2001 年 AMC 8 真题

2001 AMC 8 真题答案与逐题解析

本解析对应 MAA《2001 AMC 8》（美国数学竞赛 8 级）中英双语真题卷。全卷 25 道单项选择题（选项 A—E），限时 40 分钟。下面先给出答案速查表，再逐题给出中文详细解析。全部答案与卷末答案表逐题核对一致；其中风筝面积与金箔废料、坐标四边形面积、中点三角形分类与倍数筛选（第 7、8、9、11、23、25 题）另经网格坐标计算、鞋带公式、全等分类与整除检验独立复核。

图形题说明：本卷有 7 道题依赖图形（第 7、8、9、11、16、19、24 题）。原 PDF 的风筝网格图、速度图与三角形拼图无法从文字层提取，解析中已把图形信息改写成可直接推算的数据（如"风筝画在 6 × 7 英寸的网格上，两条对角线分别长 6 与 7 英寸"、"六点为正三角形三顶点与三中点"），不看原图也能复核。

一、答案速查表

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9
答案	D	D	E	E	C	B	A	E	D

题号	10	11	12	13	14	15	16	17	18
答案	A	C	A	D	C	A	E	B	D

题号	19	20	21	22	23	24	25
答案	D	A	D	E	D	B	D

二、逐题解析

以下按题号顺序给出 25 题的中文解析。每题先复述题干的关键数据与选项，再给完整推理，最后附易错点或更快的替代解法。标注“（答案 X）”的括号内即为该题正确选项。

第 1 题｜画凹坑要多少分钟（答案 D）

题目：要在高尔夫球上画 300 个凹坑，每个用 2 秒，共需多少分钟？选项：4、6、8、10、12。

解析：总秒数 = 300 × 2 = 600 秒。

600 ÷ 60 = 10 分钟。选 D。

（易错点：① 600 秒不是 600 分钟，别忘了除以 60；② 选项 C 的 8 是"300 ÷ 40"之类的错算；③ 也可以先化成"每分钟画 30 个"，300 ÷ 30 = 10 分钟。）

第 2 题｜积 24、和 11（答案 D）

题目：两个整数的积是 24、和是 11，较大的数是多少？选项：3、4、6、8、12。

解析：枚举 24 的因数对：(1,24)、(2,12)、(3,8)、(4,6)。其中和为 11 的是 3 与 8。

较大的数是 8。选 D。

（易错点：① 其他因数对的和分别是 25、14、10，都不等于 11；② 别把"较大数"答成 3；③ 也可设 x + y = 11、xy = 24，解得 3 与 8。）

第 3 题｜Elberta 有多少钱（答案 E）

题目：Smith 奶奶有 63 美元，Anjou 的钱是她的三分之一，Elberta 比 Anjou 多 2 美元。Elberta 有多少美元？选项：17、18、19、21、23。

解析：Anjou = 63 ÷ 3 = 21 美元。

Elberta = 21 + 2 = 23 美元。选 E。

（易错点：① "Elberta 比 Anjou 多 2"是以 Anjou 为基准，不是以奶奶为基准；② 选项 D 的 21 是 Anjou 的钱；③ 63 ÷ 3 = 21 是"三分之一"，别算成 63 × 1/3 之外的量。）

第 4 题｜最小的五位偶数（答案 E）

题目：用 1、2、3、4、9 各一次组成最小的五位偶数，十位数字是多少？选项：1、2、3、4、9。

解析：要使数最小，高位应尽量小，但末位必须是偶数（2 或 4）。

若末位取 4，前四位由 1、2、3、9 按升序排成 1239，得 12394；若想更小需末位取 2，但那样前四位是 1、3、4、9 → 13492，反而更大。

所以最小的数是 12394，十位数字为 9。选 E。

（易错点：① 只盯着"末位取 2"会得更大的数，必须整体比较；② 12234 之类的重复数字不允许（每个数字只能用一次）；③ 十位是倒数第二位，别看成个位。）

第 5 题｜闪电有多远（答案 C）

题目：看到闪电 10 秒后听到雷声，声速 1088 英尺/秒，1 英里 = 5280 英尺。距离约多少英里（精确到 0.5 英里）？选项：1、1.5、2、2.5、3。

解析：距离 = 1088 × 10 = 10880 英尺。

10880 ÷ 5280 ≈ 2.06 英里，精确到 0.5 英里为 2 英里。选 C。

（易错点：① 2.06 距 2 只差 0.06，远小于距 2.5 的 0.44，所以取 2；② 光速极快，可视作"立即看到"，时间差全归雷声；③ 别把 5280 当成 1000。）

第 6 题｜第一棵到最后一棵（答案 B）

题目：6 棵树等距排成一行，第 1 棵到第 4 棵相距 60 英尺，第 1 棵到第 6 棵相距多少英尺？选项：90、100、105、120、140。

解析：第 1 棵到第 4 棵之间有 3 个间隔，故每个间隔 = 60 ÷ 3 = 20 英尺。

第 1 棵到第 6 棵之间有 5 个间隔，距离 = 5 × 20 = 100 英尺。选 B。

（易错点：① 6 棵树只有 5 个间隔，不是 6 个；② 4 棵树是 3 个间隔，别直接 60 ÷ 4；③ 选项 A 的 90 是按"每棵 15 英尺"错算的。）

第 7 题｜小风筝的面积（答案 A）

题目：小风筝画在 6 × 7 英寸的方格纸上，形状是两条对角线分别等于纸宽与纸高的风筝。面积是多少平方英寸？选项：21、22、23、24、25。

解析：风筝的两条对角线互相垂直，长度分别为 6 英寸（横向）与 7 英寸（纵向）。

对角线互相垂直的四边形面积 = 对角线乘积的一半 = (6 × 7) ÷ 2 = 21。选 A。

（易错点：① 不要用"长 × 宽"，那是外接矩形的面积 42；② 风筝恰好占矩形的一半，21 = 42 ÷ 2；③ 这个公式对任何"对角线垂直"的四边形都成立，不必是菱形。）

第 8 题｜大风筝的十字支架（答案 E）

题目：大风筝是把整个网格的高与宽都放大 3 倍得到的。给大风筝做十字支架（即两条对角线），需要多少英寸材料？选项：30、32、35、38、39。

解析：小风筝的两条对角线为 6 与 7 英寸，和为 13 英寸。

尺寸放大 3 倍后，两条对角线变为 18 与 21 英寸，支架总长 = 18 + 21 = 39 英寸。选 E。

（易错点：① 长度按 3 倍放大，面积才按 9 倍放大，别混；② 十字支架 = 两条对角线之和，不要求"斜边"；③ 13 × 3 = 39 是最快的算法。）

第 9 题｜切下的金箔废料（答案 D）

题目：大风筝用金箔覆盖，金箔从"刚好盖住整个网格"的矩形上剪下。四个角上共切下多少平方英寸废料？选项：63、72、180、189、264。

解析：大风筝的网格是 18 × 21 英寸，矩形金箔面积 = 18 × 21 = 378。

大风筝面积 = 小风筝 21 × 9 = 189（面积按 3² 放大）。

废料 = 378 − 189 = 189 平方英寸。选 D。

（易错点：① 网格尺寸要乘 3（18、21），面积乘 9；② 风筝恰好占外接矩形的一半，所以废料与风筝面积相等（都是 189）——这是很好的自查；③ 选项 A 的 63 是"小风筝的废料 × 3"，错在面积不能按 3 倍放大。）

第 10 题｜四枚州币卖多少钱（答案 A）

题目：收藏家按面值的 2000% 收购州币。Bryden 的 4 枚 25 美分硬币能卖多少钱？选项：20、50、200、500、2000 美元。

解析：2000% = 20 倍。单枚卖 0.25 × 20 = 5 美元。

4 枚共 20 美元。选 A。

（易错点：① 2000% 是 20 倍，不是 2000 倍；② 4 × 5 = 20，不是 4 × 0.25 × 2000；③ 选项 C 的 200 是"4 × 50"的错算。）

第 11 题｜四边形 ABCD 的面积（答案 C）

题目：A(3, 2)、B(3, −2)、C(−3, −2)、D(−3, 0)，求四边形 ABCD 的面积。选项：12、15、18、21、24。

解析：先看四个顶点的位置：A(3, 2) 与 B(3, −2) 都在直线 x = 3 上，所以 AB 是竖直边，长度 4；C(−3, −2) 与 D(−3, 0) 都在直线 x = −3 上，所以 CD 也是竖直边，长度 2。

又因为 B、C 的纵坐标同为 −2，BC 是水平边，长度 6；剩下 DA 是斜边。于是 AB 与 CD 这两条竖直边互相平行，ABCD 是一个直角梯形：上底 AB = 4、下底 CD = 2，而两平行线 x = 3 与 x = −3 之间的距离就是梯形的高 6。

套梯形面积公式：S = (AB + CD) ÷ 2 × 高 = (4 + 2) ÷ 2 × 6 = 18。

用鞋带公式复核：按 A → B → C → D 绕边界一周，S = 1/2 × |(3×(−2) + 3×(−2) + (−3)×0 + (−3)×2) − (2×3 + (−2)×(−3) + (−2)×(−3) + 0×3)| = 1/2 × |(−6 − 6 + 0 − 6) − (6 + 6 + 6 + 0)| = 1/2 × |−18 − 18| = 18，两者一致。

所以面积 = 18。选 C。

（易错点：① 梯形的两条平行边是 AB 与 CD，不是 AB 与 BC——BC 是水平的高，别搞混；② 鞋带公式里顶点必须按沿边界绕行的顺序代入，交叉顺序会算错；③ 若按"宽 6 高 4 的矩形减三角形"来算，被减掉的三角形是顶点 A(3,2)、D(−3,0)、E(3,0) 的那个，面积 1/2 × 6 × 2 = 6，24 − 6 = 18 也对，但容易把减去的三角形找错。）

第 12 题｜自定义运算（答案 A）

题目：定义 a ⊗ b = (a + b)/(a − b)，求 (6 ⊗ 4) ⊗ 3。选项：4、13、15、30、72。

解析：先算括号内：6 ⊗ 4 = (6 + 4)/(6 − 4) = 10/2 = 5。

再算 5 ⊗ 3 = (5 + 3)/(5 − 3) = 8/2 = 4。选 A。

（易错点：① 必须自左向右按括号计算，不能先算 4 ⊗ 3；② 分母是 a − b，注意顺序（b − a 会得相反数）；③ 结果恰好是整数，若算出分数说明运算顺序或符号错了。）

第 13 题｜樱桃派的扇形角度（答案 D）

题目：36 名学生中，喜欢巧克力派 12 人、苹果 8 人、蓝莓 6 人，其余的人中一半喜欢樱桃、一半喜欢柠檬。饼图中樱桃派应占多少度？选项：10、20、30、50、72。

解析：已选 12 + 8 + 6 = 26 人，剩 36 − 26 = 10 人，樱桃 5 人。

角度 = (5/36) × 360° = 50°。选 D。

（易错点：① "其余的人中一半"是 10 的一半 = 5，不是 36 的一半；② 1 人对应 10°，所以 5 人 = 50°，可以直接这样算；③ 360° 是整圆，别用 180°。）

第 14 题｜自助餐的组合数（答案 C）

题目：选 1 种肉（3 种可选）、2 种不同蔬菜（4 种可选）、1 种甜点（4 种可选），共多少种搭配？选项：4、24、72、80、144。

解析：肉：3 种；蔬菜：从 4 种中选 2 种，C(4,2) = 6；甜点：4 种。

总数 = 3 × 6 × 4 = 72。选 C。

（易错点：① 蔬菜是"选 2 种不排序"，不能用 4 × 3 = 12（那是排列）；② 三步用乘法原理相乘；③ 选项 E 的 144 是把蔬菜按 12 算的结果。）

第 15 题｜Christen 剥了多少土豆（答案 A）

题目：共 44 个土豆。Homer 以 3 个/分钟先剥，4 分钟后 Christen 加入，以 5 个/分钟一起剥，剥完时 Christen 剥了多少个？选项：20、24、32、33、40。

解析：前 4 分钟 Homer 剥了 3 × 4 = 12 个，剩 44 − 12 = 32 个。

两人合作速度 3 + 5 = 8 个/分钟，需 32 ÷ 8 = 4 分钟。Christen 剥了 5 × 4 = 20 个。选 A。

（易错点：① 后续 32 个由两人共同完成，别当成 Homer 一个人剥；② Christen 只工作了 4 分钟，不是 8 分钟；③ 验证：Homer 共剥 12 + 12 = 24，24 + 20 = 44 ✓。）

第 16 题｜小矩形与大矩形的周长比（答案 E）

题目：边长 4 英寸的正方形纸竖直对折，再把两层沿平行于折痕的方向各切一半，得到 3 个矩形（1 大 2 小）。一个小矩形与大矩形的周长之比是多少？选项：1/3、1/2、3/4、4/5、5/6。

解析：对折后纸片是 2 英寸宽 × 4 英寸高、两层。沿平行于折痕的方向（竖直方向）把它切成两半，每半是 1 × 4。

展开后：含折痕的那一半连成 2 × 4 的大矩形，另一侧的两层各自是 1 × 4 的小矩形。

小矩形周长 = 2(1 + 4) = 10；大矩形周长 = 2(2 + 4) = 12。比值 = 10/12 = 5/6。选 E。

（易错点：① 切的方向"平行于折痕"意味着切出的是竖直长条，尺寸 1 × 4 而不是 2 × 2；② 展开后大矩形宽 2、小矩形宽 1，高都是 4；③ 比值 5/6 说明小矩形周长略小但不是一半。）

第 17 题｜增幅最小的相邻两题（答案 B）

题目：15 道题的奖金依次为 100、200、300、500、1K、2K、4K、8K、16K、32K、64K、125K、250K、500K、1000K。哪两道题之间的涨幅百分比最小？选项：1→2、2→3、3→4、11→12、14→15。

解析：逐个算涨幅：1→2 是 100%；2→3 是 (300−200)/200 = 50%；3→4 是 (500−300)/300 ≈ 66.7%；11→12 是 (125−64)/64 ≈ 95.3%；14→15 是 (1000−500)/500 = 100%。

最小的是 2→3 的 50%。选 B。

（易错点：① 比的是"百分比"不是"绝对差"（绝对差最大的是 14→15 的 500K）；② 用"后项 ÷ 前项 − 1"最稳；③ 大部分相邻题的奖金翻倍（100%），只有 2→3、3→4 等少数不是。）

第 18 题｜两骰之积是 5 的倍数（答案 D）

题目：掷两枚骰子，两数之积是 5 的倍数的概率是多少？选项：1/36、1/18、1/6、11/36、1/3。

解析：积是 5 的倍数 ⟺ 至少有一枚掷出 5（骰面只有 1—6，5 是唯一的 5 的倍数）。

用补事件：两枚都不是 5 的概率 = (5/6)² = 25/36，故所求 = 1 − 25/36 = 11/36。选 D。

（直接数：共 36 种，(5,·) 6 种、(·,5) 6 种，(5,5) 重复 1 次 → 11 种。易错点：① 别漏"重复计一次"；② 积为 5 的倍数不要求含因子 25；③ 选项 B 的 1/18 是"两枚都是 5"的概率。）

第 19 题｜两倍速度的行驶图（答案 D）

题目：M 车以恒定速度行驶了给定时间（虚线）。N 车以两倍速度行驶了同样的距离，其"速度—时间"图像应是哪张？选项图中：(A) N 在更高处且时间更长；(B) N 在更高处且时间更长；(C) N 在更低处；(D) N 在更高处且时间只有一半；(E) N 在更低处且时间更长。

解析：同样距离下，速度变为 2 倍 ⇒ 时间变为 1/2（因为 距离 = 速度 × 时间）。

所以 N 的图像应是"高度为 M 的 2 倍、长度为 M 的一半"的水平线，只有图 (D) 符合。选 D。

（易错点：① 速度与时间成反比，不是同时变大；② 图像中"曲线下的面积"代表距离，两图面积应相等——可用来自查；③ (A)(B) 的高度都对，但长度没缩短，面积就变大了。）

第 20 题｜三人的分数排序（答案 A）

题目：Quay 说"我们中至少两人分数相同"；Marty 说"我没得到最低分"；Shana 说"我没得到最高分"。把 M、Q、S 的分数从低到高排列。选项：(A) S, Q, M；(B) Q, M, S；(C) Q, S, M；(D) M, S, Q；(E) S, M, Q。

解析：关键在题干开头那句容易被跳过的话：Kaleana 只把自己的分数给 Quay、Marty、Shana 三个人看了，其余人的分数都保密。所以这三个人手里唯一确定的参考分数就是 Kaleana 的分数 K，他们"认为"的内容必须仅凭 K 就能断定，否则他们不敢这么想。

① Quay 认为"我们中至少有两人同分"。他手里只有 K，若不是自己的分数刚好等于 K，他没有任何依据说谁和谁同分。所以 Q = K。

② Marty 认为"我没有得到最低分"。他只比 K，能断定自己不是最低，说明 K 一定比他低：M ＞ K。

③ Shana 认为"我没有得到最高分"。同理，只比 K 就能断定自己不是最高，说明 K 一定比她高：S ＜ K。

把 Q = K 代入后两条，得到 S ＜ K = Q ＜ M，即 S ＜ Q ＜ M。

所以从低到高为 S、Q、M。选 A。

（易错点：① 最容易漏掉"Kaleana 只给他们三人看了分数"——三句话都是从 K 推出来的结论，不是凭空知道彼此分数；② 若只把三句当"同时成立的三条事实"，(C) Q, S, M 也能凑出来（令 Q = S 并列最低、M 最高），但那样 Quay 与 Shana 无从知道对方和自己同分，逻辑上站不住，这正是 (C) 的陷阱；③ 题目要求"低 → 高"，别按高到低写。）

第 21 题｜最大数的最大可能值（答案 D）

题目：五个互不相同的正整数平均数为 15，中位数为 18。最大的数最大可能是多少？选项：19、24、32、35、40。

解析：五数之和 = 5 × 15 = 75。排序后第三个数（中位数）为 18。

要最大数尽量大，其余四个要尽量小：前两个取 1、2；第三个数固定 18；第四个数须大于 18，最小取 19。

最大数 = 75 − (1 + 2 + 18 + 19) = 75 − 40 = 35。选 D。

（易错点：① 第四个数必须严格大于 18，最小是 19；② 五个数互不相同，"1、1"不允许；③ 选项 E 的 40 是"忘记第四个数也要占位"的错算。）

第 22 题｜不可能的分数（答案 E）

题目：20 题测验：答对得 5 分、未答得 1 分、答错得 0 分。下列哪个分数不可能？选项：90、91、92、95、97。

解析：设答对 c 题、未答 u 题，则 分数 = 5c + u，且 c + u ≤ 20。

检验 97：需 5c ≤ 97 → c ≤ 19。 c = 19 ⇒ u = 97 − 95 = 2，但 c + u = 21 ＞ 20 ✗；c = 18 ⇒ u = 7，和 25 ✗；c = 17 ⇒ u = 12，和 29 ✗；c = 16 ⇒ u = 17，和 33 ✗。

所以 97 分不可能。其余：90 = 5×18、91 = 5×18 + 1、92 = 5×18 + 2、95 = 5×19 都能凑出。选 E。

（易错点：① 必须同时满足 c + u ≤ 20，只看 5c + u 会误判；② 高分时容易"答对数太多导致没有位置留给未答题"；③ 用 c = 20 时最高 100 分，故 97 只能在 c = 19 附近试。）

第 23 题｜不全等的三角形个数（答案 D）

题目：等边三角形三顶点 R、S、T 与三边中点 X、Y、Z 共 6 点，任取 3 点为顶点，可画出多少个不全等的三角形？选项：1、2、3、4、20。

解析：设大三角形边长为 2（则半边长为 1），按三边长度分类（去掉三点共线的退化情形）：

边长 (1, 1, 1)：如 R-X-Y、X-Y-Z 等小等边三角形；

边长 (1, 1, √3)：如 R-X-Z（RX = XZ = 1，RZ = √3）；

边长 (1, √3, 2)：如 R-Y-T，是 30°-60°-90° 直角三角形；

边长 (2, 2, 2)：只有 R-S-T 这个大等边三角形。

共 4 类。选 D。

（易错点：① 20 是 C(6,3) 的总数，未去掉 3 组共线三点（R-X-T、R-Y-S、S-Z-T），也未合并全等；② 按"边长三元组"分类是判断全等最快的方法；③ √3 边来自中线长度，不能忽略。）

第 24 题｜重合的白三角形对数（答案 B）

题目：图形上下两半各由 3 个红、5 个蓝、8 个白三角形组成。上半折下时，红-红重合 2 对、蓝-蓝重合 3 对，另有 2 对"红-白"重合。问白-白重合多少对？选项：4、5、6、7、9。

解析：折叠让上半每个三角形与下半唯一对应，所以可以"逐色配对"。

上半有 3 个红：其中 2 个配成红-红对，剩下的 1 个必须配进"红-白"对（红在上、白在下）。题目说有 2 对红-白，另一对是"白在上、红在下"。

上半有 8 个白：1 个用于上面那对红-白，另需 2 个与下半的蓝配对（因为上半 5 个蓝中只有 3 对被蓝-蓝用掉，余 2 个蓝必须与白相配，对应 2 对"蓝-白"）。

于是白-白对 = 8 − 1 − 2 = 5。选 B。

（易错点：① 要以上半的每种颜色的总数做"预算"；② "2 对红-白"中只有 1 对的红在上半；③ 上半剩的 2 个蓝必须找非蓝的配对，这才消耗掉 2 个白。）

第 25 题｜哪一个是另一个的倍数（答案 D）

题目：用 2、4、5、7 各一次可组成 24 个四位数，其中只有一个数是另一个的倍数。下列哪个是它？选项：5724、7245、7254、7425、7542。

解析：倍数关系只能是 2 倍或 3 倍（4 倍会使数超过 9999 太多，且 4 倍以上无解；这里逐一检验）。

试 7425 ÷ 3 = 2475 —— 恰好由 2、4、7、5 组成，且每个数字只用一次 ✓。

所以 7425 = 3 × 2475。选 D。

（验算：7425 的数字和 = 18 能被 3 整除，故 7425 是 3 的倍数，这是发现它的捷径。易错点：① 别去逐个试 24 个数，先看数字和筛掉大部分；② 倍数关系要求"商也由这四个数字组成"；③ 2 倍关系不存在，因为两数都要用同一组数字。）

三、复盘建议

本卷以"生活情境 + 图形度量"为主，计算不复杂但细节容易丢。建议按模型整理：

单位与比例：第 1、3、5、10、13、17 题——秒与分钟的换算、三分之一的基准、"精确到 0.5"的取整、2000% 是 20 倍、饼图 1 人 = 10°、涨幅要看百分比；

几何度量：第 7、8、9、11、16、23 题——对角线垂直的四边形面积 = 对角线积的一半、长度按 k 倍而面积按 k² 倍、鞋带公式与直角梯形、折叠后的尺寸、按边长三元组分类；

计数与组合：第 2、4、6、14、18、22、25 题——因数列举、最小偶数的整体比较、n 棵树有 n − 1 个间隔、C(4,2) 用于选蔬菜、补事件算概率、5c + u ≤ 20 的双约束、用数字和筛 3 的倍数；

推理与模型：第 12、15、19、20、21、24 题——自定义运算自左向右、合作效率相加、速度与时间成反比、三句真假代入检验、让其余数尽量小、按颜色做"预算"；

易混清单：42 与 21（矩形与风筝）、13 与 39、6 个间隔、面积按 9 倍、97 分的双约束——逐条记入错题本。