2011 年 AMC 8 真题

2011 AMC 8 真题答案与逐题解析

本解析对应 MAA《2011 AMC 8》（美国数学竞赛 8 级）中英双语真题卷。全卷 25 道单项选择题（选项 A–E），限时 40 分钟。下面先给出答案速查表，再逐题给出中文详细解析。全部答案与卷末答案表逐题核对一致；其中粗线正方形、里程折线图、双柱状图、重叠正方形、矩形计数、梯形与同心圆等图形题（第 3、7、9、11、13、19、20、23、25 题）另经图形分割计算、逐像素标定、线段坐标穷举与坐标法独立复核。

图形题说明：本卷有 10 道题依赖图形（第 3、7、9、11、13、19、20、23、25 题等）。原 PDF 的方格图、柱状图与重叠矩形图无法从文字层完整提取，解析中已把图形信息改写成可直接推算的数据（如"五个数之和为 400，Sasha 为 430，共 5 天"），不看原图也能复核。

一、答案速查表

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9
答案	E	E	D	C	D	D	C	B	E

题号	10	11	12	13	14	15	16	17	18
答案	C	A	B	C	C	D	C	A	D

题号	19	20	21	22	23	24	25
答案	D	D	C	D	D	A	A

二、逐题解析

以下按题号顺序给出 25 题的中文解析。每题先复述题干的关键数据与选项，再给完整推理，最后附易错点或更快的替代解法。标注“（答案 X）”的括号内即为该题正确选项。

第 1 题｜买苹果的找零（答案 E）

题目：Margie 买了 3 个苹果，每个 50 美分，付了 5 美元。应找回多少零钱？选项：$1.50、$2.00、$2.50、$3.00、$3.50。

解析：3 × 0.50 = 1.50 美元，5 − 1.50 = $3.50。选 E。

（易错点：别把 50 美分当 0.5 美元之外的数——50 美分 = $0.50。若算成 5 − 1.5 = 3.5 就直接对；若误把单价当 5 美分会得 $4.85。）

第 2 题｜两块菜园的面积（答案 E）

题目：Karl 的菜园 20 英尺 × 45 英尺，Makenna 的菜园 25 英尺 × 40 英尺。下列哪句正确？选项：(A) Karl 大 100 平方英尺；(B) Karl 大 25 平方英尺；(C) 一样大；(D) Makenna 大 25 平方英尺；(E) Makenna 大 100 平方英尺。

解析：Karl：20 × 45 = 900；Makenna：25 × 40 = 1000。

Makenna 大 1000 − 900 = 100 平方英尺。选 E。

（易错点：① 两块地的周长相同（都是 130 英尺），但面积不同——周长相等不蕴含面积相等。② "正多边形面积最大"的直觉在这里体现：越接近正方形（25 × 40 比 20 × 45 更方）面积越大。③ 注意方向：Makenna 更大，别选成 A。）

第 3 题｜扩展后的黑白瓷砖比（答案 D）

题目：图示正方形由 8 块黑瓷砖与 17 块白瓷砖组成（5 × 5 的方格，内部 3 × 3 中 8 块黑、中心 1 块白）。在这个正方形外围贴一圈黑瓷砖扩展。扩展后黑瓷砖与白瓷砖的块数比是多少？选项：8:17、25:49、36:25、32:17、36:17。

解析：5 × 5 的正方形外再加一圈，变成 7 × 7 = 49 块，外层新增 49 − 25 = 24 块，全部为黑。

黑 = 8 + 24 = 32；白 = 17（不变）。比值 = 32 : 17。选 D。

（易错点：① 外面加一圈后边长从 5 变成 7（每边各加 1），新增块数是 7² − 5² = 24，不是 4 × 5 = 20（那样漏掉了四个角）。② 白瓷砖数量不变，别把中心那块也算成黑的。③ 选项 E 的 36 : 17 是"白也变成 36"的错误假设。）

第 4 题｜平均数、中位数与众数（答案 C）

题目：Tyler 九次出游钓到的鱼数为 2、0、1、3、0、3、3、1、2。关于平均数、中位数、众数的哪句话正确？选项：(A) 中位数 ＜ 平均数 ＜ 众数；(B) 平均数 ＜ 众数 ＜ 中位数；(C) 平均数 ＜ 中位数 ＜ 众数；(D) 中位数 ＜ 众数 ＜ 平均数；(E) 众数 ＜ 中位数 ＜ 平均数。

解析：总和 = 2 + 0 + 1 + 3 + 0 + 3 + 3 + 1 + 2 = 15，平均数 = 15/9 ≈ 1.67。

排序：0、0、1、1、2、2、3、3、3，第 5 个（中位数）= 2。

众数：3 出现 3 次最多，众数 = 3。

故 平均数(1.67) ＜ 中位数(2) ＜ 众数(3)。选 C。

（易错点：① 9 个数据的中位数是排序后第 5 个，不能"取中间三个的平均"。② 众数可能出现多个（本题唯一，是 3）。③ 三者比较常用"拉高效应"：数据集中在 0–3，但平均数被 9 个数的分母拉低到 1.67，小于整数中位数 2。）

第 5 题｜2011 分钟之后（答案 D）

题目：2011 年 1 月 1 日午夜过后 2011 分钟是几点？选项：1 月 1 日 9:31 PM、1 月 1 日 11:51 PM、1 月 2 日 3:11 AM、1 月 2 日 9:31 AM、1 月 2 日 6:01 PM。

解析：2011 ÷ 60 = 33 小时余 31 分钟（33 × 60 = 1980，2011 − 1980 = 31）。

33 小时 = 1 天 + 9 小时，所以是 1 月 2 日的 9:31，即 1 月 2 日上午 9:31。选 D。

（易错点：① 先整除 60 得小时与分钟，再整除 24 得天与小时，两步都不能省。② 33 小时超过一天，日期要进位到 1 月 2 日——选项 A、B 都是"忘了跨天"。③ 9:31 是上午（AM），因为剩余 9 小时 < 12。）

第 6 题｜只有汽车没有摩托车（答案 D）

题目：镇上 351 位成年人，每人至少拥有汽车或摩托车之一。331 人有汽车，45 人有摩托车。有多少位有车者没有摩托车？选项：20、25、45、306、351。

解析：容斥：两者都有 = 331 + 45 − 351 = 25。

只有汽车 = 有汽车 − 两者都有 = 331 − 25 = 306。选 D。

（易错点：① "331 + 45 = 376 ＞ 351"说明必有重叠，重叠数 376 − 351 = 25，这一步是全题关键。② 求的是"有车但无摩托"，要从 331 里减掉重叠的 25（25 正是选项 B 的陷阱）。③ 也可直接算：只有摩托 = 45 − 25 = 20，只有汽车 = 351 − 45 = 306。）

第 7 题｜四块正方形中的粗线面积（答案 C）

题目：四个全等的大正方形分别按不同方式分割，各有一部分用粗线（加粗描边）标出。粗线部分占总面积的百分之多少？选项：12½、20、25、33⅓、37½。

解析：逐块算出粗线区域占该正方形的比例（设正方形边长为 1）：

左上：分成 4 条等宽竖条，最左一条整条加粗 → 1/4；

右上：先四等分，再把右上那一格沿对角线分成两半，取上半 → 1/4 × 1/2 = 1/8；

左下：加粗的四边形顶点为 (0,0)、(0,½)、(½,1)、(½,0)，即"左下半边再加一个三角形"，面积 = ∫₀^½ (½ + x)dx = ¼ + ⅛ = 3/8；

右下：四等分后左下那一整格加粗 → 1/4。

四块之和 = 1/4 + 1/8 + 3/8 + 1/4 = 1，总面积是 4 个正方形，故占比 = 1/4 = 25%。选 C。

（易错点：① 题目问的是"四个正方形的总面积中被加粗的占比"，所以要先求和再除以 4。② 左下那块最容易算错：它不是 1/8 也不是 1/4，而是 3/8——用坐标积分或鞋带公式最可靠。③ 四块之和恰为 1 是个漂亮的自检：如果算成 0.95 之类，说明某块读错了。）

第 8 题｜两袋筹码的和（答案 B）

题目：A 袋有 1、3、5，B 袋有 2、4、6，各取一个相加。和有多少种不同的值？选项：4、5、6、7、9。

解析：A 袋全为奇数、B 袋全为偶数，和必为奇数。最小 1 + 2 = 3，最大 5 + 6 = 11，中间每个奇数都能凑出：3、5、7、9、11。

共 5 种。选 B。

（易错点：① 9 种组合（3 × 3）里有重复（如 1+4 = 3+2 = 5），问的是"不同的值"不是"组合数"。② 用"最小、最大、步长为 2"快速判个数：(11 − 3)/2 + 1 = 5。③ 别漏掉中间某值——本题 3 到 11 的奇数确实都能实现。）

第 9 题｜整段骑行的平均速度（答案 E）

题目：折线图显示 Carmen 骑车过程中累计里程随时间的增长，关键点为：(0 小时, 0 英里)、(2 小时, 15 英里)、(4 小时, 20 英里)、(7 小时, 35 英里)。整段行程的平均速度是多少英里/小时？选项：2、2.5、4、4.5、5。

解析：平均速度 = 总里程 ÷ 总时间 = 35 ÷ 7 = 5 英里/小时。选 E。

（易错点：① 平均速度只看起点与终点，与中途快慢无关——图中有"平台段"（2 至 4 小时只走了 5 英里）并不影响总量。② 常见错法是把几段速度平均：(7.5 + 2.5 + 5)/3 ≈ 5 恰好也对，但一般情形不对，不要依赖。③ 若误用 35 ÷ (4 − 0) 之类，会得 8.75。）

第 10 题｜10 美元能坐多远（答案 C）

题目：出租车前 ½ 英里收 2.40 美元，之后每 0.1 英里收 0.20 美元。另需给司机 2 美元小费。10 美元能坐多少英里？选项：3.0、3.25、3.3、3.5、3.75。

解析：车费预算 = 10 − 2 = 8 美元。

减去起步价：8 − 2.40 = 5.60 美元，可买 5.60 ÷ 0.20 = 28 个 0.1 英里 = 2.8 英里。

总里程 = 0.5 + 2.8 = 3.3 英里。选 C。

（易错点：① 小费必须先扣，别把 10 美元全当车费（那样得 4.3 英里，不在选项）。② 起步价覆盖的 ½ 英里不能忘加。③ 0.20 美元对应 0.1 英里，所以 5.60 美元 = 28 段 = 2.8 英里，别算成 0.28。）

第 11 题｜Sasha 每天多学几分钟（答案 A）

题目：柱状图给出一周内 Asha（黑柱）与 Sasha（灰柱）的学习分钟数：周一 60 / 70，周二 90 / 80，周三 100 / 120，周四 80 / 110，周五 70 / 50。平均每天 Sasha 比 Asha 多学多少分钟？选项：6、8、9、10、12。

解析：Asha 合计 = 60 + 90 + 100 + 80 + 70 = 400；Sasha 合计 = 70 + 80 + 120 + 110 + 50 = 430。

相差 30 分钟，共 5 天，平均每天 30 ÷ 5 = 6 分钟。选 A。

（易错点：① 必须用"总量之差 ÷ 天数"，不能把每天之差再平均——本题恰好也等于 6（因为 (−10+10+20+30−20)/5 = 6），但两种算法的一般形式不同，要理解哪个才是"平均每天"。② 只统计了 5 天（周一至周五），分母是 5。③ 逐日相减时注意符号：周一 Asha 反而多 10 分钟。）

第 12 题｜方桌对面的概率（答案 B）

题目：Angie、Bridget、Carlos、Diego 四人随机围方桌各坐一边（每边一人）。Angie 与 Carlos 正好相对的概率是多少？选项：1/4、1/3、1/2、2/3、3/4。

解析：固定 Angie 的位置（旋转对称，不影响概率）。剩下 3 个座位中恰有 1 个在她对面，Carlos 随机坐其中之一个。

概率 = 1/3。选 B。

（易错点：① 圆桌/方桌问题一律用"固定一个人"消去旋转对称，否则会多算 4 倍。② 若按"对面配对"算：4 人分成 2 对，Angie 的对面是谁等可能，故 1/3。③ 1/4 是"坐到某个指定座位"的概率，不是"坐在对面"的概率。）

第 13 题｜重叠正方形的阴影占比（答案 C）

题目：两个边长都是 15 的正方形 ABCD 与 PQRS 重叠，形成一个 15 × 25 的矩形 AQRD（A、P、B、Q 在上边，D、S、C、R 在下边）。阴影是重叠部分 PBCS。阴影占矩形 AQRD 面积的百分之多少？选项：15、18、20、24、25。

解析：两个正方形并排重叠，总宽 = 15 + 15 − 重叠宽 = 25，故重叠宽 = 30 − 25 = 5。

阴影（重叠部分）面积 = 5 × 15 = 75；矩形面积 = 15 × 25 = 375。

占比 = 75/375 = 1/5 = 20%。选 C。

（易错点：① 重叠宽度 = 两正方形边长和 − 矩形宽，这一步最容易想成 25 − 15 = 10（那就把阴影当成了"一个正方形的宽减去另一个"）。② 阴影高等于正方形边长 15，不是矩形高。③ 占比 = 5/25 = 20%，也可直接看出"阴影宽度占矩形宽度的 5/25"。）

第 14 题｜舞会上的女生比例（答案 C）

题目：Colfax 中学 270 人，男女比 5:4；Winthrop 中学 180 人，男女比 4:5。两校联合举办舞会，全体参加。舞会上女生占几分之几？选项：7/18、7/15、22/45、1/2、23/45。

解析：Colfax：总份数 9，女生 = 270 × 4/9 = 120。Winthrop：总份数 9，女生 = 180 × 5/9 = 100。

女生合计 220，总人数 450，占比 = 220/450 = 22/45。选 C。

（易错点：① 两校人数不同，不能把 4/9 与 5/9 直接平均（那会得 1/2，正是选项 D）。② 必须先算出各自的绝对人数再加总。③ 220/450 要约分到 22/45，别停在 44/90。）

第 15 题｜乘积的位数（答案 D）

题目：乘积 4⁵ · 5¹⁰ 有多少位数？选项：8、9、10、11、12。

解析：4⁵ = 2¹⁰，故 4⁵ · 5¹⁰ = 2¹⁰ · 5¹⁰ = (2 × 5)¹⁰ = 10¹⁰。

10¹⁰ 是 1 后面跟 10 个 0，共 11 位。选 D。

（易错点：① 关键是"凑 2 × 5 = 10"——把 4 写成 2²，指数一变就合并。② 10ⁿ 有 n + 1 位（不是 n 位），这是最常见的差一错误。③ 若硬算 4⁵ = 1024、5¹⁰ = 9765625，乘积 9,999,999,? 其实正好是 10¹⁰ = 10000000000。）

第 16 题｜两个等腰三角形的面积（答案 C）

题目：A 是三边长 25、25、30 的三角形面积，B 是三边长 25、25、40 的三角形面积。A 与 B 的关系是？选项：A = (9/16)B、A = (3/4)B、A = B、A = (4/3)B、A = (16/9)B。

解析：两三角形都是等腰三角形，作底边上的高，把它分成两个直角三角形。

A（底 30）：半底 15，高 = √(25² − 15²) = √(625 − 225) = √400 = 20，面积 = ½ × 30 × 20 = 300。

B（底 40）：半底 20，高 = √(625 − 400) = √225 = 15，面积 = ½ × 40 × 15 = 300。

两者相等，故 A = B。选 C。

（易错点：① 腰长相同但底不同，面积未必不同——本题恰好相等（15-20-25 与 20-15-25 只是交换了直角边）。② 必须老老实实算高，不能凭"底更长所以面积更大"的直觉。③ 两式的积 30 × 20 = 40 × 15 = 600 是这个巧合的直接体现。）

第 17 题｜质因数分解的指数（答案 A）

题目：w、x、y、z 都是整数，且 2^w · 3^x · 5^y · 7^z = 588。求 2w + 3x + 5y + 7z。选项：21、25、27、35、56。

解析：分解 588：588 = 2 × 294 = 2² × 147 = 2² × 3 × 49 = 2² × 3 × 7²。

所以 w = 2、x = 1、y = 0、z = 2。

2w + 3x + 5y + 7z = 4 + 3 + 0 + 14 = 21。选 A。

（易错点：① 5 的指数是 0（588 不含因子 5），这一项贡献 0 但不能漏掉这个认知。② 588 = 4 × 147 = 4 × 3 × 49，两个平方因子都要找全。③ 最后是"系数 × 指数"求和，不是求指数的乘积。）

第 18 题｜两次掷骰的大小（答案 D）

题目：均匀六面骰掷两次，第一次点数 ≥ 第二次点数的概率是多少？选项：1/6、5/12、1/2、7/12、5/6。

解析：36 种等可能的有序结果中，"第一次 ＜ 第二次"的对数为 C(6, 2) = 15（从 6 个数中任取两个不同值，小者为第一次、大者为第二次）。

"第一次 ≥ 第二次" = 36 − 15 = 21 种，概率 = 21/36 = 7/12。选 D。

（易错点：① 相等的情况（6 种）属于"≥"，不能漏——漏掉就得 15/36 = 5/12，正好是选项 B。② 也可正算：相等 6 种 + 第一次大于第二次 15 种 = 21 种。③ 结果略大于 1/2 是对的，因为"相等"的 6 种全归了左边。）

第 19 题｜图中长方形的个数（答案 D）

题目：下图中有多少个长方形？选项：8、9、10、11、12。

解析：图由 3 个互相重叠的矩形轮廓构成（不是一个整齐的网格），需要把所有"四条边都被已有线段覆盖"的矩形都数进来。把图中的 6 条竖线与 6 条横线的坐标列出后，逐一检验可得 11 个：

三个原始大矩形：3 个；

它们两两相交切出的矩形（如"左宽矩形 ∩ 上方矩形"的左侧部分）：4 个；

三线交叉处切出的小矩形：4 个。

合计 11 个。选 D。

（易错点：① 只要看一眼觉得"像 3 个矩形"，就会漏掉大量被交叉线切出来的小矩形。② 可靠办法是"先标出所有竖线、横线的坐标，再检查每一组 (x₁,x₂,y₁,y₂) 的四条边是否都有实线"——本题用程序穷举正是得 11。③ 别把"正方形"排除在外（正方形也是长方形）。）

第 20 题｜梯形 ABCD 的面积（答案 D）

题目：四边形 ABCD 是梯形，AD = 15、AB = 50、BC = 20，高为 12。梯形面积是多少？选项：600、650、700、750、800。

解析：AB 与 DC 是平行底边（AB = 50 是上底，CD 是下底），AD、BC 是两腰。

从 A 向 DC 作垂线，水平偏移 = √(15² − 12²) = √(225 − 144) = 9（A 比 D 靠内 9）。

从 B 向 DC 作垂线，水平偏移 = √(20² − 12²) = √(400 − 144) = 16（B 比 C 靠内 16）。

下底 DC = 50 + 9 + 16 = 75（梯形的上底比下底短，两腰向外张开）。

面积 = ½ × (50 + 75) × 12 = ½ × 125 × 12 = 750。选 D。

（易错点：① 必须先用勾股定理把两腰"投影"到底边上，才能得到下底长（9 和 16 这两个数是关键）。② 若误以为 CD = 50 − 9 − 16 = 25（把腰向内收），面积会是 ½ × 75 × 12 = 450，不在选项。③ 认准哪两条边平行：题中给出 AD、BC 是腰（长度给定且不相等），AB = 50 是底。）

第 21 题｜Norb 的年龄（答案 C）

题目：学生猜 Norb 的年龄是 24、28、30、32、36、38、41、44、47、49。Norb 说："你们中至少一半猜低了，有两人猜的与我的年龄相差 1，且我的年龄是质数。"Norb 多大？选项：29、31、37、43、48。

解析："至少一半猜低"：10 个猜测中至少 5 个小于他的年龄。把猜测排序为 24、28、30、32、36、38、41、44、47、49，第 5 个是 36，所以年龄必须 大于 36。

"恰有两人相差 1"：年龄 = 37 时，相差 1 的是 36 与 38，恰好两个 ✓；年龄 = 43 时，相差 1 的是 42、44，而 42 不在猜测中，只有 44 一个 ✗（若取 43，只有 1 人相差 1）。

"是质数"：37 是质数 ✓（31 不满足"＞ 36"）。

三个条件同时满足的只有 37。选 C。

（易错点：① "至少一半猜低"给出的是下界（年龄 ＞ 第 5 个猜测），不是"等于中位数"。② "有两人相差 1"要求 37 ± 1 都在猜测表里——37 是唯一让 36、38 同时命中的位置。③ 31 虽是质数但太小（只有 24、28、30 三个猜低了，不到一半）。）

第 22 题｜7^2011 的十位数（答案 D）

题目：7^2011 的十位数字是多少？选项：0、1、3、4、7。

解析：列出 7 的幂的后两位：7¹ = 07、7² = 49、7³ = 43、7⁴ = 01、7⁵ = 07……周期为 4。

对应的十位数字依次是 0、4、4、0，周期 4。

2011 ÷ 4 = 502 余 3，对应周期中的第 3 项（7³ = 343，十位为 4），故十位数字是 4。选 D。

（易错点：① 必须看"后两位"的循环（周期 4），不是"个位"的循环（那也是周期 4，但十位不同）。② 余数为 0 时取第 4 项（0）。③ 7³ = 343 与 7⁷ = 823543 的十位都是 4，可自行验证。）

第 23 题｜符合条件的四位数（答案 D）

题目：四位数各位数字互不相同、首位不为 0、是 5 的倍数、且 5 是最大的数字。这样的四位数有多少个？选项：24、48、60、84、108。

解析：是 5 的倍数 ⟹ 个位是 0 或 5。"5 是最大数字" ⟹ 所有数字 ≤ 5 且必须含 5。

情形一：个位是 5。首位从 {1, 2, 3, 4} 中选（4 选），中间两位从剩下 4 个数字（含 0）中有序选 2：P(4, 2) = 12。共 4 × 12 = 48 个。

情形二：个位是 0。则 5 必须出现在前三位，另两位从 {1, 2, 3, 4} 中选 2：C(4, 2) = 6；这三个数字（含 5）排在前三位：3! = 6。共 6 × 6 = 36 个（首位自动不为 0，因为 0 已用在个位）。

合计 48 + 36 = 84。选 D。

（易错点：① 个位是 5 与个位是 0 是互斥的两类，必须分类讨论而不是相加混算。② 情形二里"0 已在个位"，所以首位不可能为 0，无需再排除。③ 情形一里中间两位可以含 0，但首位不能是 0——所以首位先定（4 选），再排中间两位。）

第 24 题｜10001 拆成两质数（答案 A）

题目：10001 写成两个质数之和有多少种方式？选项：0、1、2、3、4。

解析：10001 是奇数。两个整数之和为奇数 ⟺ 一奇一偶。偶质数只有 2，所以必须写成 2 + 9999。

9999 = 9 × 1111 = 3² × 11 × 101，显然是合数，不是质数。

因此不存在任何写法，答案 0。选 A。

（易错点：① 这类"奇数拆两质数"的题，一旦奇偶性锁定就只剩唯一候选 2 + (n − 2)，只需检验 n − 2 是否质数。② 9999 的数字和为 36，被 9 整除，一眼可判合数。③ 别因为"哥德巴赫猜想"的直觉就以为一定有解——猜想只针对偶数。）

第 25 题｜圆环与两正方形（答案 A）

题目：半径 1 的圆内切于一个正方形，同时又外接于另一个正方形（如图）。圆的阴影部分（圆内、小正方形外）面积与两正方形之间面积的比值最接近哪个分数？选项：1/2、1、3/2、2、5/2。

解析：外切正方形边长 = 2r = 2，面积 4。内接正方形对角线 = 2r = 2，故边长 = √2，面积 2。

圆的阴影部分 = 圆面积 − 内接正方形面积 = π − 2 ≈ 1.1416。

两正方形之间的面积 = 4 − 2 = 2。

比值 = (π − 2)/2 ≈ 1.1416/2 = 0.5708，最接近 1/2。选 A。

（易错点：① "圆的阴影部分"是圆减去内接正方形（四段弓形），不是整个圆。② 内接正方形的边长由对角线等于直径 2 得到（边长 = √2），不是把直径当成边长。③ 比值 0.5708 距 1/2 只差 0.07，距 1 差 0.43，所以选 1/2 没有争议。）

三、复盘建议

本卷题目文字朴素、图形多，难点集中在"把图形信息准确翻译成数量关系"。建议按模型整理：

图表的读法：第 9、11 题——平均值只看首末两点，柱状图要先做总量差再除以天数；

图形分割与计数：第 3、7、19 题——加一圈要算 7² − 5²、加粗区域用坐标积分、重叠矩形要按"线段坐标穷举"数；

容斥与分类：第 6、13、14、23 题——两者都有 = 和 − 总数，重叠宽 = 边长和 − 总宽，比例混合要化成绝对人数，多条件计数要分情形；

数论：第 15、17、22、24 题——凑 2×5 造 10 的幂、质因数分解、幂的末两位循环、奇偶性锁定唯一候选；

几何：第 2、16、20、25 题——周长相同面积未必相同、等腰三角形作高、梯形要先投影两腰、内接正方形的对角线等于直径。