2006 年 AMC 8 真题

2006 AMC 8 真题答案与逐题解析

本解析对应 MAA《2006 AMC 8》（美国数学竞赛 8 级）中英双语真题卷。全卷 25 道单项选择题（选项 A–E），限时 40 分钟。下面先给出答案速查表，再逐题给出中文详细解析。全部答案与卷末答案表逐题核对一致；其中转盘、中点正方形、T 字形、点图、三人转盘、正方体黑白角块、等腰三角形与卡片题（第 4、5、6、10、17、18、19、25 题）另经图形描述化、面积守恒与整除检验独立复核。

图形题说明：本卷有 8 道题依赖图形（第 4、5、6、10、17、18、19、25 题）。原 PDF 的转盘、T 字形与点图无法从文字层提取，解析中已把图形信息改写成可直接推算的数据（如"转盘 P 为 1、2、3 三扇，Q 为 2、4、6、8 四扇，R 为 1、3、5、7、9、11 六扇"、"卡片正面为 44、59、38"），不看原图也能复核。

一、答案速查表

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9
答案	D	C	A	B	D	C	B	E	C

题号	10	11	12	13	14	15	16	17	18
答案	A	C	D	D	B	C	E	B	D

题号	19	20	21	22	23	24	25
答案	D	C	A	D	A	A	B

二、逐题解析

以下按题号顺序给出 25 题的中文解析。每题先复述题干的关键数据与选项，再给完整推理，最后附易错点或更快的替代解法。标注“（答案 X）”的括号内即为该题正确选项。

第 1 题｜三件商品的总价（答案 D）

题目：Mindy 买了三样东西，价格分别为 1.98、5.04、9.89 美元。总价最接近多少美元？选项：10、15、16、17、18。

解析：1.98 + 5.04 = 7.02；7.02 + 9.89 = 16.91 美元。

四舍五入到整数美元为 17。选 D。

（易错点：① 16.91 的整数部分是 16，但"最接近"要按小数部分 .91 进位；② 也可估算 2 + 5 + 10 = 17，再减去多算的 0.02 + 0.11 = 0.09；③ 选项 C 的 16 就是漏了进位。）

第 2 题｜Billy 的 AMC 8 得分（答案 C）

题目：Billy 答对 13 题、答错 7 题、最后 5 题未作答。他的得分是多少？选项：1、6、13、19、26。

解析：AMC 8 的计分规则是每题答对得 1 分，答错或未答得 0 分（不扣分）。

得分 = 13 × 1 = 13 分。选 C。

（易错点：① 答错不扣分，不要用 13 − 7 = 6（选项 B 的陷阱）；② 未答的 5 题同样不计分；③ 25 题满分，13 分即正确率 52%。）

第 3 题｜每圈时间减少了多少（答案 A）

题目：Elisa 最初 25 分钟游 10 圈，现在 24 分钟游 12 圈。她每圈的时间减少了多少分钟？选项：1/2、3/4、1、2、3。

解析：原来每圈 25 ÷ 10 = 2.5 分钟；现在每圈 24 ÷ 12 = 2 分钟。

减少了 2.5 − 2 = 0.5 分钟（即 1/2 分钟）。选 A。

（易错点：① 题目问"每圈"，不能直接用 25 − 24 = 1（选项 C）；② 两个阶段圈数不同，必须先各算单圈时间再相减；③ 0.5 分钟 = 30 秒，换算成秒更直观。）

第 4 题｜两次转动后指针指向（答案 B）

题目：转盘最初指向西。先顺时针转 2 又 1/4 圈，再逆时针转 3 又 3/4 圈。最后指向哪个方向？选项：北、东、南、西、西北。

解析：净转动 = 2.25 圈（顺） − 3.75 圈（顺）= −1.5 圈，即相当于逆时针 1.5 圈。

整圈不影响方向，1.5 圈等价于半圈。从西逆时针（西 → 南 → 东 → 北）转半圈到达 东。选 B。

（易错点：① 先把两个转动化到同一方向再相减，别把 2.25 与 3.75 相加；② "逆时针"从西出发是朝南，半圈后到东；③ 若只取小数部分 0.25 与 0.75 会算错，整圈数在相减时也要参与。）

第 5 题｜小正方形的面积（答案 D）

题目：A、B、C、D 是大正方形各边的中点，依次相连得到小正方形。大正方形面积 60，小正方形面积是多少？选项：15、20、24、30、40。

解析：大正方形被四个角上的直角三角形和中间的小正方形分成五块。四个角上的三角形全等，每个的两条直角边都是半边长。

设大正方形面积 60，边长 s（s² = 60），则每个角三角形的面积 = 1/2 × (s/2) × (s/2) = s²/8 = 7.5。四块共 30。

小正方形面积 = 60 − 30 = 30。选 D。

（也可直接用"中点四边形面积是原正方形的一半"这一结论。易错点：① 小正方形的边不是 s/2，而是 s/√2 ≈ 0.707s；② 选项 A 的 15 是"每个三角形×2"的误算；③ 结论与 s 无关，任何正方形都成立。）

第 6 题｜T 字形的周长（答案 C）

题目：两个 2 × 4 英寸的矩形相邻摆放成 T 字形（上面的横条 4 宽 2 高，下面的竖条 2 宽 4 高接在中间）。周长是多少英寸？选项：12、16、20、22、24。

解析：两个矩形各自的周长都是 2(2 + 4) = 12，合计 24。拼合时两者沿一条长 2 英寸的边贴合，这条边在两个周长中各被算了一次，共要减去 2 × 2 = 4。

周长 = 24 − 4 = 20 英寸。选 C。

（也可逐段相加：上边 4 + 左右两侧各 2 = 4 + 横条下沿露出的 1 + 1 = 2 + 竖条左右各 4 = 8 + 下边 2，共 4+4+2+8+2 = 20 ✓。易错点：① 贴合处要减 2 倍而不是 1 倍；② 别把"面积"与"周长"混算（总面积 16）。）

第 7 题｜三个圆按半径排序（答案 B）

题目：圆 X 半径 π；圆 Y 周长 8π；圆 Z 面积 9π。按半径从小到大排列。选项：X Y Z、Z X Y、Y X Z、Z Y X、X Z Y。

解析：X：r = π ≈ 3.14。Y：2πr = 8π → r = 4。Z：πr² = 9π → r = 3。

从小到大：Z（3）＜ X（3.14）＜ Y（4），即 Z、X、Y。选 B。

（易错点：① X 的半径就是 π，不要再乘 2；② Y 给的是周长，要用 r = C/(2π)；③ Z 给的是面积，r = √9 = 3，不是 9；④ π ≈ 3.14 与 3 很接近，必须精确比较。）

第 8 题｜男性听众的百分比（答案 E）

题目：调查 200 人，其中女性 96 人、收听者共 136 人、不收听者共 64 人，女性中收听者 58 人。被调查的男性中收听者占比多少？选项：39、48、52、55、75。

解析：先补全表格：男性总人数 = 200 − 96 = 104；男性中不收听 = 64 − (96 − 58) = 64 − 38 = 26；男性中收听 = 104 − 26 = 78（也可用 136 − 58 = 78）。

占比 = 78 ÷ 104 = 75%。选 E。

（易错点：① 分母是男性总数 104，不是全体 200（用 200 会得 39%，正好是选项 A）；② 表格要按"行和、列和、总和"三方交叉核对：78 + 26 = 104，58 + 78 = 136，38 + 26 = 64，全部自洽；③ 78/104 约分 = 3/4。）

第 9 题｜连乘的结果（答案 C）

题目：求 3/2 × 4/3 × 5/4 × … × 2006/2005。选项：1、1002、1003、2005、2006。

解析：这是"裂项相消"（望远镜乘积）：每个分数的分子与下一个分数的分母相同，逐项约掉。

剩下第一个分数的分母 2 与最后一个分数的分子 2006，结果 = 2006/2 = 1003。选 C。

（易错点：① 不要真去乘，一定要约分；② 剩下的是"首分母 × 末分子"，别写成 2005/2；③ 项数是 2006 − 3 + 1 = 2004 项，可用小例子 (3/2)(4/3) = 4/2 = 2 验证规律。）

第 10 题｜面积 12 的宽长点图（答案 A）

题目：把所有满足 w·l = 12 的正整数对 (w, l) 画在坐标平面上（w 为横轴宽，l 为纵轴长）。图应是什么样？选项 (A)—(E) 分别为：下降且右下端远端有一点；上升；下降成一直线；水平；竖直。

解析：12 的因数对为 (1,12)、(2,6)、(3,4)、(4,3)、(6,2)、(12,1)，共 6 个点。

w 增大时 l 减小，所以点列向右下倾斜；且因为 w 只能取 1、2、3、4、6、12，点并不等距——前几个密集，最后一个 12 远在右侧且 l = 1 很低。

只有图 (A) 呈现出"右下方且末端有一个远点"的形状。选 A。

（易错点：① 只有 6 个离散点，不是整条曲线；② 双曲线 l = 12/w 上的整点有限，因为因数只有 6 对；③ 别选"下降的直线"——反比例关系不是直线。）

第 11 题｜数字和为完全平方数的两位数（答案 C）

题目：有多少个两位数的各位数字之和是完全平方数？选项：13、16、17、18、19。

解析：两位数数字和的范围是 1 到 18，其中的完全平方数为 1、4、9、16。

和为 1：10（1 个）；和为 4：13、22、31、40（4 个）；和为 9：18、27、36、45、54、63、72、81、90（9 个）；和为 16：79、88、97（3 个）。

合计 1 + 4 + 9 + 3 = 17。选 C。

（易错点：① 最容易漏掉"和为 1"的 10——1 也是完全平方数（1 = 1²）；② 和为 16 时只有 79、88、97 三个，别把 69（和为 15）算进去；③ 和为 9 的一列共 9 个，可用"首位 1—9 各对应唯一末位"来数。）

第 12 题｜合并成 60 题后的总正确率（答案 D）

题目：Antonette 在 10 题测验得 70%、20 题得 80%、30 题得 90%。三场合并为 60 题后总正确率最接近哪个百分比？选项：40、77、80、83、87。

解析：分别折成题数：10 × 70% = 7 题；20 × 80% = 16 题；30 × 90% = 27 题。

总正确 = 7 + 16 + 27 = 50 题，正确率 = 50/60 ≈ 83.3%，最接近 83%。选 D。

（易错点：① 三个百分比不能直接平均（得 80%，正是选项 C 的陷阱）——三场题量不同，必须加权；② 权重是题数；③ 50/60 = 5/6 ≈ 83.33%，与 83 最接近。）

第 13 题｜两人何时相遇（答案 D）

题目：两地相距 62 英里。Cassie 8:30 从 Escanaba 出发，速度 12 英里/小时；Brian 9:00 从 Marquette 出发，速度 16 英里/小时。两人何时相遇？选项：10:00、10:15、10:30、11:00、11:30。

解析：到 9:00 时 Cassie 已骑 0.5 × 12 = 6 英里，两人相距 62 − 6 = 56 英里。

相向而行，接近速度 = 12 + 16 = 28 英里/小时，所需时间 = 56 ÷ 28 = 2 小时。

9:00 再过 2 小时 = 11:00 相遇。选 D。

（易错点：① 两人不是同时出发，必须先把"错开的那 30 分钟"折成 Cassie 已走的路程；② 相遇用速度之和，不是之差；③ 验算：Cassie 共骑 2.5 小时 × 12 = 30 英里，Brian 骑 2 × 16 = 32 英里，30 + 32 = 62 ✓。）

第 14 题｜Bob 多读多少秒（答案 B）

题目：小说 760 页。Alice 每页 20 秒，Bob 每页 45 秒，Chandra 每页 30 秒。若 Bob 与 Chandra 都读完整本书，Bob 比 Chandra 多花多少秒？选项：7,600、11,400、12,500、15,200、22,800。

解析：Bob：760 × 45 = 34,200 秒；Chandra：760 × 30 = 22,800 秒。

差 = 34,200 − 22,800 = 11,400 秒。选 B。

（也可先求每页差 45 − 30 = 15 秒，再乘 760 得 11,400 ✓。易错点：① 选项 E 的 22,800 是 Chandra 的总时间，别答错对象；② 别把 760 × 15 算成 10,000 之类；③ 11,400 秒 = 3 小时 10 分，量级可作合理性检验。）

第 15 题｜团队阅读 Chandra 读到第几页（答案 C）

题目：Chandra 从第 1 页读到第 p 页，Bob 从第 p+1 页读到第 760 页，两人用时相同。求 p。选项：425、444、456、484、506。

解析：Chandra 读 p 页，用时 30p 秒；Bob 读 760 − p 页，用时 45(760 − p) 秒。

令两者相等：30p = 45(760 − p) → 30p = 34,200 − 45p → 75p = 34,200 → p = 456。选 C。

（验算：456 × 30 = 13,680 秒；304 × 45 = 13,680 秒 ✓。易错点：① Bob 的页数是 760 − p，不是 760 − p + 1；② 30p = 45(760−p) 展开时别把 45 × 760 算错：45 × 760 = 34,200；③ 读得慢的人读的页数应更少：Bob 454... 实际 Bob 读 304 页 ＜ Chandra 456 页 ✓ 合理。）

第 16 题｜三人平分时各读多少秒（答案 E）

题目：Alice、Bob、Chandra 三人把书分成三段，每人读的时间相同。每人要读多少秒？选项：6400、6600、6800、7000、7200。

解析：设每人读 t 秒，则 Alice 读 t/20 页、Bob 读 t/45 页、Chandra 读 t/30 页，合计 760 页。

t(1/20 + 1/45 + 1/30) = 760。通分（公分母 180）：1/20 = 9/180，1/45 = 4/180，1/30 = 6/180，和为 19/180。

于是 t × 19/180 = 760 → t = 760 × 180 ÷ 19 = 7200 秒。选 E。

（验算：7200/20 = 360 页、7200/45 = 160 页、7200/30 = 240 页，360 + 160 + 240 = 760 ✓。易错点：① 三人速度不同，页数并非三等分；② 通分时 1/45 = 4/180 别写成 5/180；③ 760 × 180/19 = 7200 恰好整除，说明设计合理。）

第 17 题｜三转盘之和为奇数的概率（答案 B）

题目：转盘 P 三等分为 1、2、3；转盘 Q 四等分为 2、4、6、8；转盘 R 六等分为 1、3、5、7、9、11。各转一次，三数之和为奇数的概率是多少？选项：1/4、1/3、1/2、2/3、3/4。

解析：奇偶性只看"奇数出现的个数"：三个数中奇数个数为奇数（1 个或 3 个）时，和为奇数。

Q 上的 2、4、6、8 全是偶数，对奇偶性没有贡献；R 上的 1、3、5、7、9、11 全是奇数，必为奇数。于是和 = (P 的奇偶) + 偶数 + 奇数，与 P 的奇偶相反。

P 中偶数只有 2，概率 1/3。故和是奇数的概率为 1/3。选 B。

（易错点：① 不要逐一枚举 3 × 4 × 6 = 72 种情况，抓住奇偶性一步到位；② Q 全偶、R 全奇是关键观察；③ 结论是"和与 P 奇偶相反"，所以概率等于 P 取偶数的概率 1/3。）

第 18 题｜白色表面积占多少（答案 D）

题目：边长 3 英寸的正方体由 27 个单位正方体组成，其中 8 个黑色放在 8 个角上，其余 19 个白色。大正方体表面中白色占几分之几？选项：1/9、1/4、4/9、5/9、19/27。

解析：大正方体表面积 = 6 × 3 × 3 = 54 平方英寸。

每个角上的小正方体在大正方体表面露出 3 个单位面，8 个角共 8 × 3 = 24 平方英寸是黑色。

白色面积 = 54 − 24 = 30，占比 = 30/54 = 5/9。选 D。

（易错点：① 角块露出的是 3 个面而不是 1 个；② 不能用"白块个数比"19/27 —— 面数比与块数比不同；③ 5/9 ≈ 0.556，也可用"每个面 9 格中有 4 个角格是黑、5 个是白"直接得 5/9 ✓。）

第 19 题｜BD 的长度（答案 D）

题目：△ABC 中 AB = BC；D 同时是 BC 与 AE 的中点；CE = 11。若 △ABD ≌ △ECD，求 BD。选项：4、4.5、5、5.5、6。

解析：D 是 BC 的中点又是 AE 的中点，即四边形 ABCE 的两条对角线互相平分，所以 ABCE 是平行四边形。

平行四边形对边相等：AB = CE = 11。又题设 AB = BC，故 BC = 11。

于是 BD = BC ÷ 2 = 11 ÷ 2 = 5.5。选 D。

（也可直接用全等：△ABD ≌ △ECD 给出 AB = EC = 11，再由 AB = BC 得 BC = 11。易错点：① "对角线互相平分"是平行四边形的判定，别漏这一步；② BD 是 BC 的一半，不是 AB 的一半；③ 全等条件与平行四边形结论是两条互证的路径，用哪条都行。）

第 20 题｜Monica 赢了几场（答案 C）

题目：6 名单打选手，每两人赛一场、无平局。Helen 胜 4 场、Ines 胜 3 场、Janet 胜 2 场、Kendra 胜 2 场、Lara 胜 2 场。Monica 胜几场？选项：0、1、2、3、4。

解析：6 人两两比赛，总场数 = C(6,2) = 15 场；无平局，所以总胜场也是 15。

已知五人的胜场合计 4 + 3 + 2 + 2 + 2 = 13，故 Monica 胜 15 − 13 = 2 场。选 C。

（易错点：① 总胜场 = 总场数，这是"无平局"才有的性质；② 场数是 15 不是 30（不能把每场比赛算成两次胜利）；③ 结果 2 场与 Janet、Kendra、Lara 相同，是合理的。）

第 21 题｜水位上升多少厘米（答案 A）

题目：鱼缸底 100 cm × 40 cm，高 50 cm，水深 37 cm。放入体积 1000 cm³ 的石头并完全浸没，水位上升多少厘米？选项：0.25、0.5、1、1.25、2.5。

解析：石头排开的水体积等于石头体积 1000 cm³。底面积 = 100 × 40 = 4000 cm²。

水位上升 = 1000 ÷ 4000 = 0.25 厘米。选 A。

（易错点：① 与鱼缸高度 50、原水深 37 无关，只要水没溢出；② 上升量 = 体积 ÷ 底面积，不是 ÷ 侧面积；③ 检验是否溢出：37 + 0.25 ＜ 50 ✓。）

第 22 题｜顶层数的最大与最小之差（答案 D）

题目：把 3 个不同的 1 位正整数放入底层三个格，相邻两格相加填入上方，再相加得顶层数。顶层数的最大值与最小值之差是多少？选项：16、24、25、26、35。

解析：设底层三数为 a、b、c（b 在中间），则第二层为 a + b 与 b + c，顶层 = (a + b) + (b + c) = a + 2b + c。

最大值：让 b 取最大的 9，a、c 取 8 与 7 → 7 + 18 + 8 = 33。最小值：让 b 取最小的 1，a、c 取 2 与 3 → 3 + 2 + 2 = 7。

差 = 33 − 7 = 26。选 D。

（易错点：① 中间的数被加了两次，是最关键的结构；② 三个数必须互不相同，所以 b = 9 时 a、c 最大只能取 7、8；③ 最小值时 b = 1、a 与 c 取 2、3，不能取 0（0 不是正整数）。）

第 23 题｜分给 7 人剩几枚（答案 A）

题目：金币分给 6 人剩 4 枚，分给 5 人剩 3 枚。若金币数是满足条件的最小值，分给 7 人剩多少枚？选项：0、1、2、3、5。

解析：N ≡ 4（mod 6），N ≡ 3（mod 5）。由第一个条件枚举：4、10、16、22、28…，逐一检验模 5 的余数：4→4、10→0、16→1、22→2、28→3 ✓。

所以最小 N = 28。28 ÷ 7 = 4 余 0。选 A。

（也可用中国剩余定理：加 2 后同时被 6 和 5 整除，即 N + 2 是 30 的倍数，取最小 N = 28。易错点：① 别停在第一个满足"余 4"的数；② 28 mod 7 = 0，不要误答"没有余数所以不合题意"；③ 检验 28 = 6×4 + 4 ✓、28 = 5×5 + 3 ✓。）

第 24 题｜竖式乘法中的 A + B（答案 A）

题目：竖式中 ABA × CD = CDCD，A、B、C、D 是互不相同的数字。求 A + B。选项：1、2、3、4、9。

解析：注意 CDCD = 101 × (10C + D) = 101 × CD。

于是 ABA × CD = 101 × CD，两边约去 CD（CD 是两位数，不为 0）得 ABA = 101。

所以 A = 1、B = 0，A + B = 1。选 A。

（验证：任取 CD = 23，101 × 23 = 2323，形式正是 CDCD ✓；取 A = 1、B = 0、C = 2、D = 3 时四个数字互不相同，符合条件。易错点：① 关键恒等式 CDCD = 101 × CD 是本题的核心；② B 可以是 0（"不同数字"不排除 0）；③ 别去试凑 ABA 的其他值，101 是唯一解。）

第 25 题｜隐藏质数的平均值（答案 B）

题目：3 张卡片两面各写一个数，共 6 个互不相同的数。桌上可见的三面依次为 44、59、38，每张卡片两面之和都相等，隐藏的三个数都是质数。这三个质数的平均值是多少？选项：13、14、15、16、17。

解析：设公共和为 S，则隐藏数分别为 S − 44、S − 59、S − 38，平均值 = (3S − 141)/3 = S − 47。

逐一试 S：S = 60 时隐藏数为 16、1、22（非质数）；S = 61 时得 17、2、23 —— 全为质数 ✓；S = 62 时得 18、3、24（18 非质数）；S = 63 时得 19、4、25；S = 64 时得 20、5、26。

故 S = 61，隐藏质数为 17、2、23，平均值 = (17 + 2 + 23)/3 = 42/3 = 14。选 B。

（易错点：① 隐藏数必须都是质数，S = 61 是唯一使三者同时为质数的取值；② S − 59 = 2 是唯一偶质数，说明"2 也算质数"；③ 平均值也可以直接用 S − 47 = 14 得到。）

三、复盘建议

本卷以"单位换算、加权平均、图形计数"为主，计算不难但陷阱集中。建议按模型整理：

加权与平均：第 3、8、12、14、16、20 题——每圈时间要先归一、占比的分母是"被调查的男性"、百分比不能直接平均、每页时间差乘页数、三速度不同时页数不能三等分、无平局时总胜场 = 总场数；

几何与图形：第 5、6、18、19、21 题——中点四边形面积是原正方形一半、拼合周长减去 2 倍贴合边、角块露出 3 个面、对角线互相平分得平行四边形、上升量 = 体积 ÷ 底面积；

数论与整除：第 11、23、24 题——完全平方数含 1、加 2 后成为 30 的倍数、CDCD = 101 × CD；

计数与概率：第 4、7、9、10、17、22、25 题——转向先化同向再相减、半径/周长/面积三种给法的换算、望远镜乘积只留首分母与末分子、反比例只有有限个整点、用奇偶性代替枚举、中间数被加两次、隐藏数由公共和反推；

易混清单：答错不扣分、上升量别用侧面积、11/20 的通分、6 人与 15 场的对应——逐条记入错题本。