2012 年 AMC 8 真题

2012 AMC 8 真题答案与逐题解析

本解析对应 MAA《2012 AMC 8》（美国数学竞赛 8 级）中英双语真题卷。全卷 25 道单项选择题（选项 A–E），限时 40 分钟。下面先给出答案速查表，再逐题给出中文详细解析。全部答案与卷末答案表逐题核对一致；其中折线多边形、组合最大和、正方形切分、等弧拼星形、内接正方形等图形题（第 5、16、17、24、25 题）另经逐段平衡方程、穷举与坐标计算独立复核。

图形题说明：本卷有 5 道题依赖图形（第 5、16、17、24、25 题）。原 PDF 的折线多边形与星形图无法从文字层完整提取，解析中已把图形信息改写成可直接推算的数据（如"按顺时针依次为 4、1、1、2、1、3 等边，其中 X 是最下方那条竖直边"），不看原图也能复核。

一、答案速查表

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9
答案	E	B	B	C	E	E	B	D	C

题号	10	11	12	13	14	15	16	17	18
答案	D	D	A	C	B	D	C	B	A

题号	19	20	21	22	23	24	25
答案	C	B	D	D	C	A	C

二、逐题解析

以下按题号顺序给出 25 题的中文解析。每题先复述题干的关键数据与选项，再给完整推理，最后附易错点或更快的替代解法。标注“（答案 X）”的括号内即为该题正确选项。

第 1 题｜汉堡与肉的比例（答案 E）

题目：Rachelle 用 3 磅肉做了 8 个汉堡。做 24 个汉堡需要多少磅肉？选项：6、6⅔、7½、8、9。

解析：24 是 8 的 3 倍，所以肉也需要 3 倍：3 × 3 = 9 磅。选 E。

（易错点：先用"每个汉堡 3/8 磅"再乘 24 也对，但多一步换算容易算错成 9/8 之类。看到"同比例放大"，直接找倍数最省事。）

第 2 题｜人口的年净增长（答案 B）

题目：East Westmore 国每 8 小时出生 1 个婴儿，每天有 1 人死亡。每年净增人口约多少（精确到百位）？选项：600、700、800、900、1000。

解析：一年出生数 = 365 × 24 ÷ 8 = 1095 人；一年死亡数 = 365 人。

净增 = 1095 − 365 = 730，精确到百位为 700。选 B。

（易错点：①"每 8 小时 1 个"意味着每天 3 个，一年 3 × 365 = 1095，不要算成 365/8。② 死亡必须减掉——选项 D 的 900 只算了出生、选项 E 的 1000 是粗略估计。③"精确到百位"是四舍五入到百位，730 → 700。）

第 3 题｜真实的日落时间（答案 B）

题目：某年 2 月 13 日的报纸给出昼长 10 小时 24 分钟、日出 6:57 AM、日落 8:15 PM。昼长与日出正确，日落有误。正确的日落时间是？选项：5:10 PM、5:21 PM、5:41 PM、5:57 PM、6:03 PM。

解析：日落 = 日出 + 昼长 = 6:57 AM + 10 小时 24 分。

6:57 + 10 小时 = 16:57，再加 24 分钟 = 17:21，即 5:21 PM。选 B。

（易错点：① 12 小时制与 24 小时制的换算：13:00 之后才进入 PM 区间，17:21 − 12 = 5:21 PM。② 报纸上印的 8:15 PM 是错值，不要拿它反推。③ 分钟进位：57 + 24 = 81 分钟 = 1 小时 21 分，别写成 7:21。）

第 4 题｜Peter 吃了多少比萨（答案 C）

题目：一块比萨切成 12 片。Peter 吃了 1 片，又和弟弟 Paul 平分另 1 片。Peter 吃了整块的几分之几？选项：1/24、1/12、1/8、1/6、1/4。

解析：Peter 共吃 1 + ½ = 1.5 片，占整块 1.5/12 = 1/8。选 C。

（易错点：① "平分另一片"意味着他只吃了这一片的一半，不是整片——多算半片就会得 2/12 = 1/6（选项 D）。② 1.5/12 = 3/24 = 1/8，化简时别漏。③ 也可以逐片折成 1/12 单位：1 片 + 半片 = 1/12 + 1/24 = 3/24 = 1/8。）

第 5 题｜折线多边形的 X（答案 E）

题目：下图中所有角都是直角，各边长度（厘米）已标注。按顺时针方向，边界依次是：水平 4 → 上 1 → 水平 1 → 上 1 → 水平 2 → 下 1 → 水平 3 → 下 2 → 水平 2（向左）→ 下 1 → 水平 1（向左）→ 下 6 → 水平 3（向左）→ 上 X → 水平 2（向左）→ 上 2 → 水平 2（向左）→ 上 1，回到起点。求 X（厘米）。选项：1、2、3、4、5。

解析：不要求面积，只需用"竖直方向的总上升 = 总下降"这一平衡条件（多边形必然闭合）。

向上的边：1 + 1 + X + 2 + 1 = 5 + X。

向下的边：1 + 2 + 1 + 6 = 10。

5 + X = 10 ⟹ X = 5。选 E。

（交叉验证：水平方向"向右之和"应等于"向左之和"。向右 = 4 + 1 + 2 + 3 = 10；向左 = 2 + 1 + 3 + 2 + 2 = 10 ✓，说明对边界的读法无误。）

（易错点：① 题干明说"图形不按比例"，所以不能拿尺子量——必须用平衡方程。② 漏掉最左上那段"上 1"就会得到 X = 6，不在选项里。③ 竖直平衡只数竖直边，水平边不参与。）

第 6 题｜相框边框的面积（答案 E）

题目：一张 8 英寸 × 10 英寸的照片装入相框，相框四周的边框宽 2 英寸。边框面积是多少平方英寸？选项：36、40、64、72、88。

解析：外框尺寸 = (8 + 4) × (10 + 4) = 12 × 14 = 168；照片面积 = 80。

边框面积 = 168 − 80 = 88。选 E。

（易错点：① 上下各 2 英寸，所以总高增加的是 4 而不是 2。② 不要只算 (2 × 8 × 2) + (2 × 10 × 2) = 72——那个算法漏掉了四个角的 2 × 2 小块（共 16），72 + 16 = 88 才是对的。）

第 7 题｜第三场的最低分（答案 B）

题目：Isabella 要考 4 次满分 100 分的测验，目标平均 95。前两次是 97 和 91。看到第三次成绩后她发现仍能达标。第三次的最低可能分数是多少？选项：90、92、95、96、97。

解析：4 次总分需达 4 × 95 = 380。已知 97 + 91 = 188，故第三次 + 第四次 = 380 − 188 = 192。

第四次最多 100 分，所以第三次至少 192 − 100 = 92。选 B。

（易错点：① 关键是"看到第三次成绩后仍能达标"，也就是把第四次当作满分 100 来估上界。② 别误以为四次都要 ≥ 95：只要总和够 380，某次低于 95 完全可以。③ 若算成 380 − 188 = 192 后就停下，会错选 95 或 96。）

第 8 题｜两次折扣后的总折扣（答案 D）

题目：商店广告"全场半价"，另有优惠券可在折后价上再减 20%。用券后相当于在原价上降了百分之多少？选项：10、33、40、60、70。

解析：设原价 100，半价后 50，再用券付 50 × 80% = 40。

相当于原价的 40%，即降了 60%。选 D。

（易错点：① 连续折扣不能相加（50% + 20% = 70% 是错的，那是选项 E）。② 两次折扣相乘：0.5 × 0.8 = 0.4，付 40%，省 60%。③ 逐次换算百分比永远比"想当然相加"安全。）

第 9 题｜鸟与哺乳动物（答案 C）

题目：动物园里有两条腿的鸟和四条腿的哺乳动物。Margie 数到 200 个头、522 条腿。两条腿的鸟有多少只？选项：61、122、139、150、161。

解析：设鸟 b 只、兽 m 只：b + m = 200，2b + 4m = 522。

由第一式乘 2：2b + 2m = 400，与第二式相减得 2m = 122，m = 61，故 b = 200 − 61 = 139。选 C。

（易错点：① 求的是鸟的数量，算出 m = 61 后必须再用 200 减一次（61 正是选项 A 的陷阱）。② "鸡兔同笼"的标准做法：假设全是两条腿，则腿数 400，比实际少 122，每换一只四腿动物多 2 条腿，故 122/2 = 61 只兽。）

第 10 题｜用 2012 四个数字组数（答案 D）

题目：用 2、0、1、2 四个数字能组成多少个大于 1000 的四位数？选项：6、7、8、9、12。

解析：四个数字含两个 2，全排列数 = 4!/2! = 12 个（含以 0 开头的）。

以 0 开头的排列：剩下 1、2、2 三个数字排列，共 3!/2! = 3 个（如 0122、0212、0221）。这些实际上是三位数，且不满足"大于 1000"。

合法个数 = 12 − 3 = 9。选 D。

（易错点：①"两个 2 相同"必须除掉 2!，否则得 24。② 以 0 开头的那 3 个要单独剔除，因为首位为 0 就不是四位数了。③ 也可直接枚举验证：首位为 1 的有 3 个（1022、1202、1220），首位为 2 的有 6 个，合计 9。）

第 11 题｜均值的三合一（答案 D）

题目：正整数 3、4、5、6、6、7、x 的平均数、中位数、唯一众数都相等，求 x。选项：5、6、7、11、12。

解析：已知六个数的和为 31，平均 = (31 + x)/7。

尝试 x = 11：平均 = 42/7 = 6；排序后 3、4、5、6、6、7、11，中位数（第 4 个）= 6 ✓；众数 6（出现两次，唯一）✓。三个量都等于 6，符合。

检查其他选项：x = 5 得平均 36/7 非整数；x = 6 得 37/7；x = 7 得 38/7；x = 12 得 43/7——都不是整数，而中位数是整数，故都不可能。

因此 x = 11。选 D。

（易错点：①"唯一众数"排除了两个数并列最多的情况——x = 6 会让 6 出现三次仍唯一，但平均数不是整数，所以不行。② 先用"平均数必须是整数"这把快刀筛掉大部分选项，比逐一验证中位数快得多。）

第 12 题｜13^2012 的个位（答案 A）

题目：13^2012 的个位数字是多少？选项：1、3、5、7、9。

解析：只看个位：3 的幂的个位循环为 3、9、7、1（周期 4）。

2012 ÷ 4 = 503 余 0，即 2012 是 4 的倍数，对应循环的第 4 个：1。选 A。

（易错点：① 指数除以 4 余 0 时取循环的第 4 项（1），不是第 0 项或第 1 项。② 13 的个位是 3，只看 3 的循环即可，底数的十位不影响个位。③ 3 的幂个位循环是 3→9→7→1，务必背准顺序。）

第 13 题｜铅笔的差价（答案 C）

题目：Jamar 在校书店买了一些铅笔（单价超过 1 美分），共付 1.43 美元；Sharona 买了同样的铅笔，共付 1.87 美元。Sharona 比 Jamar 多买了几支？选项：2、3、4、5、6。

解析：换成分：143 与 187。单价必须同时整除两者，故单价是 gcd(143, 187) 的约数。

143 = 11 × 13，187 = 11 × 17，gcd = 11。结合"单价超过 1 美分"，唯一合理的单价是 11 美分（单价若为 1 美分则被排除）。

Jamar 买 143 ÷ 11 = 13 支，Sharona 买 187 ÷ 11 = 17 支，多 4 支。选 C。

（易错点：① 143 与 187 都含因子 11，这是解题的钥匙；先做质因数分解再谈其他。② 若忽略"单价超过 1 美分"，单价 1 美分也能整除，会得 44 支的答案。③ 求的是"多几支"，是 17 − 13 而非 17。）

第 14 题｜联盟的球队数（答案 B）

题目：BIG N 中学足球联盟中每两队恰好比赛一次，2012 赛季共进行了 21 场。联盟有多少支球队？选项：6、7、8、9、10。

解析：C(n, 2) = 21 ⟹ n(n − 1)/2 = 21 ⟹ n(n − 1) = 42 ⟹ n = 7（6 × 7 = 42）。选 B。

（易错点：① 单循环是 C(n,2)，双循环（主客场）才是 n(n−1)；本题是"恰好一次"。② 若误用 n(n−1) = 21 会得 n ≈ 5.1，无整数解——这本身就是判断单/双循环的信号。③ 记住常用值：C(6,2)=15、C(7,2)=21、C(8,2)=28。）

第 15 题｜余数都是 2（答案 D）

题目：大于 2 且除以 3、4、5、6 余数都是 2 的最小整数，落在哪两个数之间？选项：40 和 50、51 和 55、56 和 60、61 和 65、66 和 99。

解析：该数减 2 后能被 3、4、5、6 同时整除，故 n − 2 是 LCM(3,4,5,6) 的倍数。

LCM(3,4,5,6) = 60，最小正倍数取 60，得 n = 62（n = 2 虽也满足但题设要求"大于 2"）。

62 落在 61 与 65 之间。选 D。

（易错点：① 条件是"余数相同"，要先减掉余数再谈整除。② LCM 是最小公倍数，不能把 3 × 4 × 5 × 6 = 360 当答案。③ 别忘"大于 2"这个排除条件——否则 n = 2 就是最小解。）

第 16 题｜两数之和最大（答案 C）

题目：用 0–9 十个数字各一次组成两个五位数，使两数之和最大。下列哪个可能是其中之一？选项：76531、86724、87431、96240、97403。

解析：要让和最大，必须把最大的两个数字放在万位、次大的两个放在千位，依此类推。于是各数位上的数字配对固定为：万位 {9,8}、千位 {7,6}、百位 {5,4}、十位 {3,2}、个位 {1,0}。

也就是说，任何一个数在每一位上都必须从对应的配对里"取一个"，两数互补。此时最大和 = (9+8)·10⁴ + (7+6)·10³ + (5+4)·10² + (3+2)·10 + (1+0) = 170000 + 13000 + 900 + 50 + 1 = 183951。

逐一检查选项是否"每位都从对应配对中取"：

76531：千位 6 与百位 5 —— 但配对要求千位取 {7,6}、百位取 {5,4}，此数取了 7 和 6（同在千位配对），冲突 ✗；

86724：千位 6、百位 7 —— 7 不在百位配对 {5,4} 中 ✗；

87431：万 8∈{9,8}、千 7∈{7,6}、百 4∈{5,4}、十 3∈{3,2}、个 1∈{1,0}，全部吻合 ✓（配对数 96520，和恰为 183951）；

96240：百位 2 与十位 4 属于 {3,2} 与 {5,4} 的错位 ✗；

97403：百位 4、十位 0 与前位配对错位 ✗。

因此只有 87431 可以。选 C。

（易错点：① 关键是"逐位配对"——不是简单地把最大的数排成一串。② 判据是"每一位都取自该位的配对"，不必真的把和算出来。③ 87431 与 96520 的和 183951 可作最终校验。）

第 17 题｜切成 10 个小正方形（答案 B）

题目：一个边长为整数的正方形被切成 10 个小正方形，各小正方形边长都是整数，且至少有 8 个面积为 1。原正方形边长的最小值是多少？选项：3、4、5、6、7。

解析：若边长为 3：面积 9。8 个面积 1 的小正方形已占 8，剩下面积 1 要分成 2 个正方形——但每个正方形面积至少 1，2 个至少占 2 ＞ 1，不可能。

若边长为 4：面积 16。取 8 个单位正方形 + 2 个 2 × 2 正方形：8 × 1 + 2 × 4 = 16 ✓。构造方式：把 4 × 4 沿两方向各二等分得四个 2 × 2 象限，其中对角线上的两个象限保留为 2 × 2 正方形，另外两个象限再各切成四个 1 × 1，共 2 + 8 = 10 个正方形 ✓。

故最小边长为 4。选 B。

（易错点：① 先做"面积账"排除小边长：边长 3 时面积只有 9，装不下 10 个整格。② 需要真的构造出切法，不能只算面积——面积吻合不代表能拼出来。③ 边长 4 的构造用到了"对角线象限"这个技巧，值得记住。）

第 18 题｜无小质因子的合数（答案 A）

题目：最小的既不是质数、也不是完全平方数、且没有小于 50 的质因数的正整数是多少？选项：3127、3133、3137、3139、3149。

解析：没有小于 50 的质因数，意味着最小质因数 ≥ 53。这样的数若是合数，至少是两个 ≥ 53 的质数之积。

最小的组合是 53 × 53 = 2809，但它是完全平方数，被排除。次小的是 53 × 59 = 3127。

3127 不是质数（= 53 × 59）、不是平方数、也没有小于 50 的质因数，符合全部条件。选 A。

（易错点：① 容易漏掉"不是完全平方数"这一条，从而错答 2809。② 3127 = 53 × 59 这个分解必须验证（选项中的 3133、3137、3139 等其实都是质数或含小因子，都不合题意）。③ 思路是"从最小的两个 ≥ 50 的质数开始配对"，而不是漫无目的地试。）

第 19 题｜罐里的玻璃球（答案 C）

题目：罐中有红、绿、蓝三色玻璃球。除 6 个之外其余都是红的，除 8 个之外其余都是绿的，除 4 个之外其余都是蓝的。共有多少个球？选项：6、8、9、10、12。

解析：设总数为 n，红 r、绿 g、蓝 b，则 r + g + b = n，且：

"除 6 个之外都是红的" ⟹ 非红的有 6 个 ⟹ g + b = 6；

同理 r + b = 8，r + g = 4。

三式相加：2(r + g + b) = 18 ⟹ n = 9。

（顺带解出 g + b = 6、r + b = 8、r + g = 4 ⟹ r = 3、g = 1、b = 5，验证 3 + 1 + 5 = 9 ✓。）选 C。

（易错点：①"除 6 个之外都是红的"的意思是"不是红的有 6 个"，不是"红的有 6 个"——这是本题唯一的陷阱。② 三个方程相加后右边是 2n，别忘了除以 2。③ 解出具体颜色数可以交叉验证。）

第 20 题｜三个分数的大小（答案 B）

题目：把 5/19、7/21、9/23 从小到大排列。选项：(A) 9/23 ＜ 7/21 ＜ 5/19；(B) 5/19 ＜ 7/21 ＜ 9/23；(C) 9/23 ＜ 5/19 ＜ 7/21；(D) 5/19 ＜ 9/23 ＜ 7/21；(E) 7/21 ＜ 5/19 ＜ 9/23。

解析：注意三个分子、分母都相差 2：5/19 = 5/(5+14)、7/21 = 7/(7+14)、9/23 = 9/(9+14)。

对形如 k/(k+14) 的分数，k 越大值越大（因为 1 − 14/(k+14) 随 k 递增）。所以 5/19 ＜ 7/21 ＜ 9/23。

数值校验：5/19 ≈ 0.2632、7/21 ≈ 0.3333、9/23 ≈ 0.3913，顺序一致。选 B。

（易错点：① 直观上"分子分母都变大，分数可能变大也可能变小"，本题因分母与分子的差固定为 14，所以单调递增。② 通用做法是交叉相乘或化小数，但识别出"差为定值"的结构可以一步得出结论。）

第 21 题｜白色正方形的面积（答案 D）

题目：棱长 10 英尺的白色正方体，绿漆够涂 300 平方英尺。Marla 把绿漆全部用完，在每个面的正中央留一个白色正方形、四周涂绿。每个白色正方形的面积是多少平方英尺？选项：5√2、10、10√2、50、50√2。

解析：正方体表面积 = 6 × 10² = 600 平方英尺。

绿漆用掉 300，所以白色总面积 = 600 − 300 = 300，六个面均分，每面 300 ÷ 6 = 50 平方英尺。选 D。

（易错点：① 选项里的 50√2 ≈ 70.7 是"白色正方形的边长"（√50 = 5√2）——题目问的是面积，不要多开一次根。② 绿漆总量对半分，正好白绿各半，这是本题的捷径，无需讨论小正方形的位置。）

第 22 题｜中位数的可能取值数（答案 D）

题目：R 是由 9 个互不相同的整数组成的集合，其中 6 个元素是 2、3、4、6、9、14。R 的中位数有多少个可能的值？选项：4、5、6、7、8。

解析：9 个元素的中位数是第 5 小的数。设中位数为 m，则需要恰好 4 个元素小于 m、4 个大于 m。

已知六个固定元素中，小于 m 的个数记 f(m)。因为另外 3 个数可以自由选择（只要互异且不等于已知值），条件就是：f(m) ≤ 4 且"大于 m 的固定元素数" ≤ 4，即 2 ≤ f(m) ≤ 4。

逐个区间看（m 可等于固定元素，也可取其它整数）：

m = 3：小于 3 的只有 2（f = 1），需要补 3 个更小的 → 恰好 3 个空位 ✓；

m = 4：f = 2，补 2 个更小的，剩 1 个更大的 ✓；

m = 5：f = 3，补 1 个更小的、1 个更大的 ✓；

m = 6：f = 3，同理 ✓；

m = 7、8：f = 4，补 0 个更小的、2 个更大的 ✓；

m = 9：f = 4 ✓；

m = 2：f = 0，需要 4 个更小的但只有 3 个空位 ✗；m = 10 及以上：f ≥ 5 ✗。

可行值 m ∈ {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，共 7 个。选 D。

（易错点：① 别忘了 m 可以取已知元素（如 m = 4、6、9）——只数区间中间的空隙会漏掉。② 判断标准是"4 个数比它小、4 个比它大"这组数量约束，不是"它在不在两个已知元素之间"。③ 3 与 9 这两个端点值容易被漏，因为这时空位刚好用满。）

第 23 题｜三角形与六边形的面积（答案 C）

题目：一个等边三角形与一个正六边形周长相等。若三角形面积为 4，六边形面积是多少？选项：4、5、6、4√3、6√3。

解析：设等边三角形边长 a，正六边形边长 h。周长相等：3a = 6h ⟹ h = a/2。

正六边形可分成 6 个边长为 h 的等边三角形，而边长为 h 的等边三角形面积是边长为 a 的 (h/a)² = 1/4。所以：

六边形面积 = 6 × (1/4) × 4 = 6。选 C。

（易错点：① 边长比是 1:2，面积比是 1:4（不是 1:2）。② 正六边形由 6 个小等边三角形组成（也可由 3 个菱形看，但结论相同）。③ 结果 6 是整数，不必带 √3——因为 √3 因子在两次缩放中被约掉了。）

第 24 题｜四段弧拼成的星形（答案 A）

题目：把半径 2 的圆分成 4 段相等的弧，用这 4 段弧拼成如图的星形。星形面积与原圆面积之比是多少？选项：(4−π)/π、1/π、√2/π、(π−1)/π、3/π。

解析：圆半径 2，每段弧是四分之一圆（含两条互相垂直的半径，端点间距 2√2）。把 4 段弧的弦朝外摆放，得到一个边长 2√2 的正方形（面积 8），而每条边被一段向内凹的弧替代。

每段凹进区域的面积 = 四分之一圆面积 − 对应等腰直角三角形面积 = (1/4)π·2² − ½·2·2 = π − 2。

星形面积 = 8 − 4(π − 2) = 8 − 4π + 8 = 16 − 4π。

原圆面积 = 4π，故比值 = (16 − 4π)/(4π) = (4 − π)/π。选 A。

（易错点：① 每段"弧"的凹进面积是"扇形减三角形"（圆缺），不是整个四分之一圆。② 星形 = 正方形 − 4 个圆缺，而不是"4 段弧围成的面积相加"。③ 比值要除以原圆面积 4π，别忘半径 2。）

第 25 题｜内接正方形的 ab（答案 C）

题目：面积为 4 的正方形内接于面积为 5 的正方形，小正方形的每个顶点分别落在大正方形的四条边上。小正方形的一个顶点把大正方形的一条边分成 a、b 两段。求 ab。选项：1/5、2/5、1/2、1、4。

解析：大正方形边长 √5，故 a + b = √5。小正方形边长 2，故 a² + b² = 2² = 4（每个角上是一个以 a、b 为直角边的直角三角形，斜边即小正方形的一边）。

由 (a + b)² = a² + 2ab + b²：5 = 4 + 2ab ⟹ ab = 1/2。选 C。

（易错点：① 关键是看出"小正方形的边是角上直角三角形的斜边"——这一步把 a、b 的两组关系串起来。② (a+b)² = 5 来自大正方形边长 √5，别写成 5² = 25。③ 由 a + b = √5、ab = 1/2 可解出 a、b = (√5 ± √3)/2，都是正数，与"顶点落在边上"一致。）

三、复盘建议

本卷的特点是"题面短、陷阱密"，很多错误都来自读题而非计算。建议按模型整理：

读题精度：第 3、4、19、21 题——"除 n 个之外都是红"、"平分另一片"、"问面积不是边长"，都要逐字读；

比例与连续折扣：第 1、8 题——折扣相乘而非相加，同比例放大找倍数；

数论：第 12、13、15、18 题——个位循环（周期 4）、公因数分解、余数相同先减余数、最小质因数下界；

计数与概率：第 10、14、16、22 题——重复元素的排列除 2!、C(n,2)、逐位配对、中位数的数量约束；

几何：第 5、6、17、20、23、24、25 题——闭合多边形的竖直/水平平衡、边框要加 4 而非 2、面积比是边长比的平方、圆缺 = 扇形 − 三角形。