2000 年 AMC 8 真题

2000 AMC 8 真题答案与逐题解析

本解析对应 MAA《2000 AMC 8》（美国数学竞赛 8 级）中英双语真题卷。全卷 25 道单项选择题（选项 A—E），限时 40 分钟。下面先给出答案速查表，再逐题给出中文详细解析。全部答案与卷末答案表逐题核对一致；其中骰子点数、点阵四边形、三段圆弧围成区域、砖墙块数与五角星角度（第 8、18、19、12、24 题）另经图像连通域计数、鞋带公式、面积割补与三角形内角和独立复核。

图形题说明：本卷有 11 道题依赖图形（第 4、6、8、9、12、15、18、19、22、24、25 题）。原 PDF 的折线图、立体图与点阵图无法从文字层提取，解析中已把图形信息改写成可直接推算的数据（如"s 形阴影的四个年度数值是 5%、8%、15%、30%，最后一段最陡"、"大正方形边长 5，内含边长 3 的正方形与两个 1 × 1 正方形"、"三个骰子共 63 点，图上可见 22 点"），不看原图也能复核。

一、答案速查表

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9
答案	B	A	D	E	C	A	B	D	D

题号	10	11	12	13	14	15	16	17	18
答案	E	C	D	C	D	C	C	A	E

题号	19	20	21	22	23	24	25
答案	C	A	B	C	B	D	B

二、逐题解析

下面按题号逐题展开。每题依次给出三段：题目（中文改写，含全部选项）、解析（完整推理过程与验算）、易错点（括号内，指出常见错误与自查方法）。题目标题末尾标注的字母即正确选项，可与上面的速查表对照。

第 1 题｜Caitlin 的年龄（答案 B）

题目：Anna 阿姨 42 岁，Caitlin 比 Brianna 小 5 岁，Brianna 的年龄是 Anna 阿姨的一半。Caitlin 多大？选项：15、16、17、21、37。

解析：先算 Brianna：42 ÷ 2 = 21 岁。

再算 Caitlin：21 − 5 = 16 岁。选 B。

（易错点：① "比 Brianna 小 5 岁"是减去 5，别和"是 Brianna 的 5 分之几"混淆；② 顺序是 Anna → Brianna → Caitlin，不能跳过中间那步；③ 选项 (D) 21 是 Brianna 的年龄，(E) 37 是 42 − 5 的错算。）

第 2 题｜哪个数比它的倒数小（答案 A）

题目：下面哪个数比它的倒数小？选项：−2、−1、0、1、2。

解析：逐个求倒数并比较：

−2 的倒数是 −1/2，而 −2 ＜ −1/2 ✓；−1 的倒数是 −1，两者相等 ✗；0 没有倒数 ✗；1 的倒数是 1，相等 ✗；2 的倒数是 1/2，而 2 ＞ 1/2 ✗。

所以只有 −2 比它的倒数小。选 A。

（方法：对正数 x，x ＞ 1 时 x 比倒数大、0 ＜ x ＜ 1 时比倒数小；对负数恰好相反——负数越"大"（越接近 0）绝对值越小。易错点：① 忘记 0 没有倒数；② 误以为负数一定比倒数小，实际上 −1/2 的倒数是 −2，−1/2 ＞ −2。）

第 3 题｜区间内的整数个数（答案 D）

题目：在 5/3 与 2π 之间有多少个整数？选项：2、3、4、5、无穷多。

解析：5/3 ≈ 1.67，2π ≈ 2 × 3.14 = 6.28。

区间 (1.67, 6.28) 内的整数是 2、3、4、5、6，共 5 个。选 D。

（易错点：① 两端都不是整数，所以不含端点，不必纠结开闭；② 2π 要按 6.28 估，不能取 π = 3 得 6 就漏掉 6 这个数——π 取 3.14 时 6 仍小于 6.28，6 要算进去；③ 整数不含 1（1 ＜ 1.67）。）

第 4 题｜哪张折线图最贴切（答案 E）

题目：某市在家办公的劳动力比例：1960 年 5%、1970 年 8%、1980 年约 15%、1990 年 30%。哪张图最能体现这一变化？

解析：把四个数据点按年份排开：5 → 8 → 15 → 30。关键特征有两条：

① 起点很低（5%，在 10% 刻度线下方），终点 30%；② 三段涨幅依次是 +3、+7、+15，越往后越陡，最后一段最陡。所以曲线应"前面平缓、后面陡然上扬"。

逐图检验：(A) 起点已在 10%、末段只涨 8，不符；(B) 起点约 4% 但末段只涨 6，后段反而变平；(C) 70→80 猛涨 15、80→90 只涨 4，陡的地方错了；(D) 70→80 涨 18、80→90 几乎水平，明显错位；(E) 四个点依次约 5、8、15、30，末段最陡 ✓。

所以选 E。

（方法：这类"哪张图最贴切"的题不看细节像素，只看三件事——起点高度、终点高度、哪一段最陡。易错点：① 只盯着"最后到 30"而忽略中间过程；② (C)(D) 都是把"陡"放错了年代；③ 别忘了 1980 年的 15% 大约在 10% 与 20% 之间。）

第 5 题｜8 年内最多几任校长（答案 C）

题目：林肯高中每任校长的任期恰好是 3 年。在某个 8 年期内，这所学校最多可能有多少任校长？选项：2、3、4、5、8。

解析：关键是想清楚"8 年期的两端可以各被一任校长只覆盖一部分"。

把 8 年看成第 1 到第 8 年。可以让第一任在前一年就上任（任期第 0—2 年，只在本期内服务第 1 年），接着第 3—5 年一任、第 6—8 年... 等等，这样只剩 3 年，于是排成：1（第 1 年，跨期）+ 3（第 2—4 年）+ 3（第 5—7 年）+ 1（第 8 年，跨期）= 8 年，共 4 任。

能不能有 5 任？5 任至少需要 1 + 3 + 3 + 3 + 1 = 11 年 ＞ 8 年，不行。所以最多 4 任。选 C。

（易错点：① 直接用 8 ÷ 3 ≈ 2.7 取 3，漏掉两端可以"截半"的那两任；② 每任 3 年是硬约束，不能压缩；③ 判断"最多"时要给出上界证明，1+3+3+3+1 这一步不能省。）

第 6 题｜L 形阴影的面积（答案 A）

题目：ABCD 是正方形，内部画了 3 个小正方形，边长如图标注。L 形阴影部分的面积是多少？选项：7、10、12.5、14、15。

解析：先由标注还原尺寸：中间那个正方形边长 3；它左侧留出宽 1 的竖条、上方留出高 1 的横条、右侧留出宽 1 的竖条、下方留出高 1 的横条；左上角是一个 1 × 1 的小正方形，右下角也是一个 1 × 1 的小正方形。

于是大正方形边长 = 1（左）+ 3（中）+ 1（右）= 5，上下同样是 1 + 3 + 1 = 5，两个方向一致 ✓。大正方形面积 25。

阴影由两段长条拼成：左竖条宽 1、高 4（从左上角那个 1 × 1 的下方一直到底边），面积 4；下横条高 1、宽 3（从竖条的右边一直延伸到右下角那个 1 × 1 的左边），面积 3。两段只是首尾相接、没有重叠，所以阴影 = 4 + 3 = 7。

用"总面积减法"复核：25 − 9（中间正方形）− 1（左上角）− 1（右下角）− 4（上方横条）− 3（右侧竖条）= 7 ✓。选 A。

（易错点：① 边长不是 4 而是 5——中间正方形两侧各留 1，别只数一边；② 上部横条（宽 4）和右侧竖条（宽 3 高 3 的区域）是白色，容易误当阴影；③ 减法时五个白色区域一个都不能漏。）

第 7 题｜三个数的乘积最小值（答案 B）

题目：集合 {−8, −6, −4, 0, 3, 5, 7} 中三个不同元素的乘积，最小可能是多少？选项：−336、−280、−210、−192、0。

解析：乘积的符号由负因数个数的奇偶决定：负因数有奇数个（1 个或 3 个）时乘积为负。

情形一，三个负因数：取绝对值最大的三个 −8、−6、−4，得 (−8)(−6)(−4) = −192。

情形二，一个负因数 + 两个正因数：要让结果最小（最负），负因数取绝对值最大的 −8，两个正因数取最大的 5 和 7，得 (−8)(5)(7) = −280。

比较：−280 ＜ −192，所以最小值是 −280。选 B。

（易错点：① 只想到"三个负数相乘为负"就收工，漏掉"一负两正"这种情况，这是本题唯一的坑；② 两个负数乘一个正数得正数，不可能最小；③ 含 0 时乘积为 0，比任何负数都大。）

第 8 题｜看不到的点数之和（答案 D）

题目：三个骰子上下堆叠，每面标 1 到 6。18 个面中只有 7 个面可见（顶面 + 各骰子朝外的前左、前右两面），其余 11 面被挡住。看不见的点数总和是多少？选项：21、22、31、41、53。

解析：每颗骰子六面点数之和固定为 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21，三颗共 21 × 3 = 63。

再数图上的可见点数：顶面 1 个点；从上到下三颗骰子朝左前的面分别可数出 2、4、5 个点，朝右前的面分别可数出 2、5、3 个点，合计 1 + 11 + 10 = 22 个点。

所以看不见的点数 = 63 − 22 = 41。选 D。

（方法：这类"看不见的点数"永远走"总数减可见"的路子，不要尝试去推每个隐藏面的点数——隐藏面之间没有足够信息。易错点：① 忘记三颗骰子各 21 点；② 把"11 个面"当成 11 个点；③ 顶面只有 1 个点，容易漏数。）

第 9 题｜交叉数字拼图中方框内的数字（答案 D）

题目：交叉数字拼图用三位数的 2 的幂与 5 的幂填格：横向（ACROSS）是 2 的幂，纵向（DOWN）是 5 的幂，两者共用一格的数字。黑体方框（横行的第 3 格）里唯一可能的数字是多少？选项：0、2、4、6、8。

解析：先列出所有候选：三位数的 2 的幂只有 128、256、512；三位数的 5 的幂只有 125、625。

从图上看，交叉格是竖列的第 2 位、同时也是横行的第 1 位（横行的编号 2 就写在这个交叉格里）。所以要求：5 的幂的中间一位 = 2 的幂的首位。

125 与 625 的中间一位都是 2，于是 2 的幂必须以 2 开头，只有 256 符合 ✓。也就是说竖着填 125 或 625、横着填 256，交叉格都是 2，两种填法都成立。

黑体方框是横行的第 3 位，即 256 的末位 = 6。选 D。

（易错点：① 以为交叉格在横行的中间，那样会算出 8——要看清编号 2 写在横行的第一格；② 5 的幂漏掉 625；③ 2 的幂漏掉 512 后误以为唯一。）

第 10 题｜Ara 现在多高（答案 E）

题目：Ara 与 Shea 原来一样高。此后 Shea 长高了 20%，Ara 长高的英寸数是 Shea 的一半。Shea 现在 60 英寸，Ara 现在多高？选项：48、51、52、54、55。

解析：Shea 现在 60 英寸，是原来的 1.2 倍，所以原来身高 = 60 ÷ 1.2 = 50 英寸，长高了 60 − 50 = 10 英寸。

Ara 也以 50 英寸为起点，长高 10 ÷ 2 = 5 英寸，现在是 50 + 5 = 55 英寸。选 E。

（易错点：① 把"增长 20%"当成"原来是 60 的 80%"，即 48，这是选 (A) 的错法；② "长高高度的一半"比的是长度 10 英寸的一半（5 英寸），不是"身高的 10%"；③ Ara 的长高量要加回同一个起点 50，不能加到 Shea 的 60 上。）

第 11 题｜能被个位数整除的数（答案 C）

题目：64 有这样的性质：它能被自己的个位数字整除。10 与 50 之间有多少个整数具有这个性质？选项：15、16、17、18、20。

解析：个位是 0 的数不能作除数，先排除。按十位分段枚举：

十几：11、12、15 共 3 个（13、14、16、17、18、19 都不能被个位整除）；二十几：21、22、24、25 共 4 个；三十几：31、32、33、35、36 共 5 个；四十几：41、42、44、45、48 共 5 个。

合计 3 + 4 + 5 + 5 = 17 个。选 C。

（易错点：① 忘记"个位为 0 无意义"；② 三十几里 34（34 ÷ 4 = 8.5）、37、38、39 都不行，容易多算；③ 四十几里 48 ÷ 8 = 6 可以，而 49 ÷ 9 不行，这两个最容易记反。）

第 12 题｜砌墙最少用几块砖（答案 D）

题目：墙长 100 英尺、高 7 英尺，用高 1 英尺、长 2 英尺或 1 英尺的砖砌成（不可切割），竖缝必须像图中那样交错，两端要齐。最少需要多少块砖？选项：344、347、350、353、356。

解析：块数要最少，每一行就要尽量都用 2 英尺的砖。一行 100 英尺全用 2 英尺砖 = 50 块，此时竖缝落在 2、4、6、…、98 英尺处，全是偶数位置。

问题是：若 7 行都这么砌，所有竖缝上下对齐，违反"交错"要求。所以相邻两行必须换一种排法。最省的交错排法是：一端放 1 块 1 英尺砖，中间 49 块 2 英尺砖，另一端再放 1 块 1 英尺砖，长度 1 + 98 + 1 = 100 ✓，块数 1 + 49 + 1 = 51 块，此时竖缝落在 1、3、5、…、99 英尺处，全是奇数位置，与 50 块那一行完全错开 ✓。

于是两种行交替出现：A 型 50 块、B 型 51 块。7 行最多能有 4 行是 A 型（A、B、A、B、A、B、A），共 4 × 50 + 3 × 51 = 200 + 153 = 353 块。选 D。

（易错点：① 忽略交错要求，直接 7 × 50 = 350 得 (C)；② 以为要"每行都换花样"，实际上 A、B 交替即可，A 型行之间并不相邻；③ 一行恰好 50 块时只能是全 2 英尺砖，因为 50 块 1 英尺砖只有 50 英尺。）

第 13 题｜求 ∠CRT（答案 C）

题目：三角形 CAT 中 ∠ACT = ∠ATC，∠CAT = 36°。TR 平分 ∠ATC，R 在 CA 上。求 ∠CRT。选项：36°、54°、72°、90°、108°。

解析：三角形内角和 180°，∠CAT = 36°，剩下两个相等的底角共 180° − 36° = 144°，所以 ∠ACT = ∠ATC = 72°。

TR 平分 ∠ATC，故 ∠RTC = 72° ÷ 2 = 36°。

在三角形 CRT 中：∠RCT 就是 ∠ACT = 72°（R 在 CA 上），∠RTC = 36°，所以 ∠CRT = 180° − 72° − 36° = 72°。选 C。

（易错点：① 把 ∠CRT 看成"R 处的某个角"而找不到所在三角形，先锁定 △CRT 是关键；② ∠RCT 与 ∠ACT 是同一个角，不要重复再减一次；③ 平分 72° 得 36°，别写成 144° ÷ 2 之类。）

第 14 题｜幂的个位数字（答案 D）

题目：19 的 19 次方加 99 的 99 次方，个位数字是多少？选项：0、1、2、8、9。

解析：个位数字只看底数的个位。19 的个位是 9，9 的幂的个位按 9、1、9、1…每 2 次一循环，指数是奇数（19）→ 个位 9。

99 的个位也是 9，指数 99 也是奇数 → 个位 9。

9 + 9 = 18，个位是 8。选 D。

（易错点：① 用计算器硬算会溢出，必须用个位周期；② 9 的幂只有 9、1 两种个位，偶数次得 1、奇数次得 9；③ 相加后别忘了再取一次个位。）

第 15 题｜折线的周长（答案 C）

题目：三角形 ABC、ADE、EFG 都是等边三角形，D、G 分别是 AC、AE 的中点。若 AB = 4，求图形 ABCDEFG 的周长。选项：12、13、15、18、21。

解析：△ABC 等边且 AB = 4，所以 AC = BC = 4。D 是 AC 中点 → CD = 2，AD = 2。

△ADE 等边，边长 AD = 2 → DE = 2，AE = 2。G 是 AE 中点 → AG = 1，GE = 1。

△EFG 等边，边长 GE = 1 → EF = FG = 1。

沿边界 A→B→C→D→E→F→G→A 累加：AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA = 4 + 4 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 15。选 C。

（易错点：① AC 和 AE 是"内部线段"，不属于周长，只有 CA 上 C→D 那一段算；② 三次"取中点"让边长依次减半成 4 → 2 → 1，别漏掉最后一次；③ 边界的顺序要绕一圈不重复。）

第 16 题｜后院面积（答案 C）

题目：Meteen 在他家长方形后院走 1 千米（1000 米）：沿长边走 25 个单程，或沿周长走 10 圈。求后院面积（平方米）。选项：40、200、400、500、1000。

解析：25 个长边 = 1000 米 → 长 = 1000 ÷ 25 = 40 米。

10 圈周长 = 1000 米 → 周长 = 100 米，即 2(长 + 宽) = 100，长 + 宽 = 50，宽 = 50 − 40 = 10 米。

面积 = 40 × 10 = 400 平方米。选 C。

（易错点：① 把"走 10 次周长"当成"周长 = 100 米"要除 10 再除 2，容易漏掉一步；② 算出宽 10 米后忘记乘长；③ 单位是平方米，不要写成米。）

第 17 题｜自定义运算的差（答案 A）

题目：对非零数定义 a ⊗ b = a² / b。求 [(1 ⊗ 2) ⊗ 3] − [1 ⊗ (2 ⊗ 3)]。选项：−2/3、−1/4、0、1/4、2/3。

解析：这个运算不满足结合律，必须老老实实按括号算。

左边：1 ⊗ 2 = 1² / 2 = 1/2；再 (1/2) ⊗ 3 = (1/2)² / 3 = (1/4) / 3 = 1/12。

右边：2 ⊗ 3 = 2² / 3 = 4/3；再 1 ⊗ (4/3) = 1² / (4/3) = 3/4。

相减：1/12 − 3/4 = 1/12 − 9/12 = −8/12 = −2/3。选 A。

（易错点：① 以为可以交换或结合，把两边算成同一个值而得 0，这是 (C) 的陷阱；② 运算规则里分子是前一个数的平方，不是两个数平方的差；③ 1/12 − 3/4 通分时容易错。）

第 18 题｜两个点阵四边形的比较（答案 E）

题目：点阵上画了两个四边形 I 和 II。下列哪句话是对的？选项：(A) I 的面积大于 II；(B) I 的面积小于 II；(C) 面积相同、周长也相同；(D) 面积相同但 I 的周长更大；(E) 面积相同但 I 的周长更小。

解析：以点阵左上角的点为 (0, 0)，向右列号加 1、向下行号加 1。从图上读出顶点：

四边形 I：(0, 0)、(0, 1)、(1, 2)、(1, 1)，绕行顺序 (0,0) → (0,1) → (1,2) → (1,1)。四边形 II：(4, 2)、(2, 3)、(3, 4)、(3, 3)，绕行顺序 (4,2) → (2,3) → (3,4) → (3,3)。

用鞋带公式算面积（顶点按绕行顺序，逐对交叉相乘再相减）：

I：(0×1 − 0×0) + (0×2 − 1×1) + (1×1 − 1×2) + (1×0 − 0×1) = 0 − 1 − 1 + 0 = −2，面积 = ½ × 2 = 1。

II：(4×3 − 2×2) + (2×4 − 3×3) + (3×3 − 3×4) + (3×2 − 4×3) = 8 − 1 − 3 − 6 = −2，面积 = 1。

所以两者面积相同（把 II 沿格线割补平移，也能直接拼成与 I 全等的平行四边形）。

再比周长。I 的四条边：1、√2、1、√2，周长 = 2 + 2√2 ≈ 4.83。II 的四条边：√5（长斜边）、√2、1、√2，周长 = √5 + 2√2 + 1 ≈ 2.24 + 2.83 + 1 = 6.07。

面积相同，而 I 的周长更小，所以选 E。

（易错点：① 面积相同不代表周长相同——"越瘦长周长越大"；② II 有一条跨两格的长斜边 √5，容易漏读成 √2；③ 选项 (C)(D)(E) 的前半句都相同，必须真的把周长算出来才能定。）

第 19 题｜三段圆弧围成的区域面积（答案 C）

题目：三段半径均为 5 的圆弧围成图示区域：弧 AB 与弧 AD 是四分之一圆，弧 BCD 是半圆。求区域面积。选项：25、10 + 5π、50、50 + 5π、25π。

解析：先定尺寸。弧 BCD 是半圆且半径 5，所以它的直径 BD = 10。弧 AB 是半径 5 的四分之一圆，弦 AB 对应的圆心角 90°，故 AB = 5√2；同理 AD = 5√2。

看三角形 ABD：AB² + AD² = 50 + 50 = 100 = BD²，所以 ∠BAD = 90°，△ABD 是等腰直角三角形，面积 = ½ × 5√2 × 5√2 = 25。

所求区域 = △ABD + 半圆 BCD − 两块弓形（弧 AB 与弦 AB 之间、弧 AD 与弦 AD 之间各一块，因为这两段弧向三角形内部鼓）。

半圆面积 = ½ π × 5² = 12.5π。每块弓形 = 四分之一圆 − 等腰直角三角形 = 6.25π − ½ × 5 × 5 = 6.25π − 12.5。

所以面积 = 25 + 12.5π − 2(6.25π − 12.5) = 25 + 12.5π − 12.5π + 25 = 50。π 恰好抵消！选 C。

（易错点：① 把三段弧误当成"同一个圆的圆周"，那样会得 25π，但弧 AB、AD 是向三角形内鼓的，围出的不是整圆；② 弓形面积要"扇形减三角形"，只算扇形会多出 12.5；③ 两块弓形要乘 2。）

第 20 题｜一定有几枚一角硬币（答案 A）

题目：9 枚硬币（便士 1 分、五分镍币、一角硬币 10 分、25 分硬币），总值 102 分，每种至少 1 枚。一定有几枚一角硬币？选项：1、2、3、4、5。

解析：设四种枚数分别为 p、n、d、q，则

p + n + d + q = 9，且 p + 5n + 10d + 25q = 102。两式相减消去 p：4n + 9d + 24q = 93。

对 4 取余：93 ≡ 1、4n ≡ 0、24q ≡ 0，故 9d ≡ 1，即 d ≡ 1（mod 4）。于是 d 只能是 1 或 5（d ≥ 9 时已超过 9 枚硬币的总数）。

若 d = 5：4n + 24q = 48 → n + 6q = 12。q = 1 时 n = 6，加上 d = 5 已经 11 枚 ＞ 9，矛盾；q ≥ 2 时 n ≤ 0，也矛盾。故 d ≠ 5。

若 d = 1：4n + 24q = 84 → n + 6q = 21。q = 3 时 n = 3，于是 p = 9 − 3 − 1 − 3 = 2 ✓。验算：2×1 + 3×5 + 1×10 + 3×25 = 2 + 15 + 10 + 75 = 102 ✓。

所以一角硬币必有 1 枚（且只能有 1 枚）。选 A。

（易错点：① 这是"整数解唯一"型题，必须把解真的解出来，不能靠估；② 用枚数上限 n + d + q ≤ 8 卡掉 d = 5；③ 25 分硬币最多 3 枚，q = 4 时 100 分已接近总值，也是快速排除的入口。）

第 21 题｜正面个数相同的概率（答案 B）

题目：Keiko 掷 1 枚便士，Ephraim 掷 2 枚便士。两人正面个数相同的概率是多少？选项：1/4、3/8、1/2、2/3、3/4。

解析：Keiko 掷 1 枚：正面 0 个的概率 1/2，1 个的概率 1/2。

Ephraim 掷 2 枚（4 种等可能结果）：0 个正面 1/4，1 个正面 2/4 = 1/2，2 个正面 1/4。

两人个数相同的只有两种情况：

都为 0：1/2 × 1/4 = 1/8；都为 1：1/2 × 1/2 = 1/4。

合计 1/8 + 1/4 = 3/8。选 B。

（易错点：① 漏掉"都为 0 个正面"这种情况（Ephraim 为 2 个正面时 Keiko 不可能相同）；② 把 Ephraim 掷 2 枚当成 3 种结果平均分，实际"一正一反"占 2/4；③ 两个概率要相乘再加。）

第 22 题｜表面积增加百分之几（答案 C）

题目：正方体棱长 2，把棱长 1 的小正方体贴在大正方体顶面上（小正方体的一个面完全贴合）。新立体表面积比原来增加百分之多少？选项：10、15、17、21、25。

解析：大正方体表面积 = 6 × 2² = 24。

贴上小正方体：大正方体顶面被盖住 1（棱长 1 的面积），小正方体露出 5 个面共 5。所以新表面积 = 24 − 1 + 5 = 28，净增 4。

增加百分比 = 4 ÷ 24 = 1/6 ≈ 16.67% ≈ 17%。选 C。

（易错点：① 直接用 6 ÷ 24 = 25% 得 (E)，忘了被盖住的那 1 平方单位要减；② 用 4 ÷ 28 = 14.3% 算成"新表面积的百分比"，分母必须是原来的 24；③ 大正方体棱长 2、小正方体棱长 1，面积分别是 4 和 1，别混。）

第 23 题｜两组四个数共有的那个数（答案 B）

题目：7 个数的前 4 个平均为 5，后 4 个平均为 8，全部 7 个平均为 6 又 4/7。前 4 个与后 4 个共有的那个数是多少？选项：5 又 3/7、6、6 又 4/7、7、7 又 3/7。

解析：把平均数还原成总和：前 4 个和 = 4 × 5 = 20；后 4 个和 = 4 × 8 = 32；7 个和 = 7 × 6 又 4/7 = 7 × 46/7 = 46。

前 4 个与后 4 个相加时，中间那个数被算了两次，其余 6 个数各算一次，即 20 + 32 = 46 + 中间数。

所以中间数 = 20 + 32 − 46 = 6。选 B。

（易错点：① 7 × 6 又 4/7 要先化成 7 × 46/7 再约掉 7，得 46；② 这个"共有数"是第 4 个数，被重复计入一次，所以要减掉总和而不是加；③ 别把 46/7 当成总和。）

第 24 题｜求 ∠B + ∠D（答案 D）

题目：五角星形中，∠A = 20°，且 ∠AFG = ∠AGF。求 ∠B + ∠D。选项：48°、60°、72°、80°、90°。

解析：先看三角形 AFG：∠FAG 就是图形在 A 处的角，等于 20°。又已知 ∠AFG = ∠AGF，两个底角相等，故 ∠AFG = ∠AGF = (180° − 20°) ÷ 2 = 80°。

再找 ∠B + ∠D 所在的三角形。注意 F 在 AD 上、也在 BE 上，所以：

· 射线 FA 与射线 FD 是相反方向（A、F、D 共线）； · 射线 FG 与射线 FB 是相同方向（E、F、G、B 依次共线）。

因此 ∠BFD = 180° − ∠AFG = 180° − 80° = 100°。

在三角形 FBD 中，∠FBD 正是 B 处的角（BF 沿 BE），∠FDB 正是 D 处的角（DF 沿 DA），于是 ∠B + ∠D = 180° − 100° = 80°。选 D。

（也可用"五角星五个尖角之和为 180°"复核：A = 20°，若 B + D = 80°，则 C + E = 80°，与图形对称性一致。易错点：① 找错 F 处的角——∠AFG 与 ∠BFD 是互补关系而不是相等；② 忘了 F 同时在两条线段上，这是构造 △FBD 的前提；③ 直接套"五角和 180°"也算不出 B + D，必须用等腰条件。）

第 25 题｜三点连线成三角形的面积（答案 B）

题目：矩形 ABCD 面积 72。把点 A 与 BC 的中点、CD 的中点相连，求所成三角形的面积。选项：21、27、30、36、40。

解析：设 AB = w、AD = h，则 wh = 72。取坐标 A(0, 0)、B(w, 0)、C(w, h)、D(0, h)，于是 BC 中点 M = (w, h/2)，CD 中点 N = (w/2, h)。

鞋带公式：面积 = ½ |w·h + (w/2)·0 + 0·(h/2) − (0·(h/2) + (h/2)·(w/2) + h·0)| = ½ (wh − wh/4) = ½ × ¾ wh = ⅜ × 72 = 27。选 B。

割补验证：矩形被分成四块——所求三角形、直角△ABM（½ × w × h/2 = wh/4 = 18）、直角△ADN（½ × h × w/2 = wh/4 = 18）、直角△MCN（½ × w/2 × h/2 = wh/8 = 9）。72 − 18 − 18 − 9 = 27 ✓。

（易错点：① 以为三个中点/顶点构成的三角形是矩形面积的一半（36），那只在"两个中点 + 对角顶点"某些位置才成立；② 用割补时△MCN 的面积是 wh/8 而不是 wh/4；③ 结果与 w、h 的具体取值无关，只用 wh = 72。）

三、复盘建议

本卷的特点是"生活情境多、图形依赖强"，计算量不大，但读图与细节最容易丢分。建议按模型整理：

比例与百分数：第 1、4、10、22 题——"一半""增长 20%"要回到原来的基准量，"增加百分之几"的分母永远是原量；折线图只抓起点、终点、最陡段三要素；

几何度量：第 6、13、15、19、24、25 题——由标注反推整体尺寸、等边三角形连续取中点使边长减半、弓形 = 扇形 − 三角形、五角星里找"共线反向/同向"构造三角形、鞋带公式与割补法；

计数与枚举：第 3、5、8、11、12、20、21、23 题——区间内整数要两端都估准、8 年可被两端"截半"、看不见的点数走"总数减可见"、按十位分段枚举、按行交替排砖、整数解唯一型要真的解方程、概率分情况相乘再相加、平均数还原成总和；

符号与规则：第 2、7、9、14、17 题——负数的倒数比较、乘积最小值要考虑"一负两正"和"三负"两种、交叉数字拼图先列出全部候选、9 的幂个位两循环、自定义运算不满足结合律；

易混清单：−280 与 −192、边长 5 与 4、方框里 6 与 8、周长 4.83 与 6.07、面积 50 与 25π、17% 与 25%、27 与 36——逐条记入错题本，这些都是本卷最典型的"差一步"陷阱。