2002 年 AMC 8 真题

2002 AMC 8 真题答案与逐题解析

本解析对应 MAA《2002 AMC 8》（美国数学竞赛 8 级）中英双语真题卷。全卷 25 道单项选择题（选项 A—E），限时 40 分钟。下面先给出答案速查表，再逐题给出中文详细解析。全部答案与卷末答案表逐题核对一致；其中格点多边形面积、立体表面积、铺砖比例与果汁配比（第 15、22、23、24 题）另经"整格加半格"计数、Pick 定理、涂面计数与比例计算独立复核。

图形题说明：本卷有 8 道题依赖图形（第 6、7、11、15、16、20、22、23 题）。原 PDF 的折线图、条形图、点阵多边形与立体图无法从文字层提取，解析中已把图形信息改写成可直接推算的数据（如"五种糖果的人数依次为 6、8、4、2、5"、"五个格点多边形面积依次为 5、5、5、4.5、5.5"），不看原图也能复核。

一、答案速查表

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9
答案	D	A	C	B	C	A	E	D	B

题号	10	11	12	13	14	15	16	17	18
答案	E	C	B	E	B	E	E	C	E

题号	19	20	21	22	23	24	25
答案	D	D	E	C	B	B	B

二、逐题解析

以下按题号顺序给出 25 题的中文解析。每题先复述题干的关键数据与选项，再给完整推理，最后附易错点或更快的替代解法。标注“（答案 X）”的括号内即为该题正确选项。

第 1 题｜圆与两直线的交点（答案 D）

题目：纸上画一个圆与两条不同的直线，这些图形的交点最多有多少个？选项：2、3、4、5、6。

解析：分类数：每条直线与圆最多 2 个交点，两条直线共 4 个；两条直线彼此最多 1 个交点。

总数 = 4 + 1 = 5（只要两条直线在圆内相交即可同时达到）。选 D。

（易错点：① 别忘了两条直线自己的交点；② 直线与圆最多 2 个交点，不可能 3 个；③ 若两直线平行，则只有 4 个交点，所以"最多"要求它们在圆内相交。）

第 2 题｜5 元与 2 元凑 17 元（答案 A）

题目：用若干张 5 元与 2 元纸币凑成 17 元，有多少种组合（不计顺序）？选项：2、3、4、5、6。

解析：设 5 元 a 张、2 元 b 张，则 5a + 2b = 17。左边 5a 与 17 都是奇数，故 a 必为奇数。

a = 1 → b = 6 ✓；a = 3 → b = 1 ✓；a = 5 → 25 ＞ 17 ✗。

所以只有 2 种。选 A。

（易错点：① "不计顺序"意味着 (1 张 5 元, 6 张 2 元) 只算一种，不要乘排列数；② 用奇偶性可立刻判定 a 为奇数，省去逐个试；③ 别忘了 a = 0 时 17 不是偶数，也不成立。）

第 3 题｜四个不同正偶数的最小平均（答案 C）

题目：四个互不相同的正偶数的平均值最小是多少？选项：3、4、5、6、7。

解析：要使平均值最小，就取最小的四个不同正偶数：2、4、6、8。

平均值 = (2 + 4 + 6 + 8) ÷ 4 = 20 ÷ 4 = 5。选 C。

（易错点：① 必须"互不相同"，不能取 2、2、2、2（否则平均 2，但违反条件）；② 0 不是正数，不能计入；③ 四个连续偶数的平均值就是中间两数的平均：(4 + 6)/2 = 5。）

第 4 题｜下一个回文年份（答案 B）

题目：2002 是回文数。2002 年之后下一个回文年份的各位数字之积是多少？选项：0、4、9、16、25。

解析：四位数回文形如 ABBA。2002 之后最小的回文是 2112（千位与百位取 21，个位与十位自然为 1、2）。

数字之积 = 2 × 1 × 1 × 2 = 4。选 B。

（易错点：① 不是 2002 + 1 再找，要直接按"ABBA"形式构造；② 2200 之后才是 2222，但 2112 更小；③ 别把"数字之和"与"数字之积"混淆（和为 6）。）

第 5 题｜第 706 天是星期几（答案 C）

题目：Carlos 出生于 2002 年 11 月 9 日（周六）。他 706 天大时是星期几？选项：周一、周三、周五、周六、周日。

解析：星期以 7 为周期。706 = 7 × 100 + 6，即 706 ≡ 6（mod 7）。

周六往后推 6 天：周日(1)、周一(2)、周二(3)、周三(4)、周四(5)、周五(6)。选 C。

（易错点：① 700 是 7 的倍数，只需看余下的 6 天；② "往后推 6 天"不要算成"周六 + 6 = 周四"；③ 也可用 706 天后的前一天（705 = 7×100+5）再退一步核对。）

第 6 题｜水盆的水量图（答案 A）

题目：水以每分钟 20 毫升流入、18 毫升排出。哪张图表示从开始灌水到持续溢出的水量变化？选项：(A) 上升后转水平；(B) 下降后陡降；(C) 一直上升；(D) 一开始就水平；(E) 先升后降。

解析：未满时净增速度 = 20 − 18 = 2 毫升/分钟（恒定），所以水量随时间 匀速上升，图像是一条斜线。

水满之后继续进水会立刻溢出，水面（水量）保持不变，图像变成 水平线。

"先匀速上升、后转水平"只有图 (A) 符合。选 A。

（易错点：① 净速度是 20 − 18 = 2，不是 20 或 18；② 溢出阶段水量不变，所以是水平段，(C) 的"一直上升"错；③ 图像纵轴是"水量"，不是"水位差"。）

第 7 题｜选糖果 E 的比例（答案 E）

题目：条形图显示五种糖果的选择人数：A 6 人、B 8 人、C 4 人、D 2 人、E 5 人。选择 E 的占全班百分之多少？选项：5%、12%、15%、16%、20%。

解析：总人数 = 6 + 8 + 4 + 2 + 5 = 25。

选 E 的比例 = 5 ÷ 25 = 0.20 = 20%。选 E。

（易错点：① 分母是全班 25 人，不是"最高柱"的 8；② 5/25 = 1/5 = 20%；③ 选项 A 的 5 是"人数"，不是百分比。）

第 8 题｜80 年代的欧洲邮票（答案 D）

题目：Juan 的邮票按国家与年代统计（巴西 4/7/12/8、法国 8/4/12/15、秘鲁 6/4/6/10、西班牙 3/9/13/9，列依次为 50s、60s、70s、80s）。他的欧洲邮票有多少张是 80 年代的？选项：9、15、18、24、42。

解析：欧洲国家是法国与西班牙。80 年代：法国 15 张、西班牙 9 张。

合计 15 + 9 = 24。选 D。

（易错点：① 巴西、秘鲁是南美，不能算进来（算进来会得 42，正是选项 E）；② 只看 80s 那一列，别把各年代相加；③ 15 只是法国的数量，漏了西班牙。）

第 9 题｜70 年代前的南美邮票花费（答案 B）

题目：接上题（巴西 6 美分/张、法国 6 美分、秘鲁 4 美分、西班牙 5 美分）。他 70 年代之前发行的南美邮票共花了多少钱？选项：0.40、1.06、1.80、2.38、2.64 美元。

解析：南美 = 巴西 + 秘鲁；"70 年代之前"= 50s 与 60s 两列。

巴西：(4 + 7) × 6 = 11 × 6 = 66 美分；秘鲁：(6 + 4) × 4 = 10 × 4 = 40 美分。

合计 66 + 40 = 106 美分 = 1.06 美元。选 B。

（易错点：① 单价因国家不同，不能用同一个价格乘总数；② "70 年代之前"不含 70s 本身；③ 66 + 40 = 106 美分，换算成美元是 1.06，别写成 10.6。）

第 10 题｜70 年代邮票的平均价（答案 E）

题目：接上题。他 70 年代所有邮票的平均价格最接近多少？选项：3.5、4、4.5、5、5.4 美分。

解析：70s 各列张数：巴西 12、法国 12、秘鲁 6、西班牙 13，共 43 张。

总价 = 12×6 + 12×6 + 6×4 + 13×5 = 72 + 72 + 24 + 65 = 233 美分。

平均 = 233 ÷ 43 ≈ 5.42，最接近 5.4 美分。选 E。

（易错点：① 权数是各国的张数，不是简单地 (6 + 6 + 4 + 5)/4 = 5.25；② 分母是 43 张，不是 4 个国家；③ 5.42 与 5.4 的差异来自四舍五入。）

第 11 题｜第七个正方形多用多少块（答案 C）

题目：一系列正方形由相同瓷砖铺成，每个正方形的边长比前一个多 1 块瓷砖。前三个如图为 1×1、2×2、3×3。第七个正方形比第六个多需要多少块？选项：11、12、13、14、15。

解析：边长为 n 的正方形需 n² 块瓷砖。第六个 6² = 36，第七个 7² = 49。

多需要 49 − 36 = 13 块。选 C。

（易错点：① 边长增加 1，面积增加的是 2n + 1 = 13，而不是 7 或 6；② 顺序别搞反（问"第七比第六多"）；③ 从图可看出第一个是 1×1，所以第 n 个就是 n×n。）

第 12 题｜转盘停在 C 的概率（答案 B）

题目：转盘分为 A、B、C 三个区域，P(A) = 1/3，P(B) = 1/2。P(C) 是多少？选项：1/12、1/6、1/5、1/3、2/5。

解析：三个区域互斥且穷尽全部结果，概率之和为 1。

P(C) = 1 − 1/3 − 1/2 = 6/6 − 2/6 − 3/6 = 1/6。选 B。

（易错点：① 1/3 + 1/2 = 5/6，别算成 2/5；② 通分到 6 最稳；③ 若先验算"面积是否给出"——本题只靠概率和就能定，不需要扇形大小。）

第 13 题｜大三倍的盒子能装多少（答案 E）

题目：Bert 的盒子装满可放 125 颗果冻豆。Carrie 的盒子高、宽、长都是 Bert 的 2 倍，约能放多少颗？选项：250、500、625、750、1000。

解析：三个方向都放大 2 倍，体积放大 2³ = 8 倍。

果冻豆数 ≈ 125 × 8 = 1000。选 E。

（易错点：① 不是 2 倍（250）也不是 4 倍（500），体积是三维的；② "约"字说明颗粒空隙比例不变，可直接按体积缩放；③ 125 = 5³ 也是提示：边长放大 2 倍即 (10)³ = 1000。）

第 14 题｜两次打折的总折扣（答案 B）

题目：先打 7 折（降 30%），再在此价格上降 20%，商人却声称总共降了 50%。实际总折扣是多少？选项：35%、44%、50%、56%、60%。

解析：设原价为 100。第一次折后 70，第二次再乘 0.8 得 56。

总折扣 = (100 − 56)/100 = 44%。选 B。

（易错点：① 30% + 20% = 50% 是错的，第二次的 20% 是按"已打折价"算的；② 连乘 0.7 × 0.8 = 0.56；③ 商人的"50% off"是虚假宣传，实际只有 44%。）

第 15 题｜哪个格点多边形面积最大（答案 E）

题目：五个点阵上的多边形，哪个面积最大？选项：A、B、C、D、E。

解析：把每个多边形切成"整格（面积 1）"和"半格直角三角形（面积 1/2）"再累加，依次得到：

A = 5；B = 5；C = 5；D = 4.5；E = 5.5。

最大的是 E（5.5）。选 E。

（另一条快路：这些图形内部都没有格点，用 Pick 定理 A = I + B/2 − 1 = B/2 − 1，只需数边界上的格点数。E 的边界上有 13 个格点 → 13/2 − 1 = 5.5，最大。易错点：① 斜边围出的三角形只能算半格；② D 的斜边较多，面积反而只有 4.5；③ A、B、C 恰好都是 5，不能凭"看起来大"去猜。）

第 16 题｜三条边上的等腰直角三角形（答案 E）

题目：在 3-4-5 直角三角形的三条边上各作一个等腰直角三角形，面积分别为 X（在边 3 上）、Y（在边 4 上）、Z（在边 5 上）。下列哪个成立？选项：(A) X + Z = W + Y；(B) W + X = Z；(C) 3X + 4Y = 5Z；(D) X + W = (1/2)(Y + Z)；(E) X + Y = Z。

解析：以边 s 为斜边作等腰直角三角形时，直角边长 = s/√2，面积 = 1/2 × (s/√2)² = s²/4。

于是 X = 9/4，Y = 16/4 = 4，Z = 25/4。

检验：X + Y = 9/4 + 16/4 = 25/4 = Z ✓。选 E。

（本质：面积与边长的平方成正比，而 3² + 4² = 5²，所以两个小三角形面积之和等于大三角形的面积——这是勾股定理的"面积版本"。易错点：① 边长别当成直角边（那样面积会是 s²/2）；② 选项 (A)(B) 里的 W 是原三角形内部的区域，不参与这个关系。）

第 17 题｜答对几题得 29 分（答案 C）

题目：10 题竞赛，答对得 5 分、答错扣 2 分，Olivia 全答了且得 29 分。她答对几题？选项：5、6、7、8、9。

解析：设答对 c 题，则答错 10 − c 题：5c − 2(10 − c) = 29。

化简 7c − 20 = 29 → 7c = 49 → c = 7。选 C。

（易错点：① 答错要扣 2 分，不是 0 分；② 也可用假设法：全对得 50 分，每错一题少 7 分，(50 − 29) ÷ 7 = 3 题错 → 对 7 题；③ 29 ≡ 1 (mod 7) 也提示 7 的倍数关系。）

第 18 题｜第九天要滑多久（答案 E）

题目：前 5 天每天 1 小时 15 分，接着 3 天每天 1 小时 30 分，第 9 天要滑多久才能使 9 天平均每天 85 分钟？选项：1 小时、1 小时 10 分、1 小时 20 分、1 小时 40 分、2 小时。

解析：9 天总时长 = 9 × 85 = 765 分钟。

前 8 天 = 5 × 75 + 3 × 90 = 375 + 270 = 645 分钟。

第 9 天 = 765 − 645 = 120 分钟 = 2 小时。选 E。

（易错点：① 1 小时 15 分 = 75 分钟，1 小时 30 分 = 90 分钟，换算别错；② 平均 85 分钟 × 9 天，不是 × 8；③ 120 分钟 = 2 小时，别写成 1 小时 20 分（选项 C 的陷阱）。）

第 19 题｜恰好含一个 0 的三位数（答案 D）

题目：99 与 999 之间有多少个整数恰好含一个数字 0？选项：72、90、144、162、180。

解析：这个范围内恰好是全部三位数（100—999 中除去 999，但 999 不含 0，不影响）。三位数含一个 0 有两种情形：

个位是 0：十位可取 1—9（9 种），百位可取 1—9（9 种）→ 81 个；

十位是 0：个位可取 1—9（9 种），百位可取 1—9（9 种）→ 81 个。

合计 81 + 81 = 162。选 D。

（易错点：① 百位不能是 0（否则不是三位数），所以"百位为 0"的情形不算；② 两种情形不重叠（一个数不可能个位和十位同时为 0 又"恰好一个 0"）；③ 若误把十位可取 0—9 都算进去，会得 90。）

第 20 题｜阴影部分的面积（答案 D）

题目：△XYZ 面积 8 平方英寸，A、B 分别是 XY、XZ 的中点，高 XC 平分 YZ（即 C 是 YZ 中点）。求阴影部分面积。选项：1.5、2、2.5、3、3.5。

解析：连 AB 后，A、B 是中点，所以 AB ∥ YZ 且 AB = YZ/2，△XAB 与 △XYZ 相似、相似比 1/2，面积比为 1/4。

△XAB 面积 = 8 × 1/4 = 2，故 AB 以下的梯形面积 = 8 − 2 = 6。

XC 是等腰三角形底边上的高，把整个图形左右对称分开；阴影正是梯形中位于 XC 左侧的那一半：6 ÷ 2 = 3。选 D。

（易错点：① 中点连线面积是 1/4，不是 1/2；② 阴影是"梯形的一半"，别把 △XAB 也算进去（若算进去会得 2 + 3 = 5 或误答 2）；③ 对称性依赖于"高平分 YZ"，即图形左右对称。）

第 21 题｜正面不少于反面（答案 E）

题目：掷一枚硬币 4 次，正面次数不少于反面的概率是多少？选项：5/16、3/8、1/2、5/8、11/16。

解析：共 2⁴ = 16 种等可能结果。正面次数 ≥ 反面次数 ⟺ 正面次数 ≥ 2。

正面恰 2 次：C(4,2) = 6 种；恰 3 次：4 种；恰 4 次：1 种。合计 11 种。

概率 = 11/16。选 E。

（也可用对称：正面多于反面的概率 = 反面多于正面的概率 = (16 − 6)/2 = 5，故 P(正面 ≥ 反面) = (16 + 6)/2 ÷ 16 = 11/16。易错点：① "至少一样多"包括相等的情形；② 恰 2 次正面的 6 种别漏。）

第 22 题｜六个正方体的表面积（答案 C）

题目：6 个棱长 1 英寸的正方体粘成一个连通立体（含顶、底、侧面），总表面积是多少平方英寸？选项：18、24、26、30、36。

解析：6 个正方体各自独立时表面积之和 = 6 × 6 = 36。

它们连成一个整体共需 5 对贴合面（连通的 6 块最少 5 处接触，图中正是这种"树状"搭法）。每贴合一处，两边的面都藏起来，共减少 2 平方英寸。

总表面积 = 36 − 2 × 5 = 26。选 C。

（易错点：① 贴合 1 处减少的是 2 个面，不是 1 个；② 若只减 5（忘乘 2）会得 31，不在选项；③ 若有几块同时贴两块，接触处会更多、表面积更小——本题图中接触处恰为 5 处。）

第 23 题｜深色瓷砖占多少（答案 B）

题目：图中是地板的一个角，深色（灰色）瓷砖按"风车"式的周期图案铺开，四个角都与此角相同。深色瓷砖占整个地板的几分之几？选项：1/3、4/9、1/2、5/9、5/8。

解析：观察图案的重复单元：把地板按 3 × 3 的方块划分，每个 3 × 3 的单元里深色瓷砖有 4 块（一条长 2 的竖带 + 一条长 2 的横带，两带交叠成"风车"的一半）。

所以深色比例 = 4/9。选 B。

（思路：先找"最小重复单元"，再数单元内深色格数，比例与地板大小无关。易错点：① 不要按"角落看到的灰色块数 ÷ 角落总块数"去算，角落不是完整周期；② 4/9 略小于 1/2，可从图中灰色明显少于一半来印证；③ 四个角图案相同的条件保证了周期在边界处也一致。）

第 24 题｜梨汁占混合汁多少（答案 B）

题目：3 个梨榨 8 盎司梨汁，2 个橙子榨 8 盎司橙汁。用同样多的梨和橙子做混合汁，梨汁占百分之多少？选项：30、40、50、60、70。

解析：取 6 个梨与 6 个橙子（数量相同）：梨汁 = (6/3) × 8 = 16 盎司；橙汁 = (6/2) × 8 = 24 盎司。

梨汁占比 = 16 ÷ (16 + 24) = 16/40 = 40%。选 B。

（通用做法：每个梨出 8/3 盎司，每个橙子出 4 盎司，二者数量相同时比例 = (8/3)/(8/3 + 4) = 2/5 ✓。易错点：① 不是"3 : 2 所以梨汁少"就算 40%——要按出汁量算；② 分母是总汁量 40，不是水果总数；③ 选项 C 的 50% 是"以为数量相同就各占一半"的陷阱。）

第 25 题｜Ott 占多少钱（答案 B）

题目：Ott 原本没钱。Moe 给他自己钱的 1/5、Loki 给 1/4、Nick 给 1/3，三人给的钱数相同。现在 Ott 的钱占四人总钱的几分之几？选项：1/10、1/4、1/3、2/5、1/2。

解析：设每人都给了 x 元。既然 x 分别是 Moe、Loki、Nick 原有钱的 1/5、1/4、1/3，那么三人原有的钱依次是 5x、4x、3x。

给完之后：Moe 剩 4x、Loki 剩 3x、Nick 剩 2x，Ott 有 x + x + x = 3x。四人合计 4x + 3x + 2x + 3x = 12x（给钱只是转移，总钱数不变）。

比例 = 3x ÷ 12x = 1/4。选 B。

（易错点：① 不能用 1/5 + 1/4 + 1/3 相加——三人的"基数"不同；② 分母是四人合计 12x，其中 Ott 的 3x 已包含在内，不要再另加；③ 用具体数验证：取 x = 60，三人原有 300、240、180（合计 720），给出后剩 240、180、120，Ott 得 180，180/720 = 1/4 ✓。）

三、复盘建议

本卷强调"读图 + 比例 + 平面几何"，题面信息多藏在图表里。建议按模型整理：

比例与百分比：第 2、3、7、10、13、14、17、18、24、25 题——奇偶性筛 5 元张数、平均值要取最小四个、占比分母是总人数、加权平均的权数是张数、体积按三次方放大、连续打折要连乘、答错要扣分、平均时长乘天数、出汁量与水果数要分清、给钱比例反推原有钱数；

几何度量：第 1、15、16、20、22 题——圆与直线交点数、格点多边形"整格 + 半格"或 Pick 定理、等腰直角三角形面积 = 斜边²/4、中点连线面积 1/4、贴合面每处减 2；

计数与概率：第 4、12、19、21 题——回文年份按 ABBA 构造、概率和为 1、含一个 0 的三位数分两类、二项分布数样本点；

图表与规律：第 5、6、11、23 题——星期以 7 为周期、净流入速度决定斜率、n² 的增长差 2n + 1、铺砖找最小重复单元；

易混清单：30% + 20% ≠ 50%、贴合 1 处减 2 个面、平均分差要除项数、120 分钟是 2 小时——逐条记入错题本。