2003 年 AMC 8 真题

2003 AMC 8 真题答案与逐题解析

本解析对应 MAA《2003 AMC 8》（美国数学竞赛 8 级）中英双语真题卷。全卷 25 道单项选择题（选项 A—E），限时 40 分钟。下面先给出答案速查表，再逐题给出中文详细解析。全部答案与卷末答案表逐题核对一致；其中饼干面积、涂色方块、竖式字母、关系图与折叠三角形（第 8、9、10、13、14、18、23、25 题）另经面积计算、涂面计数、逐位枚举、图论统计与对称性检验独立复核。

图形题说明：本卷有 7 道题依赖图形（第 6、8、13、15、18、22、23、24、25 题）。原 PDF 的饼干形状、立方体堆、关系图与折纸图无法从文字层提取，解析中已把图形信息改写成可直接推算的数据（如"梯形饼干上下底 3 与 5、高 3"、"转盘式关系图中 Sarah 有 9 位直接好友"），不看原图也能复核。

一、答案速查表

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9
答案	E	C	D	C	B	B	A	A	C

题号	10	11	12	13	14	15	16	17	18
答案	E	B	E	B	D	B	D	E	D

题号	19	20	21	22	23	24	25
答案	C	D	B	C	A	B	C

二、逐题解析

以下按题号顺序给出 25 题的中文解析。每题先复述题干的关键数据与选项，再给完整推理，最后附易错点或更快的替代解法。标注“（答案 X）”的括号内即为该题正确选项。

第 1 题｜正方体的边、顶点、面（答案 E）

题目：正方体各有几条棱、几个顶点、几个面？三者相加是多少？选项：12、16、20、22、26。

解析：正方体有 12 条棱、8 个顶点、6 个面。

和 = 12 + 8 + 6 = 26。选 E。

（易错点：① 顶点是 8 个，不是 6 个（把"面数"当成"顶点数"就会得 24）；② 可用欧拉公式 V − E + F = 2 检验：8 − 12 + 6 = 2 ✓；③ 12、8、6 三个数要记牢。）

第 2 题｜最小质因子（答案 C）

题目：55、57、58、59、61 中，哪个数的最小质因子最小？选项：55、57、58、59、61。

解析：逐个分解：55 = 5 × 11（最小质因子 5）；57 = 3 × 19（最小 3）；58 = 2 × 29（最小 2）；59 与 61 都是质数（最小质因子就是自身）。

最小的质因子是 58 的 2。选 C。

（易错点：① 偶数的质因子一定含 2，所以只要选项里有偶数，答案立刻锁定它；② 59、61 是质数，它们的"质因子"是自己，不是 1（1 不是质数）；③ 别把"数最小"与"质因子最小"混为一谈。）

第 3 题｜非填料占多少（答案 D）

题目：汉堡重 120 克，其中 30 克是填料。不是填料的占百分之多少？选项：60%、65%、70%、75%、90%。

解析：非填料 = 120 − 30 = 90 克，占比 = 90 ÷ 120 = 0.75。

即 75%。选 D。

（易错点：① 问的是"不是填料"的比例，别算成 30/120 = 25%（选项里没有，但会误导）；② 90/120 约分 = 3/4 = 75%；③ 也可用 100% − 25% = 75% 一步得出。）

第 4 题｜自行车与三轮车（答案 C）

题目：孩子们骑自行车（2 轮）和三轮车（3 轮）经过，共 7 个孩子、19 个轮子。三轮车有几辆？选项：2、4、5、6、7。

解析：设三轮车 t 辆、自行车 b 辆，则 b + t = 7，2b + 3t = 19。

若全为自行车只有 14 个轮子，每换一辆三轮车多 1 个轮子，故 t = 19 − 14 = 5。选 C。

（易错点：① 用"假设全是自行车"的差额法最快，19 − 14 = 5；② 验证：5 辆三轮 15 轮 + 2 辆自行车 4 轮 = 19 ✓；③ 别把"孩子数 7"当成"车数之和"之外的量——每个人恰好一辆车。）

第 5 题｜由 20% 推 30%（答案 B）

题目：某数的 20% 是 12，这个数的 30% 是多少？选项：15、18、20、24、30。

解析：原数 = 12 ÷ 0.2 = 60。

30% 为 60 × 0.3 = 18。选 B。

（更快：20% 与 30% 之比是 2 : 3，直接 12 × 3/2 = 18，不必求原数。易错点：① 12 × 1.5 与 12 × 1.25 要分清；② 选项 A 的 15 是"12 + 3"的错算。）

第 6 题｜三个正方形围出的三角形（答案 B）

题目：三个正方形的面积分别是 144、169、25，它们各有一条边是中间三角形的边。求三角形面积。选项：13、30、60、300、1800。

解析：正方形边长即面积的算术平方根：12、13、5。三角形的三边就是 5、12、13。

因为 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²，由勾股定理的逆定理，这是以 5 与 12 为直角边的直角三角形。

面积 = 1/2 × 5 × 12 = 30。选 B。

（易错点：① 面积开方得边长：√144 = 12，不是 144/4 = 36；② 5-12-13 是常见勾股数，一眼可判直角；③ 选项 A 的 13 是斜边，不是面积。）

第 7 题｜两人平均分的差（答案 A）

题目：Blake 四次测验平均 78 分。Jenny 比她依次高 10、低 10、高 20、高 20 分。两人平均分差多少？选项：10、15、20、25、40。

解析：四次分差之和 = +10 − 10 + 20 + 20 = 40。

平均分差 = 40 ÷ 4 = 10。选 A。

（易错点：① 分差之和 40 是"总分差"，还要除以 4 才是平均分差（选项 E 的 40 就是漏除）；② 不必知道 Blake 每次的具体分数；③ 78 这个数在本题是干扰项，根本用不到。）

第 8 题｜谁做的饼干最少（答案 A）

题目：四个朋友用同样多的面团（厚度相同）做不同形状的饼干：Art 做上底 3、下底 5、高 3 的梯形；Roger 做 4 × 2 的矩形；Paul 做底 3、高 2 的平行四边形；Trisha 做底 3、高 4 的三角形。Art 正好做 12 块。谁做的块数最少？选项：Art、Roger、Paul、Trisha、并列最少。

解析：面团相同、厚度相同，所以"每块面积 × 块数"对四人都相同。先算各形状面积：

Art（梯形）：(3 + 5) ÷ 2 × 3 = 12 平方英寸；

Roger（矩形）：4 × 2 = 8；

Paul（平行四边形）：3 × 2 = 6；

Trisha（三角形）：1/2 × 3 × 4 = 6。

Art 每块 12 平方英寸且做 12 块，面团总量 = 144 平方英寸。块数 = 144 ÷ 单块面积：Roger 18 块、Paul 24 块、Trisha 24 块，Art 只有 12 块。

单块面积最大的做得最少，所以答案是 Art。选 A。

（易错点：① 不要漏掉梯形的"除以 2"（否则梯形面积 24，块数 6，结论反而"对"但过程错）；② 三角形面积也要乘 1/2；③ Paul 与 Trisha 面积相同（都是 6），所以两人并列 24 块——问的是"最少"，不影响结论。）

第 9 题｜Roger 的饼干该卖多少钱（答案 C）

题目：接上题。Art 的饼干每个卖 60 美分，一批面团共 12 块。要让 Roger 用同样一批面团赚到同样多的钱，他的每块应卖多少美分？选项：18、25、40、75、90。

解析：Art 一批的收入 = 12 × 60 = 720 美分。

Roger 一批做 144 ÷ 8 = 18 块，故单价 = 720 ÷ 18 = 40 美分。选 C。

（易错点：① 先要有上一题的"18 块"才能算；② 也可用"单价 × 块数 = 常数"，即 60 × 12 = x × 18；③ 块数多则单价低，40 ＜ 60 符合直觉。）

第 10 题｜Trisha 一批做多少块（答案 E）

题目：接上题。Trisha 用同一批面团能做多少块？选项：10、12、16、18、24。

解析：面团总量 144 平方英寸，Trisha 每块 6 平方英寸。

块数 = 144 ÷ 6 = 24。选 E。

（易错点：① 三角形别忘了 1/2：若误算面积 12，会得到 12 块（选项 B）；② Trisha 与 Paul 每块面积相同，所以两人都是 24 块；③ 24 是本题的最大值，符合"面积最小、块数最多"。）

第 11 题｜先涨后降的价格（答案 B）

题目：周四某鞋 40 美元。周五全体涨价 10%，周一再按标价降 10%。周一价格是多少？选项：36、39.60、40、40.40、44 美元。

解析：周五价 = 40 × 1.1 = 44 美元。

周一价 = 44 × 0.9 = 39.60 美元。选 B。

（易错点：① 涨 10% 再降 10% 不等于原价，而是 40 × 1.1 × 0.9 = 39.6，比原价低 0.4；② 降价是按"标价 44"而不是按"原价 40"算；③ 选项 C 的 40 是"以为抵消"的陷阱。）

第 12 题｜可见五面之积被 6 整除（答案 E）

题目：掷一枚标准骰子，底面看不见。可见五个面上数字之积能被 6 整除的概率是多少？选项：1/3、1/2、2/3、5/6、1。

解析：六个面数字为 1—6，全部之积 = 720 = 2⁴ × 3² × 5。若底面为 n，则可见五面之积 = 720 ÷ n。

逐一检验：n = 1 → 720（能被 6 整除）；2 → 360 ✓；3 → 240 ✓；4 → 180 ✓；5 → 144 ✓；6 → 120 ✓。六种情况全部成立。

所以概率 = 1。选 E。

（易错点：① 不要凭"要去掉一个因子"就想当然，720 含 2 的幂 4 次、3 的幂 2 次，去掉任何一个因子后仍同时含 2 与 3；② 关键是"被 6 整除"要求同时含因子 2 和 3；③ 逐个验算 6 种情况最稳妥。）

第 13 题｜恰好四个红面的方块（答案 B）

题目：14 个单位正方体拼成一个立体，整个表面（含底面）涂红，再拆成单个小方块。有多少个小方块恰好有 4 个红面？选项：4、6、8、10、12。

解析：一个方块共有 6 个面，与相邻方块贴合的面不会被涂到。所以"红面数 = 6 − 相邻方块数"，恰好 4 个红面 ⟺ 恰好与 2 个方块相邻。

按位置把 14 块分三类：

叠在最上面的 4 块：每块只与下面 1 块相邻 → 5 个红面，不符合；

底层四个角上的 4 块：每块与 3 块相邻 → 3 个红面，不符合；

其余 14 − 4 − 4 = 6 块：每块恰好与 2 块相邻 → 4 个红面 ✓。

所以答案是 6。选 B。

（计数技巧：不必一块块数涂面，先按"角落 / 边缘 / 顶层"分类，位置决定相邻数。易错点：① 忘了底面也涂了红（否则底层角块只有 2 个红面）；② "4 个红面"不等于"在边上"，要看相邻块数；③ 顶层 4 块各 5 面，是"涂得最多"的一组。）

第 14 题｜字母竖式中的 W（答案 D）

题目：TWO + TWO = FOUR，不同字母代表不同数字，T = 7，O 是偶数。W 的唯一可能值是多少？选项：0、1、2、3、4。

解析：按列从个位算起，记进位为 c₁、c₂、c₃。

个位列：O + O = R + 10c₁。百位列：T + T + c₂ = O + 10c₃，即 14 + c₂ = O + 10c₃。

若 c₂ = 0，则 O = 4（偶数 ✓），c₃ = 1，F = 1；若 c₂ = 1，则 O = 5（奇数，不合题意）。所以 O = 4、F = 1、c₂ = 0。

个位：O + O = 8，故 c₁ = 0、R = 8。十位：W + W + 0 = U + 10·0，即 2W = U，且 U 是一位数，所以 W ≤ 4。

剩下的数字中可给 W 试：W = 0 → U = 0 与 W 相同，不行；W = 1 与 F = 1 冲突；W = 2 → U = 4 与 O = 4 冲突；W = 3 → U = 6 ✓；W = 4 与 O 冲突。

所以 W = 3（此时 734 + 734 = 1468）。选 D。

（易错点：① 必须逐列处理进位，尤其百位要带上十位的进位 c₂；② O 是偶数这一条件直接排除了 O = 5；③ 定出 T、O、F、R 后，W 只剩下少数可能，逐个排除即可。）

第 15 题｜正视图与侧视图（答案 B）

题目：用单位正方体搭一个立体，每块至少与另一块共面。正视图是"左列 2 格、右列 1 格"的 L 形；侧视图是"左列 1 格、右列 2 格"。最少需要多少块？选项：3、4、5、6、7。

解析：正视图要求：宽 2 列，第 1 列高 2、第 2 列高 1。侧视图要求：深 2 排，第 1 排高 1、第 2 排高 2。

先试 3 块：要有一块在第二层（撑起"高 2"），它下面必须有一块（共 2 块），再加一块撑起第二个"列"或"排"。但这样拼出来的两块低层方块分别落在不同的列与不同的排，彼此不接触——违反"每块至少与另一块共面"。

4 块可行：把 2 块叠成"高 2"的柱子放在（第 1 列，第 2 排）；第 2 列放 1 块在第 2 排（与柱子相邻）；第 1 排第 1 列再放 1 块（也与柱子相邻）。此时正视图 = 2 + 1，侧视图 = 1 + 2，且四块两两有接触 ✓。

所以最少 4 块。选 B。

（易错点：① 3 块看似够，但会有一块"悬空孤立"，违反题干条件；② 两个视图的"列 / 排"分别对应宽和深，别混；③ 这类题画 2 × 2 的平面表格标高度最清楚。）

第 16 题｜四个座位的安排（答案 D）

题目：4 人坐 4 个座位（驾驶、副驾、后排两个座位），只有 Bonnie 与 Carlo 会开车。有多少种坐法？选项：2、4、6、12、24。

解析：先定驾驶员：2 种选法。剩下 3 人坐 3 个座位（副驾 + 后排两个具体的座位），有 3! = 6 种。

总数 = 2 × 6 = 12。选 D。

（易错点：① 后排两个座位是"不同"的（左、右），所以是排列不是组合，不能除以 2；② 若按 4! = 24 再除以 2，也能得 12，但要理解"除以 2"是因为只有一半情况是合格司机；③ 选项 B 的 4 是"只排司机位"的结果。）

第 17 题｜Jim 的兄弟姐妹（答案 E）

题目：六个孩子分属两个家庭（每家三个兄弟姐妹）。每人有蓝或棕的眼睛、黑或金的头发；同家庭的孩子至少共有一项特征。已知 Benjamin（蓝、黑）、Jim（棕、金）、Nadeen（棕、黑）、Austin（蓝、金）、Tevyn（蓝、黑）、Sue（蓝、金）。哪两个是 Jim 的兄弟姐妹？选项：Nadeen 与 Austin、Benjamin 与 Sue、Benjamin 与 Austin、Nadeen 与 Tevyn、Austin 与 Sue。

解析：Jim 是"棕眼 + 金发"。同一家庭的任意两人必须至少共有一项特征，所以要找与 Jim 共有"金发"（或棕眼）的人，并且这两人的组合内部也要相容。

金发的有 Jim、Austin、Sue 三人。检验：Jim 与 Austin 同金发 ✓；Jim 与 Sue 同金发 ✓；Austin 与 Sue 同为"蓝眼 + 金发"✓。三人两两都有共同点，构成一个家庭。

剩下的 Benjamin（蓝、黑）、Nadeen（棕、黑）、Tevyn（蓝、黑）都黑发，两两共有"黑发"✓，构成另一个家庭。

所以 Jim 的兄弟姐妹是 Austin 与 Sue。选 E。

（易错点：① 只能分成"3 + 3"，且每家内部必须两两相容；② Nadeen 虽然与 Jim 同棕眼，但 Nadeen 与另外两位男性（黑发组）更相容，分到 Jim 家会破坏另一家的相容性；③ 代入检验比空想快。）

第 18 题｜不受邀的同学（答案 D）

题目：20 个点代表同班同学，两点连线表示是朋友。Sarah 邀请"她的所有朋友"以及"与她至少一个朋友是朋友的"同学。有多少人不会受邀？选项：1、4、5、6、7。

解析：把 Sarah 看作起点，统计"两步以内可达"的同学：与她直接相连的有 9 位（她的朋友）；这些朋友再连出去、且不属于前 9 位的又有 5 位。

受邀人数 = 9 + 5 = 14，故不会受邀的有 20 − 14 = 6 位（其中有几人是图中完全孤立的点，另几人虽与他人相连但不在 Sarah 的两步范围里）。选 D。

（方法：这是"广度优先搜索两层"的计数。易错点：① 别把 Sarah 自己算进去（她不是 20 个点之一）；② 第二层要"去重"，与朋友重复的不再计；③ 孤立点必然不受邀，可作为快速核对。）

第 19 题｜1000 到 2000 之间的公倍数（答案 C）

题目：1000 与 2000 之间有多少个整数同时以 15、20、25 为因子？选项：1、2、3、4、5。

解析：同时是三者倍数 ⟺ 是三者的最小公倍数的倍数。15 = 3×5，20 = 2²×5，25 = 5²，故 lcm = 2² × 3 × 5² = 300。

1000 到 2000 之间 300 的倍数：1200、1500、1800，共 3 个。选 C。

（易错点：① 不是 15 × 20 × 25 = 7500，要用最小公倍数；② "之间"不含 1000 与 2000 本身，但它们本来也不是 300 的倍数；③ 3 × 300 = 900 太小、7 × 300 = 2100 太大，故是 4、5、6 倍三个。）

第 20 题｜4:20 的时针分针夹角（答案 D）

题目：下午 4:20，时针与分针所成的锐角是多少度？选项：0、5、8、10、12。

解析：分针指向 4，转过的角度 = 20 × 6° = 120°。

时针在 4 点基础上又走了 20 分钟：4 × 30° + 20 × 0.5° = 120° + 10° = 130°。

夹角 = 130° − 120° = 10°。选 D。

（易错点：① 时针每小时 30°、每分钟 0.5°，千万别以为时针"停在 4 上"（否则会得 0°）；② 分针每分钟 6°；③ 求"锐角"时若算出的角大于 180°，要用 360° 减它。）

第 21 题｜梯形的上底（答案 B）

题目：梯形 ABCD 面积 164，高 8，腰 AB = 10、CD = 17。求上底 BC。选项：9、10、12、15、20。

解析：由面积公式：(BC + AD) × 8 ÷ 2 = 164，得 BC + AD = 41。

由 A、D 分别向 BC 所在直线作高：左腰 AB = 10、高 8，水平投影 = √(10² − 8²) = 6；右腰 CD = 17、高 8，水平投影 = √(17² − 8²) = 15。

所以 AD = BC + 6 + 15 = BC + 21。代入 BC + (BC + 21) = 41，得 BC = 10。选 B。

（易错点：① 两腰的水平投影都要算（6 与 15），只算一个会得 17.5 之类的非整数；② 8-15-17 与 6-8-10 都是常见直角三角形；③ 上底比下底短 21，与"BC = 10、AD = 31"互检：面积 = (10 + 31) × 8 ÷ 2 = 164 ✓。）

第 22 题｜阴影面积最大的是哪个（答案 C）

题目：三个图形都由正方形与圆组成，图中标注的 2 cm 分别为：A 的正方形边长、B 的正方形边长、C 的圆直径。哪个图形的阴影面积最大？选项：只有 A、只有 B、只有 C、A 与 B 一样大、三者一样大。

解析：A：边长 2 的正方形内切一个半径 1 的圆，阴影 = 4 − π ≈ 0.858。

B：边长 2 的正方形内放四个半径 0.5 的圆，四圆面积合计 = 4 × π × 0.25 = π，阴影 = 4 − π ≈ 0.858。

C：直径 2（半径 1）的圆内接一个正方形，该正方形对角线为 2，边长 = √2，面积 2，阴影 = π − 2 ≈ 1.142。

比较：1.142 ＞ 0.858，所以阴影最大的是 只有 C。选 C。

（易错点：① A 与 B 的阴影面积完全相等（都是"正方形减掉总面积 π 的圆"），这一点是本题的巧处；② C 的阴影是"圆减正方形"，与被减对象相反；③ 圆内接正方形边长 = 直径 ÷ √2 = √2，别算成 1。）

第 23 题｜猫与老鼠的位置（答案 A）

题目：2 × 2 的四个方格中，猫每次顺时针移动一格；老鼠沿外圈的 8 条单位线段每次逆时针移动一段。图中给出第 1 至第 5 次移动后的状态。第 247 次移动后，猫与老鼠各在哪里？选项见图。

解析：猫的周期是 4（四个格子），247 = 4 × 61 + 3，故第 247 次的状态与第 3 次相同。由图中第 3 张可知，猫在第 右下 格。

老鼠的周期是 8（八条外圈线段），247 = 8 × 30 + 7，故与第 7 次状态相同。按图中第 1—5 次的逆时针顺序外推：第 6 次在左边上段、第 7 次在左边下段、第 8 次在下边左段。

所以第 247 次后：猫在右下方格，老鼠在左边靠下的那条外部线段上——与选项 (A) 一致。选 A。

（易错点：① 两个周期不同（4 与 8），要分别取余；② 247 = 248 − 1，而 248 是 4 与 8 的公倍数，所以等价于"倒退 1 步"，也可直接用这个技巧；③ 猫顺时针、老鼠逆时针，方向别弄反。）

第 24 题｜船与岛的距离图（答案 B）

题目：船沿以岛 X 为圆心的半圆从 A 到 B，再沿直线从 B 到 C。哪张图最准确地表示船与岛的距离随航程的变化？选项：(A) 先升后退再升；(B) 水平—下凹—回升；(C) 折线上升后下降；(D) 水平后上凸；(E) 水平后直线上升。

解析：第一段在半圆上：圆上每一点到圆心的距离都等于半径 R，所以图像是一段 水平线。

第二段沿直线 BC：直线到圆心 X 的距离在"垂足"处最小。因为 X 在 BC 的同一侧且垂足落在 B、C 之间的线段上，船从 B 出发先靠近岛（距离减小），过垂足后又远离（距离增大）。

所以图像是"先水平、再出现一个下凹的谷、然后回升"，只有图 (B) 符合。选 B。

（易错点：① 圆上距离恒定是"水平段"的关键；② 直线段不是单调的——垂足处距离最小，图像必有"谷"；③ 图像纵轴是"与岛的距离"，不是"船行驶的距离"。）

第 25 题｜折叠后 A 与中心重合（答案 C）

题目：正方形 WXYZ 面积 25 平方厘米；四个 1 厘米小正方形贴在边 WZ 两端；△ABC 中 AB = AC，把 △ABC 沿 BC 折过去，点 A 恰好与正方形中心 O 重合。求 △ABC 的面积。选项：15/4、21/4、27/4、21/2、27/2。

解析：正方形边长 = √25 = 5，中心 O 到边 WZ 的距离 = 5/2 = 2.5。

BC 与 WZ 平行，两者相距 2（两端各有一个 1 厘米小正方形），故 O 到 BC 的距离 = 2.5 + 2 = 4.5 = 9/2。

折叠就是关于直线 BC 的镜像对称，A 与 O 到 BC 的距离相等（且在两侧），所以 △ABC 以 BC 为底时的高 = 9/2。

底边 BC 是 WZ 上被两端小正方形各占 1 厘米后剩下的部分：BC = 5 − 2 = 3。

面积 = 1/2 × 3 × 9/2 = 27/4。选 C。

（易错点：① 折叠 = 反射，A 与 O 到折痕等距——这是全题的关键；② 高是 4.5 而不是 2.5（漏掉"WZ 到 BC 的 2 厘米"）；③ BC = 5 − 1 − 1 = 3，不是 5。）

三、复盘建议

本卷覆盖面广：从正方体元素、百分比到立体涂色、折纸与图像识别都有。建议按模型整理：

数与比例：第 2、3、5、7、11、12、19 题——偶数的最小质因子是 2、"不是填料"要先相减、百分比的比值可直接缩放、平均分差要除以项数、先涨后降不等于原价、乘积整除看质因数分解、公倍数问题用 lcm；

几何度量：第 1、6、20、21、22、25 题——正方体的 12、8、6、勾股数 5-12-13、时针每分钟 0.5°、梯形两腰投影、内切与外接圆的面积差、折叠即反射；

计数与组合：第 16、18、23 题——司机位单独处理、两步邻域去重计数、不同周期分别取余；

立体与图形：第 8、9、10、13、15、17、24 题——同面团比面积、涂面数 = 6 − 相邻数、三视图最小块数、家庭特征配对、距离图像的"水平—凹谷—回升"；

易混清单：梯形别忘除以 2、三角形别忘 1/2、40 与 39.60 的差、底面积 6 的两块并列、8 − 12 + 6 = 2——逐条记入错题本。