2009 年 AMC 8 真题

2009 AMC 8 真题答案与逐题解析

本解析对应 MAA《2009 AMC 8》（美国数学竞赛 8 级）中英双语真题卷。全卷 25 道单项选择题（选项 A–E），限时 40 分钟。下面先给出答案速查表，再逐题给出中文详细解析。全部答案与卷末答案表逐题核对一致；其中骑行折线图、五个板块拼组、三角地块、多边形逐边拼接、7×7 瓷砖、4×2 点阵、四块粘合立体等图形题（第 3、4、7、9、18、20、25 题）另经逐像素标定、网格连通域识别、穷举分类与面积平衡方程独立复核。

图形题说明：本卷有 7 道题依赖图形（第 3、4、7、9、18、20、25 题）。原 PDF 的折线图、拼图板块与立体图无法从文字层提取，解析中已把图形信息改写成可直接推算的数据（如"五个板块分别是 1×1、1×2、1×3、1×4、1×5 的竖条，共 15 个格"、"点阵为 4 列 2 行共 8 点"），不看原图也能复核。

一、答案速查表

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9
答案	E	D	C	B	D	A	C	B	B

题号	10	11	12	13	14	15	16	17	18
答案	D	D	D	B	B	D	D	B	C

题号	19	20	21	22	23	24	25
答案	D	D	D	D	B	E	E

二、逐题解析

以下按题号顺序给出 25 题的中文解析。每题先复述题干的关键数据与选项，再给完整推理，最后附易错点或更快的替代解法。标注“（答案 X）”的括号内即为该题正确选项。

第 1 题｜布里奇特买了多少苹果（答案 E）

题目：Bridget 买了一包苹果，把一半给了 Ann，又给了 Cassie 3 个，自己留 4 个。她一共买了多少个？选项：3、4、7、11、14。

解析：从后往前推。给完 Ann 之后她手里有 3 + 4 = 7 个，而这 7 个正是全部苹果的一半。

所以总数 = 7 × 2 = 14。选 E。

（易错点：① 3 + 4 = 7 只是"一半"，别忘了乘 2；选项 D 的 11 正是漏乘 2 后再加上 3 的错误结果。② 倒推顺序要清楚：先给一半（不涉及数字），再给 3 个，剩 4 个。③ 回代验算：14 给一半剩 7，给 3 个剩 4 ✓。）

第 2 题｜预计售出的轿车数（答案 D）

题目：经销商每卖出 4 辆跑车对应卖出 7 辆轿车。下月预计卖出 28 辆跑车，预计卖出多少辆轿车？选项：7、32、35、49、112。

解析：跑车与轿车之比恒为 4 : 7。28 ÷ 4 = 7，说明 4 辆跑车这一份被放大了 7 倍。

轿车数 = 7 × 7 = 49。选 D。

（易错点：① 比例要"同向放大"：跑车乘 7，轿车也乘 7，得 49；用 28 × 4/7 = 16 是方向反了。② 选项 C 的 35 是"4 : 7 → 28 : 35"式地加了 7，属比例式列错的典型错误。③ 交叉相乘验算：4 × 49 = 196 = 7 × 28 ✓。）

第 3 题｜半小时骑多少英里（答案 C）

题目：折线图显示 Suzanna 以恒定速度骑车，图中直线经过原点，并在 5、10、15、20 分钟处分别对应 1、2、3、4 英里。若她以同样速度骑半小时，能骑多少英里？选项：5、5.5、6、6.5、7。

解析：直线过 (0, 0) 与 (20, 4)，速度 = 4 ÷ 20 = 0.2 英里/分钟（即每小时 12 英里）。

半小时 = 30 分钟，路程 = 0.2 × 30 = 6 英里。选 C。

（易错点：① 横轴单位是"分钟"不是"小时"，半小时要换成 30 分钟；若误当 0.5 分钟会得 0.1。② 也可用比例：20 分钟 4 英里 → 30 分钟是 1.5 倍 → 6 英里。③ 别把直线的纵轴读成 4.5 或把点 (15, 3) 当成 (15, 2)，读图时以 20 分钟 4 英里这个最靠外的点为准最稳。）

第 4 题｜哪个图形拼不出来（答案 B）

题目：五个板块都是宽 1 个单位的竖条，高度依次为 1、2、3、4、5（共 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 个格）。其中四个选项图形可由这五块拼成，哪一个不能？选项为 (A)、(B)、(C)、(D)、(E) 五个由单位格组成的图形，每个图形也恰好是 15 格。

解析：关键在"最长的 1×5 竖条"。它只有一种形状——必须占连续 5 个格，所以选项中必须存在一行连续 5 格或一列连续 5 格，否则 1×5 无处可放。

把 (B) 逐行数格：第一行 3 格（第 1–3 列）、第二行 3 格（第 1–3 列）、第三行 4 格（第 2–5 列）、第四行 3 格（第 3–5 列）、第五行 2 格（第 4–5 列）。最长的一行只有 4 格；再逐列数：第 1 列 2 格、第 2 列 3 格、第 3 列 4 格、第 4 列 3 格、第 5 列 3 格，最长的一列也只有 4 格。

(B) 中既没有 5 连的行也没有 5 连的列，1×5 竖条无法放置，因此 (B) 不能拼成。选 B。

（其余四块都能拼，可作自查：(C) 是 5、4、3、2、1 的阶梯，直接一行一根横条即可；(D) 是 3×5 矩形，用竖 5、竖 4、竖 3，再用横 2 与单格收尾；(A) 用第 1 列竖 5、第 4 列竖 4，再用竖 3、横 2、单格；(E) 顶行横 5、中间列竖 4，再用竖 3、竖 2、单格。易错点：只看总格数 15 相同就以为都能拼——本题考的是"最长条能否放进去"。）

第 5 题｜前三项和数列的第 8 项（答案 D）

题目：数列以 1、2、3 开头，第四项起每一项等于前面三项之和（1 + 2 + 3 = 6）。求第 8 项。选项：11、20、37、68、99。

解析：依次递推：第 4 项 = 1 + 2 + 3 = 6；第 5 项 = 2 + 3 + 6 = 11；第 6 项 = 3 + 6 + 11 = 20；第 7 项 = 6 + 11 + 20 = 37；第 8 项 = 11 + 20 + 37 = 68。选 D。

（易错点：① 每次加的是"紧邻的前三项"，不是固定的 1、2、3；② 选项 37 是第 7 项、99 是"全部已算出项相加"的陷阱，容易数错项数；③ 递推五步要写全，中间任一步算错都会连带出错，建议列成一行竖式核对。）

第 6 题｜几小时注满泳池（答案 A）

题目：空泳池装满需 24,000 加仑。用 4 个水管同时注水，每管每分钟 2.5 加仑。几小时注满？选项：40、42、44、46、48。

解析：4 管合计流量 = 4 × 2.5 = 10 加仑/分钟。

所需时间 = 24,000 ÷ 10 = 2,400 分钟；2,400 ÷ 60 = 40 小时。选 A。

（易错点：① 问题是"小时"，2,400 分钟必须再除以 60；② 别漏乘 4（只用一管的 2.5 会得 9,600 分钟 = 160 小时）；③ 40 小时约合 1.7 天，结果偏大是正常的——家用泳池 2.4 万加仑、水管流量只有 10 加仑/分钟确实要这么久。）

第 7 题｜三角形地块的面积（答案 C）

题目：三角形地块 ACD 夹在 Aspen 公路、Brown 公路与一条南北向铁路之间，Main 街为东西向。图中标注：A 在 Main 街上、B 是 Main 街与铁路的交点，AB = 3；铁路沿线依次标出 C（距 B 为 3）与 D（再往上 3，即距 B 为 6）。求地块 ACD 的面积。选项：2、3、4.5、6、9。

解析：取 CD 为底。C、D 都在铁路（南北向直线）上，故 CD 竖直，长度 = 6 − 3 = 3。A 在东西向的 Main 街上，A 到铁路的水平距离就是 AB = 3，这就是以 CD 为底时的高。

面积 = 1/2 × 3 × 3 = 4.5 平方英里。选 C。

（易错点：① 底选 CD（竖直，长 3）比选 AC 或 AD 简单得多；② 高是 A 到铁路的"水平"距离 3，不是 AB 之外另加一段；③ 若把 CD 误读成 6（以为 D 距 C 为 6）会得 9，正好是选项 E；④ 单位是平方英里。）

第 8 题｜新面积是原面积的百分之几（答案 B）

题目：矩形长增加 10%，宽减少 10%，新面积是原面积的百分之多少？选项：90、99、100、101、110。

解析：设原长 a、原宽 b，原面积 ab。新长 1.1a、新宽 0.9b，新面积 = 1.1 × 0.9 × ab = 0.99ab。

0.99ab ÷ ab = 0.99 = 99%。选 B。

（易错点：① 面积要相乘，不能把 +10% 与 −10% 直接抵消成 100%；② 1.1 × 0.9 = 0.99，少了的是 1%（0.01ab），不是 10%；③ 这类"一增一减同百分比"的结论永远小于原值，可用来快速排除 100、101、110。）

第 9 题｜逐边接正多边形后的边数（答案 B）

题目：在正三角形一边上作正方形，在正方形的一条非相邻边上作正五边形，再在五边形的一条非相邻边上作正六边形，照此继续直到作出正八边形。最终图形共有多少条边？选项：21、23、25、27、29。

解析：参与拼接的多边形边数依次为 3、4、5、6、7、8，合计 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 33。

每接一次，两个多边形各让出 1 条边（合起来成为内部的 1 条公共边），所以边界边数比总边数少 2。一共接了 5 次，故边界边数 = 33 − 2 × 5 = 23。选 B。

（也可逐步累加自查：3 + 4 − 2 = 5；5 + 5 − 2 = 8；8 + 6 − 2 = 12；12 + 7 − 2 = 17；17 + 8 − 2 = 23 ✓。易错点：① 每次少的是 2 条不是 1 条——那条公共边在两块里各算过一次；② "非相邻边"只是保证图形不自相重叠，不影响边数计数。③ 若只减 5 条会得 28，不在选项内，可据此自我纠错。）

第 10 题｜不触碰棋盘外缘的概率（答案 D）

题目：8×8 的棋盘共 64 个单位正方形，随机选一个，它不接触棋盘外缘的概率是多少？选项：1/16、7/16、1/2、9/16、49/64。

解析：不接触外缘的方格构成里层的一个 (8 − 2) × (8 − 2) = 6 × 6 = 36 格的方形。

概率 = 36/64 = 9/16。选 D。

（易错点：① 外圈只有一层厚，所以里层边长是 8 − 2 = 6，不是 7 × 7 = 49（那是错把一圈当成两圈）；② 选项 E 的 49/64 就是用 7×7 算的陷阱；③ 36/64 要约分成 9/16，选项里没有 36/64。）

第 11 题｜六年级比七年级多几人（答案 D）

题目：书店的铅笔单价为整数美分。一些七年级学生每人买 1 支，共付 1.43 美元；一些六年级学生（不超过 30 人）每人买 1 支，共付 1.95 美元。买笔的人中六年级比七年级多多少人？选项：1、2、3、4、5。

解析：单价（单位：美分）必须同时整除 143 和 195。分解：143 = 11 × 13，195 = 3 × 5 × 13，公因数中大于 1 的只有 13。

于是单价 = 13 美分。七年级 143 ÷ 13 = 11 人；六年级 195 ÷ 13 = 15 人（不超过 30 ✓）。

15 − 11 = 4 人。选 D。

（易错点：① 单价取 1 美分虽然也能整除，但会得到 143 人与 195 人，与"六年级不超过 30 人"矛盾，故排除；② 两笔钱都必须是单价的整数倍，所以单价是两数的公因数；③ 11 与 15 是"人数"，别把人数差算成 13 或 4 美分的钱数差。）

第 12 题｜两转盘数字之和为质数的概率（答案 D）

题目：第一个转盘的三等分扇形分别标 1、3、5，第二个转盘的三等分扇形分别标 2、4、6，各转一次。两数之和为质数的概率？选项：1/2、2/3、3/4、7/9、5/6。

解析：两个转盘各 3 个扇形，共 3 × 3 = 9 种等可能结果，列出全部和：

1+2 = 3、1+4 = 5、1+6 = 7；3+2 = 5、3+4 = 7、3+6 = 9；5+2 = 7、5+4 = 9、5+6 = 11。

其中质数是 3、5、7、5、7、7、11，共 7 个（只有 9 和 9 不是质数）。概率 = 7/9。选 D。

（易错点：① 9 是合数（3 × 3），最容易被当成质数；② 2 是唯一的偶质数，但本题的和都是奇数，用不上；③ 两个转盘都是三等分，9 种结果等可能，不要因为数字重复就把 (3+2) 与 (5+2) 之类合并计数。）

第 13 题｜能被 5 整除的概率（答案 B）

题目：用 1、3、5 各一次组成三位整数，求它能被 5 整除的概率。选项：1/6、1/3、1/2、2/3、5/6。

解析：三个数字全排列共 3! = 6 个三位数：135、153、315、351、513、531。

能被 5 整除要求末位是 0 或 5，这里只有末位为 5 的情形：135、315，共 2 个。

概率 = 2/6 = 1/3。选 B。

（易错点：① 末位为 5 的排法只有 2 种（另外两位 1、3 可交换），不是 6/2 之类的算法；② 别把"两种末位（0 或 5）"当成概率就写 2/3——数字 0 根本不在集合里；③ 6 个数的枚举值得写全，可避免漏算。）

第 14 题｜往返的平均速度（答案 B）

题目：奥斯汀与坦普尔相距 50 英里。Bonnie 开车去时平均 60 英里/小时，回程坐大巴平均 40 英里/小时。往返的平均速度是多少英里/小时？选项：46、48、50、52、54。

解析：平均速度 = 总路程 ÷ 总时间。总路程 = 50 + 50 = 100 英里。

总时间 = 50/60 + 50/40 = 5/6 + 5/4 = 10/12 + 15/12 = 25/12 小时。

平均速度 = 100 ÷ 25/12 = 100 × 12/25 = 48。选 B。

（易错点：① 60 与 40 的算术平均 50 是错的——两段所用时间不同，慢的一段占的时间更多，所以平均速度必然低于 50；② 只有"两段路程相等"时才可用调和平均 2ab/(a+b) = 2×60×40/100 = 48；③ 100 ÷ 25/12 的除法别写成 100 × 25/12。）

第 15 题｜最多能做多少份热巧克力（答案 D）

题目：做 5 份热巧克力需要 2 块巧克力、1/4 杯糖、1 杯水、4 杯牛奶。Jordan 有 5 块巧克力、2 杯糖、大量的水和 7 杯牛奶。按同样配比，最多能做多少份？选项：5 1/8、6 1/4、7 1/2、8 3/4、9 7/8。

解析：先算"每份"的用量：巧克力 2/5 块、糖 1/20 杯、水 1/5 杯、牛奶 4/5 杯。

再看各原料能支撑的份数：巧克力 5 ÷ (2/5) = 12.5 份；糖 2 ÷ (1/20) = 40 份；水不受限；牛奶 7 ÷ (4/5) = 8.75 份。

取最小者（牛奶是"瓶颈"）：8.75 = 8 3/4 份。选 D。

（易错点：① 有小数份说明配比可以按比例缩放，"最多份数"就是各原料上限的最小值；② 8.75 不能再四舍五入成 9 份——9 份需要 9 × 4/5 = 7.2 杯牛奶，超过 7 杯；③ 也可用倍数法：牛奶 7 杯是配方 4 杯的 1.75 倍，而 5 × 1.75 = 8.75，两条路结果一致。）

第 16 题｜数位之积为 24 的三位数（答案 D）

题目：有多少个三位正整数，其各位数字之积等于 24？选项：12、15、18、21、24。

解析：把 24 拆成三个 1–9 的数字之积（顺序不同算不同数）。可能的无序三元组只有四类：

(1, 3, 8)、(1, 4, 6)、(2, 2, 6)、(2, 3, 4)。（1 × 1 × 24 不行，24 不是数字；1 × 2 × 12 也不行。）

排列数：三数互不相同的有 6 种，三元组 (2, 2, 6) 因有两个 2 只有 3 种。合计 6 + 6 + 3 + 6 = 21。选 D。

（易错点：① 含重复数字的 (2, 2, 6) 排列数是 3 而不是 6；② 别漏掉 (1, 4, 6)（1 × 4 × 6 = 24）这类"带 1"的三元组；③ 24 的分解要按"三个因数都 ≤ 9"筛一遍，不要凭感觉列举。）

第 17 题｜平方数与立方数（答案 B）

题目：x、y 是使 360x 为完全平方数、360y 为完全立方数的最小正整数，求 x + y。选项：80、85、115、165、610。

解析：先分解 360 = 2³ × 3² × 5。

要让 360x 是完全平方数，各质因数指数都必须是偶数：2 的指数 3 差 1 → 补 2¹；3 的指数 2 已偶数；5 的指数 1 差 1 → 补 5¹。故 x = 2 × 5 = 10。

要让 360y 是完全立方数，各指数都必须是 3 的倍数：2³ 已满足；3² 差 1 → 补 3¹；5¹ 差 2 → 补 5²。故 y = 3 × 25 = 75。

x + y = 10 + 75 = 85。选 B。

（易错点：① 立方要求指数是 3 的倍数，5 的指数 1 要补到 3，即乘 5² = 25，只乘 5 会得 y = 15；② 验证 360 × 10 = 3600 = 60² ✓，360 × 75 = 27000 = 30³ ✓；③ 求的是"最小"正整数，所以每项只补到最近的偶数/三次倍，不要多乘。）

第 18 题｜15×15 地板需要多少块白瓷砖（答案 C）

题目：图中 7 英尺 × 7 英尺地板由 1 平方英尺的黑、白瓷砖铺成，四个角都是白瓷砖。观察图样：白瓷砖只出现在"奇数行与奇数列的交叉位置"，其余全为黑瓷砖（即第 2、4、6 行整行是黑的，奇数行中第 2、4、6 列也是黑的）。若改成 15 英尺 × 15 英尺的地板，按同样方式铺，需要多少块白瓷砖？选项：49、57、64、96、126。

解析：按图样，白瓷砖位于第 1、3、5、… 行与第 1、3、5、… 列的交叉格。

7 × 7 时奇数行有 4 行、奇数列有 4 列，白砖 4 × 4 = 16 块（与图相符）。

15 × 15 时奇数行有 (15 + 1) ÷ 2 = 8 行，奇数列 8 列，白砖 8 × 8 = 64 块。选 C。

（易错点：① 这不是普通棋盘格——普通黑白相间时 15×15 应有 113 块白砖，选项里没有，说明必须按图样的"隔行隔列"规律数；② 151 是奇数，白砖恰好占 (n+1)/2 的平方；③ 若误按黑色计数会得 225 − 64 = 161，也不在选项内，可作自查。）

第 19 题｜x 的三个可能值之和（答案 D）

题目：等腰三角形中有两个角分别为 70° 和 x°，求 x 的三个可能值之和。选项：95、125、140、165、180。

解析：按 70° 在等腰三角形中的"身份"分三种情况：

（1）70° 是顶角：两个底角相等，x = (180 − 70) ÷ 2 = 55。（2）70° 是一个底角：另一个底角也是 70°，顶角 x = 180 − 140 = 40。（3）x 也是 70°：即两个 70° 角（无论看作两底角还是"底角 + 顶角"的另一种标法都归入同一种形状，但作为 x 的取值只需记一次）。

三个可能值 55、40、70，和 = 165。选 D。

（易错点：① 漏掉"x = 70"这一情形是本题最大陷阱（只想到 55 与 40 会得 95，正好是选项 A）；② 还有一种看似的情形是"70° 为顶角、x 为底角"，那与情形（1）是同一个形状，不能重复计入；③ 每种情形都要检验内角和为 180°。）

第 20 题｜点阵中不全等的三角形个数（答案 D）

题目：8 个点排成 4 列 2 行的点阵（相邻点横向、纵向间距相等）。以其中 3 个点为顶点，可以组成多少个不全等的三角形？选项：5、6、7、8、9。

解析：先数全部三点组合：C(8,3) = 56。同一行取 3 点会退化成线段，每行 C(4,3) = 4 种，两行共 8 种，故真正的三角形有 56 − 8 = 48 个。

三角形全等只看三条边长。以格距为 1，把 48 个三角形的三边平方按从小到大排成三元组，去重后恰好 8 类：(1, 1, 2)、(1, 2, 5)、(1, 4, 5)、(1, 5, 10)、(1, 9, 10)、(2, 2, 4)、(2, 4, 10)、(2, 5, 9)。

所以不全等的三角形共 8 个。选 D。

（易错点：① "不全等"是按边长分类，位置和朝向不同不算新三角形；② 三点共线的不算三角形，两行各有 4 种共线情形被排除；③ 边长平方用整数最方便（1, 4, 5, 9, 10 … 分别对应 1、2、√5、3、√10），避免开方产生误差。）

第 21 题｜A 与 B 的比值（答案 D）

题目：Andy 与 Bethany 有一张 40 行 75 列的数表。Andy 把每行相加，这 40 个和的平均值为 A；Bethany 把每列相加，这 75 个和的平均值为 B。求 A/B。选项：64/225、8/15、1、15/8、225/64。

解析：设全表所有数之和为 S。40 个行和加起来正好是 S，所以 40A = S，即 A = S/40；同理 75 个列和加起来也是 S，所以 75B = S，即 B = S/75。

A/B = (S/40) ÷ (S/75) = 75/40 = 15/8。选 D。

（易错点：① 两个平均值都是"总和除以个数"，个数分别是 40 与 75，所以 A 一定比 B 大（分母小）——选项 8/15 与 64/225 都是把比值写反或平方错的陷阱；② 结果与 S 无关，这是本题的巧妙之处；③ 别把 40 × 75 = 3000 混进公式（它只影响单格平均，不影响比值）。）

第 22 题｜不含数字 1 的整数有多少个（答案 D）

题目：1 到 1000 之间有多少个整数不含有数字 1？选项：512、648、720、728、800。

解析：先把 1 到 999 都看成三位数（允许前导 0，如 7 记作 007）。每一位都不能是 1，各有 9 种选择（0、2、3、…、9），共 9³ = 729 个。

其中 000 表示的不是 1 到 999 中的数，要扣掉 1 个，得 728。再看 1000：它含数字 1，不计入。

所以共有 728 个。选 D。

（易错点：① 1000 含 1，必须排除；② 用"允许前导 0 的三位串"来数最省事，但要去掉 000；③ 别按"1–9、10–99、100–999"分段数，容易漏掉含 1 的两位数；④ 校验：含 1 的数共 1000 − 728 = 272 个，用容斥 1000 − 9³ 差不多是 271，差 1 正是 1000 这个数。）

第 23 题｜班上有多少学生（答案 B）

题目：老师给每个男孩的糖数等于男孩人数，给每个女孩的糖数等于女孩人数。她带了 400 颗，发完剩 6 颗。班上男孩比女孩多 2 人。班上有多少学生？选项：26、28、30、32、34。

解析：设女孩 g 人、男孩 g + 2 人。发出的糖 = 男孩人数² + 女孩人数² = (g + 2)² + g² = 400 − 6 = 394。

展开：2g² + 4g + 4 = 394 → g² + 2g − 195 = 0 → (g + 15)(g − 13) = 0 → g = 13。

于是女孩 13 人、男孩 15 人，全班 13 + 15 = 28 人。选 B。

（易错点：① 用 400 而不是 394 会解出非整数，说明"剩 6 颗"必须扣；② 也可以直接试平方数：15² + 13² = 225 + 169 = 394 ✓；③ 问的是"全班人数"，别只答 13 或 15。）

第 24 题｜竖式中的 D（答案 E）

题目：字母 A、B、C、D 代表数字。已知两位数 AB 与 CA 满足 AB + CA = DA（结果仍是两位数），且 AB − CA = A（结果是一位数 A）。求 D。选项：5、6、7、8、9。

解析：写成算式：AB = 10A + B，CA = 10C + A。

由加法：10A + B + 10C + A = 10D + A，即 10A + B + 10C = 10D，故 B = 10(D − A − C)。由于 B 是个位数字，只能是 B = 0，且 D = A + C。

由减法：10A + B − (10C + A) = A，即 9A + B − 10C = A，得 8A + B = 10C。代入 B = 0 得 4A = 5C，故 A 是 5 的倍数、C 是 4 的倍数，唯一可行的数字解是 A = 5、C = 4。

于是 D = A + C = 9。选 E。

（验证：AB = 50，CA = 45。50 + 45 = 95 = DA ✓；50 − 45 = 5 = A ✓。易错点：① B = 0 是由"B 是 10 的倍数且为个位数字"逼出来的，是本题的钥匙；② 只用一个竖式无法定解，两个竖式必须联立；③ 4A = 5C 的正整数解只有 (5, 4)，(10, 8) 中 A 已不是数字。）

第 25 题｜四块粘合后的总表面积（答案 E）

题目：1 立方英尺的正方体用三个平行于顶面的切面切成四块：第一个切口距顶面 1/2 英尺，第二个切口比第一个低 1/3 英尺，第三个比第二个低 1/17 英尺。从上到下依次记为 A、B、C、D，再把四块首尾粘合成一个阶梯状立体。求这个立体的总表面积（平方英尺）。选项：6、7、419/51、158/17、11。

解析：先求各块厚度：A = 1/2，B = 1/3，C = 1/17，D = 1 − (1/2 + 1/3 + 1/17) = 1 − 91/102 = 11/102。

每块都是 1 × 1 × h 的长方体，表面积 = 2 × 1 + 4h。四块总和 = 4 × 2 + 4 × (1/2 + 1/3 + 1/17 + 11/102) = 8 + 4 × 1 = 12。

粘合时每一处接触会遮掉两个面。按阶梯方式相邻两块贴合的那片侧面，其面积 = 1 × （较薄者的厚度）：C 与 B 为 1/17，B 与 A 为 1/3，A 与 D 为 11/102。三处接触面积和 = 6/102 + 34/102 + 11/102 = 51/102 = 1/2。

总表面积 = 12 − 2 × 1/2 = 11。选 E。

（易错点：① 若把四块严丝合缝地叠成一个 1 × 1 × 1 的立方体，答案会是 6（选项 A），但题图是阶梯状错位粘合，接触面远小于 1 × 1；② 接触面积取"较薄一块的厚度"，因为厚的那块只在这一段高度上与它相接；③ D 的厚度是 11/102 ≈ 0.108，别误当成 1/17；三处之和恰为 1/2，是本题设计的巧妙之处。）

三、复盘建议

本卷图形题比例高、比例与数论并重，"读图 + 分类"是主线。建议按模型整理：

倒推与比例：第 1、2、6、8、14 题——从剩余量反推总量、比例同向放大、先算合计流量再换算单位、一增一减的面积必小于原值、等路程往返用调和平均；

图形与网格：第 3、4、7、9、18、20、25 题——折线定速度、最长条能否放下的存在性判断、以竖直边为底配水平高、每拼接一次少 2 条边、隔行隔列计数、按边长平方分类、粘合面积取较薄者厚度；

数论与整除：第 11、13、17、22、24 题——公因数确定单价、末位决定能否被 5 整除、质因数指数补到偶数或 3 的倍数、允许前导 0 的位值计数、竖式联立逼出 B = 0；

计数与概率：第 10、12、16、19、23 题——里层 (n−2)²、质数判定的陷阱是 9、含重复数字的排列要除以 2!、等腰三角形按"已知角是顶角还是底角"分类、平方和方程；

易混点清单：质数 9 误判、1/3 与 2/6 的约分、2²⁴ 类指数比较、852 之类的位数判断——都要在错题本上单列一行。