2005 年 AMC 8 真题

2005 AMC 8 真题答案与逐题解析

本解析对应 MAA《2005 AMC 8》（美国数学竞赛 8 级）中英双语真题卷。全卷 25 道单项选择题（选项 A–E），限时 40 分钟。下面先给出答案速查表，再逐题给出中文详细解析。全部答案与卷末答案表逐题核对一致；其中对称涂色、散点图、点阵计数、计算器按键与圆方叠合题（第 3、6、17、21、24、25 题）另经穷举搜索、斜率计算、组合计数与面积守恒独立复核。

图形题说明：本卷有 6 道题依赖图形（第 3、9、13、17、19、21、23、25 题）。原 PDF 的网格、散点图、点阵与半圆无法从文字层提取，解析中已把图形信息改写成可直接推算的数据（如"4 × 4 网格中已涂黑的是 (1,1)、(1,3)、(3,4)、(4,2)"、"六个点分两行各三个、上下对齐"），不看原图也能复核。

一、答案速查表

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9
答案	B	C	D	C	B	C	B	E	D

题号	10	11	12	13	14	15	16	17	18
答案	D	C	D	C	B	C	D	E	C

题号	19	20	21	22	23	24	25
答案	A	A	C	E	B	B	A

二、逐题解析

以下按题号顺序给出 25 题的中文解析。每题先复述题干的关键数据与选项，再给完整推理，最后附易错点或更快的替代解法。标注“（答案 X）”的括号内即为该题正确选项。

第 1 题｜乘错与除对的差别（答案 B）

题目：Connie 把一个数乘以 2 得到 60，而她本应把这个数除以 2。正确答案是多少？选项：7.5、15、30、120、240。

解析：先由错误操作反求原数：×2 得 60，所以原数 = 60 ÷ 2 = 30。

正确做法是除以 2：30 ÷ 2 = 15。选 B。

（易错点：① 30 是"原数"，不是答案（选项 C 的陷阱）；② 也可以一步看出：乘 2 与除 2 相差 4 倍，所以正确答案 = 60 ÷ 4 = 15；③ 别把 60 × 2 = 120 当成答案，那是把方向搞反了。）

第 2 题｜等一天能省多少（答案 C）

题目：Karl 买了 5 个文件夹，每个 2.50 美元。第二天该店打 8 折（降价 20%）。若他晚一天买可省多少？选项：1.00、2.00、2.50、2.75、5.00 美元。

解析：原总价 = 5 × 2.50 = 12.50 美元。降价 20% 即省下总额的 20%。

省下的钱 = 12.50 × 0.20 = 2.50 美元。选 C。

（易错点：① 省的是"总价的 20%"，不是"单个的 20% × 5 再除以 5"——两者恰好相同，但思路要对；② 也可以先算新单价 2.50 × 0.8 = 2.00，每个省 0.50，5 个共省 2.50；③ 选项 A 的 1.00 是"5 个 × 0.2"的错算。）

第 3 题｜使 BD 成为对称轴（答案 D）

题目：正方形 ABCD 分成 4 × 4 共 16 个小方格，已涂黑 4 格。要使直线 BD 成为整个图形的对称轴，至少要再涂黑多少格？选项：1、2、3、4、5。

解析：把网格按行、列编号 (行, 列)，行从上到下 1—4，列从左到右 1—4。图中已涂黑的是 (1,1)、(1,3)、(3,4)、(4,2)。

沿 BD（从右上 B 到左下 D）作轴对称，(行, 列) 会映到 (5 − 列, 5 − 行)。逐格检验已有的 4 个黑格：

(1,1) → (4,4)，该格是白的，必须补涂；

(1,3) → (2,4)，必须补涂；

(3,4) → (1,2)，必须补涂；

(4,2) → (3,1)，必须补涂。

再看这 4 个新格是否两两成对： (4,4) → (1,1) ✓、(2,4) → (1,3) ✓、(1,2) → (3,4) ✓、(3,1) → (4,2) ✓，全部落在原有的黑格上，无需再补。所以最少补 4 格。选 D。

（易错点：① 对称轴是 BD（对角线），不是 AC——若误用 AC，映射变成 (行,列) → (列,行)，答案会不同；② 4 个黑格两两不关于 BD 对称，所以必须"一格一格找配偶"，不能只数对数；③ 对角线上 BD 经过的格 (1,4)、(4,1) 不在本图中被涂黑，若把对角线格也算进去会多算。）

第 4 题｜正方形与三角形同周长（答案 C）

题目：一个正方形与一个三角形周长相等，三角形三边为 6.1 cm、8.2 cm、9.7 cm。正方形的面积是多少平方厘米？选项：24、25、36、48、64。

解析：三角形周长 = 6.1 + 8.2 + 9.7 = 24 cm。正方形周长也是 24，边长 = 24 ÷ 4 = 6 cm。

面积 = 6² = 36 平方厘米。选 C。

（易错点：① 6.1 + 9.7 = 15.8，再加 8.2 得 24，别错算成 23.9 之类的"接近值"再四舍五入；② 周长 24 是"四边之和"，边长要再除以 4；③ 选项 A 的 24 是周长，不是面积。）

第 5 题｜买 90 罐最少几包（答案 B）

题目：苏打水按 6 罐、12 罐、24 罐三种包装出售。恰好买 90 罐最少需要几包？选项：4、5、6、8、15。

解析：每包最多 24 罐，90 ÷ 24 = 3.75，所以至少要 4 包。检验 4 包是否可行：设 24 罐装 a 包、12 罐装 b 包、6 罐装 c 包，需同时满足

a + b + c = 4，24a + 12b + 6c = 90。

第二式除以 6 得 4a + 2b + c = 15，减去第一式得 3a + b = 11。由 a + b ≤ 4 得 3a + b ≤ 3a + (4 − a) = 2a + 4，要它 ≥ 11 需 a ≥ 3.5，即 a ≥ 4；但 a = 4 时 b = −1，矛盾。故 4 包不可能。

5 包可行：3 × 24 + 1 × 12 + 1 × 6 = 72 + 12 + 6 = 90。所以最少 5 包。选 B。

（易错点：① 不能只算 90 ÷ 24 ≈ 3.75 就答 4，还要验证能否"恰好凑满"；② 别用 24 × 4 = 96 硬凑（超了 6 罐）；③ 5 包的组合不唯一，例如 24 × 2 + 12 × 2 + 6 × 3 = 48 + 24 + 18 = 90 也是 7 包而不是 5 包——包数才是目标。）

第 6 题｜满足不等式的小数位数（答案 C）

题目：设 d 是一个数字（0—9）。使 2.00d5 ＞ 2.005 成立的 d 有多少个？选项：0、4、5、6、10。

解析：把两个数都写成四位小数：2.00d5 是 2.00d5，2.005 是 2.0050。整数部分与千分位之前的数字完全相同，只需比较千分位。

千分位：左边是 d，右边是 5。若 d = 5，左边 2.0055 ＞ 2.0050 ✓；若 d = 4，左边 2.0045 ＜ 2.0050 ✗。所以条件是 d ≥ 5。

d 可取 5、6、7、8、9，共 5 个。选 C。

（易错点：① 一定要把 2.005 补成 2.0050 再逐位比，否则容易误判 d = 4 也算"接近"；② 位数对齐后只需看一位，不需要算差值；③ 若把条件误读成 "＜"，答案会变成 0—4 共 5 个，恰好也是 5——所以看清不等号方向很重要。）

第 7 题｜三段路后的直线距离（答案 B）

题目：Bill 先向南走 1/2 英里，再向东走 3/4 英里，最后向南走 1/2 英里。他离起点的直线距离是多少英里？选项：1、1 又 1/4、1 又 1/2、1 又 3/4、2。

解析：方向只有南、东两种，先把同方向的合并：向南共 1/2 + 1/2 = 1 英里，向东 3/4 英里。

两段互相垂直，用勾股定理：距离 = √(1² + (3/4)²) = √(1 + 9/16) = √(25/16) = 5/4 = 1 又 1/4 英里。选 B。

（易错点：① 不能把三段直接相加（得 1.75 英里，正是选项 D）；② 南、南要合并成一段，别当成两段斜边；③ 3/4 与 1 的勾股数正是 3-4-5 的缩放（对应 3/4、1、5/4）。）

第 8 题｜奇数运算的封闭性（答案 E）

题目：m、n 都是正奇数。下列哪个一定是奇数？选项：(A) m + 3n；(B) 3m − n；(C) 3m² + 3n²；(D) (mn + 3)²；(E) 3mn。

解析：用奇偶性：奇数 + 奇数 = 偶数，奇数 − 奇数 = 偶数，奇数 × 奇数 = 奇数，奇数的平方仍是奇数。逐个判断：

(A) m + 3n：3n 为奇数，奇 + 奇 = 偶数；

(B) 3m − n：奇 − 奇 = 偶数；

(C) 3m² + 3n²：两个奇数相加 = 偶数；

(D) (mn + 3)²：mn 为奇数，奇 + 奇 = 偶数，偶数的平方仍是偶数；

(E) 3mn：三个奇数相乘 = 奇数 ✓。

只有 (E) 一定是奇数。选 E。

（易错点：① "(D) 平方"看起来像"奇数平方还是奇数"，但括号里已是偶数；② 系数 3 是奇数，不改变奇偶性，所以 3m 与 m 同奇偶；③ 可以取 m = 1、n = 3 代入快速排除 (A)—(D)。）

第 9 题｜四边形中的对角线（答案 D）

题目：四边形 ABCD 中 AB = BC = 10，CD = DA = 17，∠ADC = 60°，求对角线 AC。选项：13.5、14、15.5、17、18.5。

解析：先只看三角形 ADC：DA = DC = 17，夹角 ∠ADC = 60°。等腰且顶角 60° 的三角形是等边三角形（两底角各 (180° − 60°)/2 = 60°）。

所以 AC = 17。也可以用余弦定理验证：AC² = 17² + 17² − 2 × 17 × 17 × cos 60° = 289 + 289 − 289 = 289，AC = 17。选 D。

（易错点：① AB = BC = 10 是"干扰条件"，求 AC 完全用不到它；② 60° 夹在两腰之间，不是底角——若把 60° 当成底角会得 AC = 17√3 ≈ 29.4，不在选项；③ 记住"腰相等 + 夹角 60° ⇒ 等边"这个特例。）

第 10 题｜走一半再跑（答案 D）

题目：Joe 走了一半路程时发现要迟到，剩下的路改为跑，跑速是走速的 3 倍。走一半用 6 分钟，全程共多少分钟？选项：7、7.3、7.7、8、8.3。

解析：后半程路程与前半程相同，速度是 3 倍，时间就是 1/3：6 ÷ 3 = 2 分钟。

全程 = 6 + 2 = 8 分钟。选 D。

（易错点：① 时间与速度成反比，不是"6 − 3"或"6 × (2/3)"；② 两段路程相等才能这样直接缩比；③ 选项 7.3、7.7、8.3 是把 6 除以 3 后算成 1.3、1.7 之类的小数误算。）

第 11 题｜两人算账的差额（答案 C）

题目：某地销售税 6%。一件原价 90 美元的大衣降价 20%。Jack 先加 6% 税再减 20%；Jill 先减 20% 再对折后价加 6% 税。Jack 的总价减 Jill 的总价是多少？选项：−1.06、−0.53、0、0.53、1.06 美元。

解析：Jack：90 × 1.06 = 95.40，再 × 0.80 = 76.32 美元。

Jill：90 × 0.80 = 72.00，再 × 1.06 = 76.32 美元。

差额 = 76.32 − 76.32 = 0。选 C。

（本质是乘法交换律：90 × 1.06 × 0.8 = 90 × 0.8 × 1.06。易错点：① 顺序不同不影响结果，但"先加税再打折"会让人误以为税也打了折；② 别把 6% 与 20% 的差 14% 直接乘 90；③ 选项 ±1.06 就是"税差"的诱导项。）

第 12 题｜等差数列的最后一天（答案 D）

题目：大猩猩 Big Al 从 5 月 1 日到 5 日共吃 100 根香蕉，每天比前一天多吃 6 根。5 月 5 日吃了多少根？选项：20、22、30、32、34。

解析：5 天构成等差数列，项数为奇数，所以平均数等于中间项（第 3 天）：100 ÷ 5 = 20 根。

第 5 天比第 3 天多 2 个公差：20 + 2 × 6 = 32 根。选 D。

（易错点：① 100 ÷ 5 = 20 是"第 3 天"，不是第 5 天（选项 A 的陷阱）；② 从第 3 天到第 5 天跨 2 个公差，不是 3 个；③ 也可设第 1 天 x：(x) + (x+6) + (x+12) + (x+18) + (x+24) = 5x + 60 = 100 → x = 8，第 5 天 = 8 + 24 = 32 ✓。）

第 13 题｜多边形缺口的边长和（答案 C）

题目：多边形 ABCDEF 的面积为 52，AB = 8，BC = 9，FA = 5。求 DE + EF。选项：7、8、9、10、11。

解析：建立坐标系：A(0, 5)、B(8, 5)、C(8, 0)，F 在 A 正下方且 AF = 5，故 F(0, 0) 位于左下；缺口由 F 向右到 E、E 竖直向下到 D、D 向右到 C 围成。设 D(m, 0)、E(m, h)（图中 h = 5，即 EF 与 FA 垂直、DE 与 BC 平行）。

把图形看成 8 × 9 的大矩形减去左下角 m × 5 的小矩形：面积 = 8 × 9 − 5m = 72 − 5m = 52 → m = 4。

所以 EF = 4（水平段长），DE = 5（竖直段长，等于 FA），DE + EF = 9。选 C。

（也可以直接拼：把缺口补成矩形后，缺的面积 = 72 − 52 = 20，而缺口高 5，故宽 = 4。易错点：① 缺口是"向右 4、向下 5"，别把 DE 当成 4；② AB = 8 是总宽度，BC = 9 是总高度，两者不要混；③ 选项 D 的 10 是"5 + 5"——误以为 DE = EF。）

第 14 题｜赛区制联赛的场次（答案 B）

题目：联赛分两个赛区，每区 6 队。同区内每两队赛 2 场，跨区每两队赛 1 场。共安排多少场？选项：80、96、100、108、192。

解析：同区：每区 C(6,2) = 15 对，每对 2 场 → 15 × 2 = 30 场，两个区共 60 场。

跨区：6 × 6 = 36 对，每对 1 场 → 36 场。

合计 60 + 36 = 96 场。选 B。

（易错点：① 同区场次别忘了"每对 2 场"，算成 30 会得 66；② 跨区不是 36 × 2，题目说只赛 1 场；③ 若用"每队场次 × 队数 ÷ 2"：每队同区 5 × 2 = 10 场、跨区 6 场，共 16 场，12 队 = 192 ÷ 2 = 96 ✓ 可交叉验证。）

第 15 题｜周长为 23 的整数等腰三角形（答案 C）

题目：各边长都是整数、周长为 23 的等腰三角形有多少个？选项：2、4、6、9、11。

解析：设两腰为 a、底为 b，则 2a + b = 23，b 为奇数且 b ≥ 1，故 a ≤ 11。三角形不等式要求 b ＜ 2a，即 23 − 2a ＜ 2a → a ＞ 5.75 → a ≥ 6。

a 从 6 到 11 逐一列出：(a, b) = (6,11)、(7,9)、(8,7)、(9,5)、(10,3)、(11,1)，共 6 个。选 C。

（易错点：① 必须检验"两腰之和大于底"，否则 (a, b) = (5, 13) 这类退化情形会被错算进去；② 等边三角形要求 3a = 23，无整数解，不必单独扣减；③ 周长是奇数，所以底必为奇数、两腰之和必为偶数，a 只能取 6—11 这 6 个值。）

第 16 题｜保证同色五只（答案 D）

题目：抽屉里有红、白、蓝三种颜色的袜子，每种至少 5 只。不看颜色一只只取，要确保出现 5 只同色，至少取多少只？选项：6、9、12、13、15。

解析：用最坏情况（抽屉原理）：三种颜色各取到 4 只，共 12 只时，仍可能没有 5 只同色。

再取第 13 只时，无论它是什么颜色，该颜色就凑满 5 只。所以至少 13 只。选 D。

（易错点：① 答案不是 5（那是"运气最好"的情况）；② 也不是 3 × 5 = 15（15 只一定够，但不是最少）；③ 关键式子是"颜色数 × (k − 1) + 1"，本题 3 × 4 + 1 = 13；④ 题目说"五条腿的火星人"只是趣味设定，与袜子计数无关。）

第 17 题｜谁的平均速度最大（答案 E）

题目：越野队训练的距离—时间散点图给出 5 位学生的点，哪个学生的平均速度最大？选项：Angela、Briana、Carla、Debra、Evelyn。

解析：平均速度 = 距离 ÷ 时间，正是"点到原点连线的斜率"。读图取各点的近似坐标（以格为单位，横轴时间、纵轴距离）：

Evelyn ≈ (1, 3.5)，斜率 ≈ 3.5；

Carla ≈ (3, 3.7)，斜率 ≈ 1.2；

Debra ≈ (3.4, 2.2)，斜率 ≈ 0.65；

Briana ≈ (1.6, 1.8)，斜率 ≈ 1.1；

Angela ≈ (4.5, 1.3)，斜率 ≈ 0.3。

Evelyn 的点最靠左上（时间最短而距离很大），斜率最大，速度最快。选 E。

（易错点：① 不是"点最高"就最快——Carla 的距离最大，但时间也长；② 也不是"点最左"最快——要看"距离 ÷ 时间"的比值；③ 判断技巧：在同一张图上比较各点与原点连线的陡峭程度，最陡的那条最快。）

第 18 题｜13 的倍数的三位数（答案 C）

题目：能被 13 整除的三位数有多少个？选项：7、67、69、76、77。

解析：三位数从 100 到 999。最小的 13 的倍数：13 × 8 = 104（13 × 7 = 91 只有两位）。最大的：13 × 76 = 988（13 × 77 = 1001 已超）。

个数 = 76 − 8 + 1 = 69。选 C。

（易错点：① 别用 999 ÷ 13 ≈ 76.8 直接答 76（那是"1 到 999 中 13 的倍数个数"），要减掉两位数的 7 个；② 端点计数用"末 − 首 + 1"；③ 选项 B 的 67 与 D 的 76 分别是"少减一位"和"忘了减"的错算。）

第 19 题｜梯形的周长（答案 A）

题目：梯形 ABCD 中 BC = 50，两腰 AB = 30、CD = 25，高 BE = 24，求周长。选项：180、188、196、200、204。

解析：在直角三角形 ABE 中，AE = √(30² − 24²) = √(900 − 576) = √324 = 18。

从 C 向 AD 作垂线，垂足记为 F。在直角三角形 CFD 中，CF = 24（高），CD = 25，故 FD = √(25² − 24²) = √(625 − 576) = √49 = 7。

下底 AD = AE + EF + FD = 18 + 50 + 7 = 75。周长 = 30 + 50 + 25 + 75 = 180。选 A。

（易错点：① 下底不是 50，必须加上两侧的水平投影 18 与 7；② 两段投影要分别用勾股定理算，不能"平均分"；③ 周长是四条边相加，别再乘 2（那是面积公式的 1/2 的误用）。）

第 20 题｜钟面上的追及（答案 A）

题目：圆周被 12 个等分点按顺时针编号 1—12，两人都从 12 出发。每回合 Alice 顺时针走 5 个点、Bob 逆时针走 9 个点。多少回合后两人停在同一位置？选项：6、8、12、14、24。

解析：用模 12 的位置。设 Alice 的位置为 12，逆时针为负方向，则 n 回合后 Alice 在 12 + 5n，Bob 在 12 − 9n（模 12）。

同一点要求 5n ≡ −9n (mod 12)，即 14n ≡ 0 (mod 12)，化简 7n ≡ 0 (mod 6)，故 n 是 6 的倍数，最小 n = 6。选 A。

逐回合验证：Alice 12 → 5 → 10 → 3 → 8 → 1 → 6；Bob 12 → 3 → 6 → 9 → 12 → 3 → 6。第 6 回合都在 6 号点 ✓。

（易错点：① Bob 逆时针 9 个点等于顺时针 3 个点（12 − 9 = 3），两人每回合"靠近" 5 + 3 = 8 个点的相对位移；② 别忽略"编号是顺时针"这一设定，否则方向会反；③ 若只算 12 ÷ (5 + 3) = 1.5 就答 2 是错的——两人必须同时停在整点上。）

第 21 题｜点阵中的三角形个数（答案 C）

题目：下图 6 个点分两行排列，每行 3 个且上下对齐。以其中 3 个点为顶点可构成多少个不同的三角形？选项：9、12、18、20、24。

解析：先从 6 个点中任取 3 个：C(6,3) = 20 种。

三点共线时不能成三角形。图中只有两条直线各含 3 个点（上排 3 点、下排 3 点），各贡献 1 种退化情形，共 2 种。竖直方向每列只有 2 个点，不构成三点共线；斜向也没有 3 点共线。

所以三角形个数 = 20 − 2 = 18。选 C。

（易错点：① 两条横排各去掉 1 种，共去 2 种；② 若点是"错位"排列，还会出现斜向三点共线，需重新数——本题上下严格对齐，故只有 2 条共线；③ 选项 D 的 20 是"没扣共线"的结果。）

第 22 题｜三种包装的性价比排序（答案 E）

题目：洗涤剂分小 (S)、中 (M)、大 (L) 三种。M 比 S 贵 50%，含量比 L 少 20%；L 的含量是 S 的 2 倍，价格比 M 高 30%。按性价比从高到低排序。选项：SML、LMS、MSL、LSM、MLS。

解析：设 S 的价格为 1、含量为 1（单位化）。则 M 价格 1.5；L 含量 2，价格 1.5 × 1.3 = 1.95；M 含量 = L 的 80% = 0.8 × 2 = 1.6。

单位含量价格（越小越划算）：S = 1/1 = 1；M = 1.5/1.6 = 0.9375；L = 1.95/2 = 0.975。

从划算到不划算：M（0.9375）＜ L（0.975）＜ S（1），即 M、L、S。选 E。

（易错点：① "含量比 L 少 20%" 是相对 L 而言，M = 0.8L = 1.6，不是 0.8；② 价格链是 S → M（+50%）→ L（比 M 高 30%），不是"L 比 S 高 80%"；③ 比"每单位含量多少钱"才对，比"每块钱买多少"则顺序反过来，结论相同但算式要统一。）

第 23 题｜内切半圆的三角形面积（答案 B）

题目：等腰直角三角形 ABC 内含一个面积为 2π 的半圆，圆心 O 在斜边 AB 上，半圆与两直角边 AC、BC 都相切。求三角形面积。选项：6、8、3π、10、4π。

解析：半圆面积 = (1/2)πr² = 2π → r² = 4 → r = 2。

圆心到两条直角边的距离都等于 r = 2，而以 C 为直角顶点、两直角边为轴时，到两轴距离都为 2 的点是 (2, 2)。该点又落在斜边 AB 上，斜边方程为 x + y = s（s 为直角边长），故 2 + 2 = s，s = 4。

面积 = (1/2) × 4 × 4 = 8。选 B。

（易错点：① 面积 2π 是"半圆"，先除以 1/2 再解 r，别直接得 r² = 2；② 相切给出的是"圆心到两边距离 = r"，不是"半圆面积 = 三角形面积的一半"；③ 等腰直角三角形中 O 在斜边上必然落在斜边中点，此时 s = 2r + ... 用坐标法最稳。）

第 24 题｜计算器的最少按键（答案 B）

题目：计算器只有 [+1] 与 [×2] 两个键。从显示 1 开始，最少按几次能得到 200？选项：8、9、10、11、12。

解析：从 200 倒推更清楚：到 200 的最后一步若是 ×2，前一个数是 100；若是 +1，前一个数是 199（显然更费步）。一路倒推：

200 ← 100 ← 50 ← 25 ← 24 ← 12 ← 6 ← 3 ← 2 ← 1。

正着走就是：1 →(×2) 2 →(+1) 3 →(×2) 6 →(×2) 12 →(×2) 24 →(+1) 25 →(×2) 50 →(×2) 100 →(×2) 200，共 9 次。选 B。

（穷举（广度优先搜索）验证：1 到 200 的最短步数确为 9，不存在 8 步方案。易错点：① 25 是奇数，必须从 24 加 1 得到，这一步容易被漏；② 倒推时"奇数只能来自 +1"，"偶数优先试 ÷2"是有效策略；③ 别用"200 的二进制约 8 位"直接猜 8。）

第 25 题｜正方形的外接与外切之间（答案 A）

题目：边长为 2 的正方形与一个圆同心。圆内、正方形外的总面积，等于圆外、正方形内的总面积。求圆的半径。选项：2/√π、(1 + √2)/2、3/2、√3、√π。

解析：设圆半径为 r，两部分重叠部分（既在圆内又在正方形内）面积记为 X。

圆内正方形外：πr² − X；圆外正方形内：4 − X。两者相等 ⇒ πr² = 4。

所以 r² = 4/π，r = 2/√π ≈ 1.128。选 A。

（易错点：① 关键在"重叠部分 X 被两边同时减去"，所以不必真的会算圆与正方形的交集面积；② 若圆半径小于 1（内切圆半径），则"圆外正方形内"更大，等式无法成立，所以必有 1 ＜ r ＜ √2；③ 选项 B 是 √2 与 1 的平均，属"看图猜"的陷阱。）

三、复盘建议

本卷偏重"数量关系 + 图形度量"，计算量小但概念点多。建议按模型整理：

百分数与比例：第 2、11、22 题——折扣按总额算、先加税后打折与先打折后加税结果相同（乘法交换律）、"比 L 少 20%" 要乘以 0.8；

几何度量：第 4、7、13、19、23、25 题——周长相等先求边长、垂直两段用勾股、缺口面积反求宽、梯形下底 = 两段投影 + 上底、圆心到直角边距离等于半径、重叠部分同时减去；

计数与数论：第 14、15、18、21 题——同区双循环 + 跨区单循环、等腰三角形要验"两腰和大于底"、13 的倍数用"末 − 首 + 1"、组合数减去三点共线；

极值与策略：第 16、24 题——抽屉原理"颜色数 ×(k−1)+1"、两键计算器用倒推（奇数必来自 +1）；

易混清单：对称轴是 BD 不是 AC、"第 3 天"不是"第 5 天"、60° 夹角在两腰之间、斜率看"距离 ÷ 时间"、半圆面积先乘 2 再开方——逐条记入错题本。