顶层三格直接相乘（那会得到 6·5·x = 30x，得 x = 20，不在选项里）。自下而上逐层写式子最稳。）

第 7 题｜火车车厢数（答案 C）

题目：火车开始通过道口时，Trey 在前 10 秒数到 6 节车厢。整列火车以匀速完全通过道口共用 2 分 45 秒。这列火车最可能有多少节车厢？选项：60、80、100、120、140。

解析：2 分 45 秒 = 165 秒。每 10 秒通过 6 节，故 165 秒通过 6 × (165 ÷ 10) = 6 × 16.5 = 99 节。最接近的选项是 100。选 C。

（易错点：① 单位换算：2 分 45 秒 = 165 秒，不是 245 秒。② 用"比例"直接算即可，不必求车速与车长——车厢数正比于通过时间。③ 得到 99 后选"最接近"的 100，不要因为不是整数就怀疑。）

第 8 题｜至少两次连续正面（答案 C）

题目：均匀硬币掷 3 次，至少出现两次连续正面的概率是多少？选项：1/8、1/4、3/8、1/2、3/4。

解析：8 种等可能结果中，含"连续两个 H"的有：HHH、HHT、THH，共 3 种。概率 = 3/8。选 C。

（易错点：① 题干问的是"至少两次连续"（HH 相邻），不是"至少两个 H"（那样 HTH 也算，会得 4/8 = 1/2，正好是选项 D）。② HHH 只算 1 种结果，不要重复计入两次 HH。③ 用列举法最快：把 8 种结果写全再筛。）

第 9 题｜首次跳过 1 公里（答案 C）

题目：绿巨人每次跳跃的距离都是前一次的两倍。第 1 次 1 米、第 2 次 2 米、第 3 次 4 米……第几次首次超过 1 公里？选项：第 9 次、第 10 次、第 11 次、第 12 次、第 13 次。

解析：第 n 次跳 2^(n−1) 米。要求 2^(n−1) ＞ 1000。

2^9 = 512 ＜ 1000，2^10 = 1024 ＞ 1000，故 n − 1 = 10，n = 11。选 C。

（易错点：① 指数是 n − 1（第一次是 2^0），写成 2^n 会得 10，正是选项 B 的陷阱。② 1000 不是 2 的幂，所以"超过"要取严格大于的第一个整数。③ 2^10 = 1024 是必须熟记的常用幂。）

第 10 题｜LCM 与 GCD 之比（答案 C）

题目：180 与 594 的最小公倍数除以最大公因数，商是多少？选项：110、165、330、625、660。

解析：分解质因数：180 = 2² × 3² × 5，594 = 2 × 3³ × 11。

GCD = 2 × 3² = 18；LCM = 2² × 3³ × 5 × 11 = 5940。

比值 = 5940 ÷ 18 = 330。选 C。

（易错点：① 取 GCD 时每个质因子取"指数较小者"，取 LCM 时取"指数较大者"，两者别搞反。② 捷径：LCM/GCD = (a/g)(b/g) = 10 × 33 = 330，比硬算 5940 更快。③ 594 = 2 × 297 = 2 × 3³ × 11，别漏掉 11。）

第 11 题｜跑步机上少用几分钟（答案 D）

题目：爷爷这周 3 天用跑步机，每天 2 英里。周一速度 5 mph、周三 3 mph、周五 4 mph。若三天都以 4 mph 走，会少花多少分钟？选项：1、2、3、4、5。

解析：实际用时：2/5 h = 24 分，2/3 h = 40 分，2/4 h = 30 分，合计 94 分钟。

全用 4 mph：6 英里 ÷ 4 = 1.5 小时 = 90 分钟。

少用 94 − 90 = 4 分钟。选 D。

（易错点：① 时间要统一换成分钟再相加（2/3 小时 = 40 分钟）。② 不能先对速度取平均 (5 + 3 + 4)/3 = 4 就断言"没差"——因为时间与速度成反比，平均速度应按时间加权。③ 同一距离下，速度的组合对总时间不满足线性。）

第 12 题｜三双凉鞋省了百分之几（答案 B）

题目：凉鞋原价每双 50 美元。促销规则：第 1 双原价，第 2 双减价 40%，第 3 双半价。Javier 买了 3 双。相对 150 美元的原价总额，他省了百分之多少？选项：25%、30%、33%、40%、45%。

解析：实付 = 50 + 50×60% + 50×50% = 50 + 30 + 25 = 105 美元。

省下 = 150 − 105 = 45 美元，占原价 45 ÷ 150 = 30%。选 B。

（易错点：① "第二双减价 40%"意味着付 60%，"第三双半价"付 50%，别把折扣率当付款率。② 问的是"占原价 150 的百分比"，分母是 150 而不是实付 105。③ 平均折扣 = (0 + 40% + 50%)/3 = 30%，因为三双原价相同，可以这样快速验证。）

第 13 题｜调换数位造成的差（答案 A）

题目：Clara 求和时把某个分数的十位与个位数字对调了。她的错误总和与正确总和可能相差多少？选项：45、46、47、48、49。

解析：设原数为 10a + b，对调后为 10b + a，差 = 9(a − b)，一定是 9 的倍数。

选项中只有 45 = 9 × 5 是 9 的倍数（46、47、48、49 的各位数字和分别为 10、11、12、13，都不是 9 的倍数）。选 A。

（易错点：① 差的绝对值是 9|a − b|，所以可能值是 9、18、27、36、45、54、63、72、81。② 判断 9 的倍数只需看数字和，不必做除法。③ 注意"相差"指绝对值，符号不影响结论。）

第 14 题｜果冻豆颜色匹配（答案 C）

题目：Abe 手里有 1 颗绿色、1 颗红色果冻豆；Bob 有 1 颗绿色、1 颗黄色、2 颗红色。两人各自随机取一颗展示，颜色相同的概率是多少？选项：1/4、1/3、3/8、1/2、2/3。

解析：按 Abe 取到的颜色分类：

Abe 取绿（概率 1/2），Bob 也取绿的概率 1/4 → 贡献 1/8；

Abe 取红（概率 1/2），Bob 也取红的概率 2/4 = 1/2 → 贡献 1/4。

合计 1/8 + 1/4 = 3/8。选 C。

（易错点：① 必须按"颜色"分情况，不能把 Bob 的两颗红当成同一颗——他的红球概率是 2/4 而不是 1/3。② Abe 没有黄球，所以"黄"这一支贡献为 0。③ 用全概率公式写一行：P = (1/2)(1/4) + (1/2)(2/4) = 3/8，最不易漏项。）

第 15 题｜幂的方程组（答案 B）

题目：3^p + 3^4 = 90，2^r + 44 = 76，5³ + 6^s = 1421，求 p·r·s。选项：27、40、50、70、90。

解析：逐式解出：

3^p = 90 − 81 = 9 = 3²，故 p = 2；

2^r = 76 − 44 = 32 = 2⁵，故 r = 5；

6^s = 1421 − 125 = 1296 = 6⁴，故 s = 4。

p·r·s = 2 × 5 × 4 = 40。选 B。

（易错点：① 1296 = 6⁴ 需要认出来（6² = 36，36² = 1296）。② 注意第一式是加法不是乘法，别把 3^p·3^4 的规则套上去。③ 三个未知数互相独立，分别解即可，不需要联立。）

第 16 题｜三个年级的最少人数（答案 E）

题目：参加社区服务的学生中，八年级 : 六年级 = 5 : 3，八年级 : 七年级 = 8 : 5。参加者最少有多少人？选项：16、40、55、79、89。

解析：八年级在两组比中分别是 5 和 8，取最小公倍数 40 把它统一：

5 : 3 = 40 : 24；8 : 5 = 40 : 25。

所以 八 : 六 : 七 = 40 : 24 : 25，总人数 = 40 + 24 + 25 = 89。选 E。

（易错点：① 不能把两个比直接"首尾相接"写成 5:3 和 8:5 就合并成 5:3:5，必须先把公共项（八年级）化成同一个数。② 最小公倍数 40 已是使三者都为整数的最小取值，所以 89 是"最少"。）

第 17 题｜六个连续整数之和（答案 B）

题目：六个连续正整数之和为 2013，其中最大的是多少？选项：335、338、340、345、350。

解析：设最小的为 n，则和为 6n + (0+1+2+3+4+5) = 6n + 15 = 2013，得 6n = 1998，n = 333。

最大的 = 333 + 5 = 338。选 B。

（易错点：① 六个连续整数之和 = 6 × 平均数，平均数是 2013/6 = 335.5，落在中间两数（335、336）之间，所以最大者为 338——比设未知数更快。② 差值求和 0+1+…+5 = 15 不能漏。③ 选项 A 的 335 是"平均数取整"，不是最大值。）

第 18 题｜堡垒的砖块数（答案 B）

题目：用 1 英尺立方体搭一个长 12、宽 10、高 5 英尺的长方体堡垒，底面与四面墙的厚度都是 1 英尺。需要多少块砖？选项：204、280、320、340、600。

解析：整体体积 = 12 × 10 × 5 = 600。

内部空腔：四壁各厚 1 英尺，所以水平方向剩 (12 − 2) × (10 − 2) = 10 × 8；底面厚 1 英尺，所以竖直方向剩 5 − 1 = 4。空腔体积 = 10 × 8 × 4 = 320。

砖块数 = 600 − 320 = 280。选 B。

（易错点：① 竖直方向只减 1（只有底，没有顶），减 2 会得 600 − 240 = 360（不在选项）。② 也可以分块算：底面 12 × 10 = 120，四面墙（去掉四个角重复计数）2×(10×4) + 2×(10×4) = 160，合计 280，可作交叉验证。③ 选项 E 的 600 是"实心"的错误答案。）

第 19 题｜三个女孩的名次（答案 D）

题目：Hannah 把自己的分数给 Bridget 和 Cassie 看了，Bridget 与 Cassie 都没把分数给别人看。Cassie 说："我不是班里最低分。"Bridget 说："我没拿到最高分。"三人的成绩从高到低排序是什么？选项：(A) Hannah, Cassie, Bridget；(B) Hannah, Bridget, Cassie；(C) Cassie, Bridget, Hannah；(D) Cassie, Hannah, Bridget；(E) Bridget, Cassie, Hannah。

解析：关键是"各人知道什么"：每人只知道自己的分数，Cassie 与 Bridget 还额外知道 Hannah 的分数（Hannah 展示了）。

Cassie 敢说"我不是最低"，说明她掌握了一个确定的比较：Hannah 的分数比她低，即 Hannah ＜ Cassie（若 Hannah 比她高，她无法排除自己是三人中最低）。

Bridget 敢说"我没拿最高"，同理说明她知道有人比自己高：Hannah ＞ Bridget。

合并：Cassie ＞ Hannah ＞ Bridget。选 D。

（易错点：这类题不是求"谁分数高"的数学关系，而是"谁有资格断言"的逻辑推理——必须从"发言者掌握的信息"反推不等式。最容易的错误是忽略"Hannah 展示了分数"这个前提，把题目当成无信息猜排名。）

第 20 题｜内接半圆的面积（答案 C）

题目：一个 1 × 2 的矩形内接于半圆，长边落在直径上。半圆面积是多少？选项：π/2、2π/3、π、4π/3、5π/3。

解析：长边 2 落在直径上，所以矩形相对直径对称，水平半宽为 1，高为 1（短边）。

矩形右上顶点在半圆上，它到圆心的距离等于半径：R² = 1² + 1² = 2，R = √2。

半圆面积 = ½πR² = ½π·2 = π。选 C。

（易错点：① 半径不是"长边的一半"（那会得 R = 1，面积 π/2，正是选项 A）——矩形的顶点在弧上，必须用勾股定理。② 半圆面积是 ½πR²，别忘了 ½。③ 若把 1 × 2 的短边也放到直径上，条件就不符合"长边落在直径上"了。）

第 21 题｜穿过公园的路线数（答案 E）

题目：Samantha 家在公园西南角以西 2 个街区、以南 1 个街区；学校在公园东北角以东 2 个街区、以北 2 个街区。她先沿街道骑到公园西南角，再沿公园的对角线穿到东北角，最后沿街道骑到学校。最短路线共有多少条？选项：3、6、9、12、18。

解析：分三段独立计数（最短路径只能向东/向北）：

家 → 西南角：东 2、北 1，共 3 步中选 1 步向北：C(3, 1) = 3 条；

公园对角线：只有 1 条；

东北角 → 学校：东 2、北 2，C(4, 2) = 6 条。

由乘法原理，总路线数 = 3 × 1 × 6 = 18。选 E。

（易错点：① 三段是"串联"关系，用乘法而不是加法（3 + 1 + 6 = 10 不在选项，但混淆时会算成 3+6=9，落进选项 C）。② 公园内只有一条对角线（题设指定），不要自己再加路。③ 网格路径数公式：东 m 北 n 的最短路有 C(m+n, m) 条。）

第 22 题｜牙签网格（答案 E）

题目：用牙签搭一个"长 60 根、宽 32 根"的网格，共需多少根牙签？选项：1920、1952、1980、2013、3932。

解析："长 60 根"指横向一排有 60 根牙签，于是横向共有 60 + 1 = 61 条竖线位置？——换个说法更清楚：每个 1 × 1 小格由 4 根牙签围成，网格是 60 列 × 32 行。

横向牙签：32 + 1 = 33 条横线，每条 60 根 → 33 × 60 = 1980。

纵向牙签：60 + 1 = 61 条竖线，每条 32 根 → 61 × 32 = 1952。

合计 1980 + 1952 = 3932。选 E。

（易错点：① "n 根长"的小格数是 n，而"线"的条数是 n + 1——少加 1 就得到 32×60 + 60×32 = 3840（不在选项）。② 选项 1980 与 1952 分别是"只数横向"或"只数纵向"的结果，说明命题人故意留了半截答案。③ 也可以先算总格数 60 × 32 = 1920，再加"边框修正"：每格 2 根（横、竖各一）是 3840，还要加上最右列 32 根与最上行 60 根，得 3932。）

第 23 题｜三边上的半圆（答案 B）

题目：△ABC 中 ∠ABC 为直角，三条边分别作直径作半圆（如图）。AB 上的半圆面积为 8π，AC 上的半圆弧长为 8.5π，求 BC 上半圆的半径。选项：7、7.5、8、8.5、9。

解析：AB 上半圆面积 8π：½π(AB/2)² = 8π ⟹ (AB/2)² = 16 ⟹ AB = 8。

AC 上半圆弧长 8.5π：π(AC/2) = 8.5π ⟹ AC = 17（AC 是斜边，最长，与图示一致）。

勾股定理：BC = √(17² − 8²) = √225 = 15，故 BC 上半圆的半径 = 15/2 = 7.5。选 B。

（易错点：① 半圆面积是 ½πr²，由 8π 反推 r = 4、直径 8；若误用 πr² = 8π 会得 r = √8、直径 2√8，后面全错。② 半圆弧长是 πr（不是 2πr）。③ 8-15-17 是常见勾股数，与 5-12-13、7-24-25 同属必背组。）

第 24 题｜三个正方形的阴影比（答案 C）

题目：正方形 ABCD、EFGH、GHIJ 面积相等，C 是 IH 的中点，D 是 HE 的中点。求阴影五边形 AJICB 与三个正方形面积之和的比。选项：1/4、7/24、1/3、3/8、5/12。

解析：设每个正方形边长为 2（于是中点是整点），建立坐标系：

正方形 ABCD：A(0,2)、B(2,2)、C(2,0)、D(0,0)；

D 是 HE 的中点且 D(0,0)，故 E(−1,0)、H(1,0)，正方形 EFGH 边长 2，F(−1,−2)、G(1,−2)；

C 是 IH 的中点且 C(2,0)、H(1,0)，故 I(3,0)（验证 HI = 2，正方形 GHIJ 边长 2 ✓），J(3,−2)。

阴影五边形 AJICB 的顶点依次为 A(0,2)、J(3,−2)、I(3,0)、C(2,0)、B(2,2)。用鞋带公式：

Σ(x_i·y_{i+1} − x_{i+1}·y_i) = (0·(−2) − 3·2) + (3·0 − 3·(−2)) + (3·0 − 2·0) + (2·2 − 2·0) + (2·2 − 0·2) = −6 + 6 + 0 + 4 + 4 = 8。

面积 = 8 ÷ 2 = 4。三个正方形面积和 = 3 × 4 = 12。比值 = 4/12 = 1/3。选 C。

（易错点：① 先把"C、D 是中点"翻译成坐标，这一步定了后面全部；若把 I、J 的位置搞反，五边形的顺序就错。② 鞋带公式要求顶点按顺时针或逆时针顺序排列，顺序乱了会得到错误结果。③ 也可以割补：阴影 = 正方形 ABCD 的下半部分 + 若干三角形，但坐标法更不易错。）

第 25 题｜滚球球心的路程（答案 A）

题目：直径 4 英寸的球从 A 沿轨道滚到 B。轨道由 3 段半圆弧组成，半径依次 R₁ = 100、R₂ = 60、R₃ = 80 英寸（R₁、R₃ 向下凹，R₂ 向上凸）。球始终与轨道接触且不滑动。球心经过的路程是多少英寸？选项：238π、240π、260π、280π、500π。

解析：球半径 r = 2。球心到轨道圆弧圆心的距离取决于球在弧的哪一侧：

轨道向下凹（R₁、R₃）：球坐在弧的内侧，球心半径 = R − 2；

轨道向上凸（R₂）：球骑在弧的外侧，球心半径 = R + 2。

三段半圆的球心轨迹长度：π(100 − 2) + π(60 + 2) + π(80 − 2) = 98π + 62π + 78π = 238π。选 A。

（易错点：① 球心轨迹的半径不是 R 本身，必须加减球半径 2。② 三段中 R₂ 的凹凸方向相反，是 "+2" 而不是 "−2"。③ 若三段全部用 R − 2 得 234π，全部用 R + 2 得 246π，都不在选项里——这两条正好是自查的坐标。）

三、复盘建议

本卷前半段计算密集、后半段重几何与计数，是"基本功 + 建模"并重的一套。建议按模型整理：

百分数与比例：第 2、12、16 题——"折后价 → 原价"要除，"省了百分之几"的分母是原价，连比要先统一公共项；

数论：第 10、13 题——GCD/LCM 的指数取法、9 的倍数判别；

计数与逻辑：第 8、14、19、21 题——列举法、全概率分情况、由"谁有资格断言"反推不等式、分段串联用乘法；

几何：第 18、20、23、24、25 题——体积差（内部空腔）、内接矩形的半径用勾股、半圆面积与弧长的公式别混、鞋带公式、球心轨迹的 R±r；

单位与量纲：第 7、11 题——秒/分钟/小时必须在同一量纲下运算，速度的平均要按时间加权。